ОСНОВЫ ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ

Обзор ключевых категорий и положений

• Денежные ресурсы, участвующие в финансовой операции, имеют временную ценность, смысл которой может быть выражен следующей сентенцией: одна денежная единица, имеющаяся в рас поряжении инвестора в данный момент времени, более предпочтительна, чем та же самая денежная единица, но ожидаемая к получению в некотором будущем.
  В принципе возможны отклонения от сформулированного правила; однако они носят достаточно абсі рактный характер (в качестве примера можно привести ситуацию когда доступная процентная ставка равна нулю).
• Эффективность любой финансовой операции, предполагающей наращение исходной суммы PV до ожидаемой в будущем к получению суммы FV {PV —» FV), может быть охарактеризована ставкой.
• Процентная ставка рассчитывается отношением наращения {FV-PV) к исходной (базовой) величине PV. Учетная ставка рассчитывается отношением наращения {FV-PV) к ожидаемой в будущем к получению, или наращенной, величине FV.
• Процесс, в котором заданы исходная сумма и ставка (процентная или учетная), в финансовых вычислениях называется процессом наращения, искомая величина - наращенной суммой, а используемая в операции ставка - ставкой наращения. В данном случае речь идет о движении денежного потока от настоящего к будущему.
• Процесс, в котором заданы ожидаемая в будущем к получению (возвращаемая) сумма и ставка, называется процессом дисконтирования, искомая величина - приведенной суммой, а используемая в операции ставка - ставкой дисконтирования. В данном случае речь идет о движении от будущего к настоящему.
• В финансовом мене зжменте понятие приведенной стоимости является одним из ключевых. В силу неустоявшейся терминологии в отечественной литературе можно встретиться и с другими названиями этой величины; например, весьма распространен термин «сегодняшняя стоимость».
  Отметим і«КЖЄ, что и этот, и некоторые другие термины, используемые в профессиональной литературе, не следует понимать буквально; в частности, «сегодняшняя стоимость» вовсе не означает, что речь идет о стоимости «сегодня», в данный момент времени; этим термином обозначена дисконтированная величина некоторой денежной суммы, ожидаемой к получению в будущем, причем дисконтері вание может выполняться на любой момент, представляющий интерес для аналитика.
• В финансовых операциях в качесі ве ставки (коэффициента) дисконтирования может использоваться либо процентная ст авка (математическое дисконтирование), либо учетная ставка (банковское дисконтирование).
• Известны две основные схемы начисления процентов. Схема просі ых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление. Схема сложных процентов предполагает их капитализацию, т.е. база, с которой происходит начисление, постоянно возрас гает на величину начисленных ранее процентов. Очевидно, что более частое начисление сложных процентов обеспечивает более быстрый рост наращиваемой суммы.
• Схема простых процентов более выгодна при проведении операций краткосрочного характера (лlt; 1), а схема сложных процентов - при проведении операций долгосрочного характера (я gt; 1), где я - число начислений процентов.
• В финансовых вычислениях базовым периодом является год, поэтому обычно говорят о годовой ставке. Вместе с тем достаточно широко распространены краткосрочные операции продолжительностью ди года. В этом случае за основу берется дневная ставка, причем в зависимости от алгоритмов расчета дневной ставки и продолжительности финансовой операции результаты наращения будут различными. Используются три варианта расчета: а) точный процент и точное число дней финансовой операции; б) обыкновенный процент и точное число дней финансовой операции; в) обыкновенный процент и приблизительное число дней финансовой операции.

•Точный процент исчисляется исходя из точного числа дней (365 или 366), а обыкновенный - исходя из приближенного числа дней в году (360).

