53.1. Корреляционный анализ

Корреляционный анализ является одним из методов статистического анализа взаимозависимости нескольких признаков.

Основная задача корреляционного анализа состоит в оценке корреляционной матрицы генеральной совокупности по выборке и определении на основе этой матрицы частных и множественных коэффициентов корреляции и детерминации.

Парный и частный коэффициенты корреляции характеризуют тесноту линейной зависимости между двумя переменными соответственно на фоне действия и при исключении влияния всех остальных показателей, входящих в модель.

Множественный коэффициент корреляции характеризует тесноту, линейной связи между одной переменной (результативной) и остальными, входящими в модель; он изменяется в пределах от 0 до 1.

Квадрат множественного коэффициента корреляции называется множественным коэффициентом детерминации. Он характеризует долю дисперсии одной переменной (результативной), обусловленной влиянием всех остальных переменных (аргументов), входящих в модель.

Исходной для анализа является матрица

размерности п х k, i-я строка которой характеризует i-е наблюдение (объект) по всем k показателям (j = 1, 2, ..., k).

В корреляционном анализе матрицу Х рассматривают как выборку объема п из k-мерной генеральной совокупности, подчиняющейся k-мерному нормальному закону распределения.

По выборке определяют оценки параметров генеральной совокупности, а именно: вектор средних , вектор средних квадратических отклонений s и корреляционную матрицу R порядка k:

где

(53.1)

(53.2)

xij — значение i-го наблюдения j-го фактора,

ril — выборочный парный коэффициент корреляции, характеризующий тесноту линейной связи между показателями xj и xl.

Матрица R является симметричной (rjl = rlj) и положительно определенной.

Кроме того, находятся точечные оценки частных и множественных коэффициентов корреляции любого порядка. Например, частный коэффициент корреляции (k - 2)-го порядка между переменными х1 и х2 равен

(53.3)

где Rjl — алгебраическое дополнение элемента rjl корреляционной матрицы R. При этом Rjl = (-l)j+l Mjl, где Mjl — минор, т.е. определитель матрицы, получаемой из матрицы R путем вычерчивания j-й строки и l-го столбца.

Множественный коэффициент корреляции (k - 1)-го порядка результативного признака x1 определяется по формуле

(53.4)

где | R | — определитель матрицы R.

Значимость частных и парных коэффициентов корреляции, т.е. гипотеза H0: ? = 0, проверяется по t-критерию Стьюдента. Наблюдаемое значение критерия находится по формуле

(53.5)

где r — соответственно оценка частного или парного коэффициента корреляции ?; l — порядок частного коэффициента корреляции, т.е. число фиксируемых факторов (для парного коэффициента корреляции l=0).

Напомним, что проверяемый коэффициент корреляции считается значимым, т.е. гипотеза H0: ? = 0 отвергается с вероятностью ошибки ?, если tнабл по модулю будет больше, чем значение tкр, определяемое по таблицам t-распределения для заданного ? и ? = n – l - 2.

Значимость коэффициентов корреляции можно также проверить с помощью таблиц Фишера — Иейтса.

При определении с надежностью у доверительного интервала для значимого парного или частного коэффициента корреляции р используют Z-преобразование Фишера и предварительно устанавливают интервальную оценку для Z:

(53.6)

где t? вычисляют по таблице значений интегральной функции Лапласа из условия

значение Z' определяют по таблице Z-преобразования по найденному значению r. Функция Z' — нечетная, т.е.

Обратный переход от Z к ? осуществляют также по таблице Z-преобразования, после использования которой получают интервальную оценку для ? с надежностью ?:

Таким образом, с вероятностью ? гарантируется, что генеральный коэффициент корреляции ? будет находиться в интервале (rmin, rmax).

Значимость множественного коэффициента корреляции (или его квадрата — коэффициента детерминации) проверяется по F-критерию.

(53.7)

Множественный коэффициент корреляции считается значимым, т.е. имеет место линейная статистическая зависимость между х1 и остальными факторами х2, ..., хk, если Fнабл > Fкр, где Fкр определяется по таблице F-распределения для заданных ?, ?1 = k - 1, ?2 = n - k.