16.5.1. Задача о замене оборудования.

Задача 3. Необходимо определить оптимальные сроки замены старого оборудования новым. Старение оборудования включает его физический и моральный износ, в результате чего растут производственные затраты, затраты на ремонт и обслуживание, снижаются производительность и ликвидная стоимость.

¦ Формально рассмотрим эту задачу в упрощенной постановке. Даны: первоначальная стоимость соst оборудования; ликвидная стоимость likv(i) оборудования, возраст которого i лет; стоимость zаtr(i) содержания в течение одного года оборудования, которое к началу этого годового периода уже эксплуатировалось ровно i лет. В конце эксплуатационного периода имеющееся оборудование должно быть продано. Требуется найти оптимальную стратегию замены оборудования за период в n лет, минимизирующую суммарные затраты. Очевидно, что текущее состояние данной системы определяется двумя параметрами i и k, где k – количество лет, прошедших с начала первого приобретения оборудования, i – возраст оборудования, которое эксплуатируется на данный момент. Таким образом, состояния системы удобно обозначать через sik. Множество ?(sik) состоит из локальных управлений «замена», «сохранение»: «замена» означает продажу оборудования и покупку нового, а «сохранение» – продолжение эксплуатации оборудования еще в течение ближайшего года. Локальному управлению «замена» соответствуют затраты, равные соst+zаtr(0)-likv(i), а локальному управлению «сохранение» соответствуют затраты, равные zаtr(i). Кроме того, «замена» переводит систему из состояния sik в состояние s1,k+1, а «сохранение» – из состояния sik в состояние si+1,k+1. Добавим фиктивное состояние sf, в которое переходит система после окончания эксплуатационного периода в результате продажи имеющегося оборудования (переход в состояние sf может произойти из состояний s1n, s2n, …, snn).

Рассмотрим данную задачу при следующих исходных данных: п=3, соst=9000, likv(1)=5000, likv(2)=4000, likv(3)=2000, zаtr(0)=2400, zаtr(1)=2500, zаtr(2)=2700.

Определим теперь путь минималь-ной длины из s00 в sf , используя прин-цип оптимальности Беллмана (при этом для каждой вершины sik «запомина-ется» ближайшая вершина potik, указы-вающая направление оптимального пу-ти из sik в sf ): Z33=-2000, Z23=-4000, Z13=-5000, pot33=pot23=pot13=sf, Z22=min{2700+Z33,8400+Z13}=min{2700- -2000, 8400-5000}=700, pot22=s33,
	Рис. 7

Z12=min{2500+Z23,7400+Z13}=min{2500-4000, 7400-5000}=-1500, pot12=s23,

Z11=min{2500+Z22,7400+Z12}=min{2500+700, 7400-2500}=3200,

pot11=s22, Z22=11400+Z11=14600, pot00=s11.

Итак, оптимальный путь проходит через вершины s00, pot00=s11, pot11=s22, pot22=s33, pot33=sf . Найденный оптимальный путь определяет оптимальную стратегию замены оборудования за три года: «сохранение», «сохранение», «сохранение».                                                      ?