• При начислении процентов за дробное число лет более эффективна смешанная схема, предусматривающая начисление сложных процентов за целое число лет и простых процентов за дробную часть года.
• Ни одна из схем начисления процентов не является универсальной и пригодной на все случаи жизни, т.е. нельзя определенно и однозначно отдавать приоритет той или иной схеме — все зависит от конкретных обстоятельств.
• Любая финансовая операция предусматривает участие, как минимум, двух сторон: кредитора (инвестора) и заемщика (получателя финансовых ресурсов); это обстоятельство является существенным для вынесения суждения об эффективности некоторой операции. Так, экономическая интерпретация ставки вообще и ее значения в частности зависит от того, с чьих позиций - кредитора или заемщика - она дается. Для кредитора ставка характеризует его относительный доход; для заемщи lt;а - его относительные расходы. Поэтому кредитор всегда заинтересован в высокой ставке или в повышении ставки; интересы заемщика — прямо противоположны.
• Эффективная процентная ставка позволяет сравнивать финансовые операции с различной частотой начисления и неодинаковыми процентными ставками. Именно эта ставка характеризует реальную эффективность операции, однако во многих финансовых контрактах речь чаще всего идет о номинальной ставке, которая в большинстве случаев отличается от эффективной.
• Меняя частоту начисления процентов или вид ставки, можно существенно влиять на эффективность операции. В частности, оговоренная в контракте ставка в г% может при определенных условиях вовсе не отражать истинный относительный доход (относителі ные расходы). Например, 60% годовых при условии ежедневного начисления процентов соответствуют на самом деле 82,1%, начисляемых ежегодно. Отмеченная особенность исключительно значима в условиях высоких номинальных ставок.
  При составлении финансовых договоров данный прием нередко используется для вуалирования истинных расходов. Поэтому, заключая контракт, целесообразно уточнять, о какой ставке (процентной, учетной, эффективной и др.) идет речь или, по крайней мере, отдавать себе отчет в этом.
• В финансовых вычислениях разработаны несложные алгоритмы, позволяющие в некоторых ситуациях получить быструю и наглядную оценку эффективности финансовой операции. Суть одного нз таких алгоритмов, известного как правило 72-х, заключается в следующем. Для небольших значений процентной ставки г частное от деления 72-х на г (ставка берется в процентах) показывает число периодов, за которое исходная сумма удвоится при наращении ее по этой ставке с использованием формулы сложных процентов.
• Проводя количественное обоснование той или иной финансовой операции, необходимо контролировать соответствие процентной ставки и продолжительности базисного периода.
• Необходимо отдавать себе отчет в том, в каких единицах (процент или доля единицы) следует включать в расчет данные о процентных ставках.
• Как уже отмечалось, одним из ключевых понятий в финансовом менеджменте является понятие денежного потока как совокупности притоков и/или оттоков денежных средств, имеющих место через равные временные интервалы.
• Денежный поток, срок действия которого ограничен, называется срочным; если притоки (отоки) осуществляются неопределенно долго, денежный поток называется бессрочным.
• Если притоки (оттоки) осуществляются в начале периодов, денежный поток носит название пренумерандо, если в конце периодов - постнумеранди.
• При анализе денежных потоков в большинсіве случаев его элементы не могут быть просуммированы непосредственно - должна быть учтена временная компонента.
• Начало денежного потока и момент, на который делается оценка или к которому приводится денежный поток (потоки), могут не совпадать. Денежные потоки в сравнительном анализе в принципе можно приводить к любому моменту времени, однако, как правило, выбирается либо начало, либо конец периода действия одного из денежных потоков.
• Известны две задачи оценки денежного потока с учетом фактора времени: прямая и обратная. Первая задача позволяет оценить будущую стоимость денежного потока; для понимания экономической сущности этой задачи ее легче всего увязывать с процессом накопления денег в банке и оценкой величины наращенной суммы. Вторая задача позволяет оценить приведенную стоимость денежного потока; наиболее наглядная ситуация в этом случае - оценка текущей стоимости ценной бумаги, владение которой дает возможность в будущем получать некоторые платежи.
• Таким образом, на примере денежного потока постнумерандо Р\, Pi, ... , Р„ можно дать следующ) ю экономическую интерпретацию его будущей (FV) и приведенной (PV) стоимости. FV показывает, какая сумма будет на счете в банке при заданной процентной ставке г, если инвестор в концг очередного базисного периода будет добавлять на счет в банк взнос в сумме Рк, где 1 lt;кlt;п. PV можно

трактовать как сумму, которую следует вложить в банк (или в некоторую ценную бумагу) в начале финансовой операции, т.е. в момент времени 0, чтобы при заданной процентной ставке г обеспечить себе возможность снятия со счета (или получения дохода по приобретенной ценной бумаге) в конце очередного к-го периода суммы Р*

• Приведенная стоимость единичного платежа или денежного потока является ключевым показателем при принятии многих решений финансового характера, например, при оценке финансовых активов и оценке инвестиционных проектов.
• Аннуитет представляет собой частный случай денежного потока. Известны два подхода к его определению. Согласно первому - подходу аннуитет — однонаправленный денежный поток, элементы которого имеют место через равные временные интервалы. Второй подход накладывает дополнительное ограничение, а именно, элементы денежного потока одинаковы по величине.
• Ускоренные методы оценки денежных потоков основаны на применении мультиплицирующих и дисконтирующих множителей, которые табулированы в специальных финансовых таблицах. Таблицы инвариантны по отношению к виду потока — постнумерандо или пренумерандо; оценки для потока пренумерандо отличаются от соответствующих оценок для потока постнумерандо на величину множителя (1+г), гДе г — ставка в долях единицы.
• При оценке аннуитетов в случае несовпадения моментов начисления процентов и поступления аннуитетных платежей целесообразно выровнять продолжительность периода начисления процентов и периода поступления платежа; при этом для понимания логики процентных начислений можно, например, руководствоваться следующими правилами:

если элементы денежного потока поступают более часто по сравнению с начислением процентов, рекомендуется исходный поток при чести к условному потоку, в котором момент поступления очередного платежа будет совпадать с моментом начисления процентов в исходном потоке (иными словами, необходимо промежуточные платежи в рамках одного интервала между смежными моментами начисления процентов свести к очередному моменту начисления процентов) и далее воспользоваться стандартными формулами оценки аннуитета;

если проценты начисляются более часто по сравнению с поступлением аннуитетных платежей, можно воспользоваться формулами оценки аннуитета, в которых номинальная процентная ставка заменена на соответствующую эффективную ставку.

• В финансовой математике разработаны универсальные формулы, позволяющие делать расчеты при указанных выше несовпадениях моментов пост? пления аннуитетных платежей и начисления процентов.