Функции покупательского спроса

Пусть в модели (8.1) цены и доход рассматриваются как меняющиеся параметры. Переменную дохода будем обозначать Z. Тогда решением оптимизационной задачи (8.1) будет векторная функция Y° = Y°(P,Z), компонентами которой являются функции спроса на определенный товар от цен и дохода: о

у? =ft(P,Z). Рассмотрим частный случай, когда вектор цен остается неизменным, а изменяется только доход. Для двух товаров этот случай представлен на рис. 8.3. Если по оси абсцисс отложить количество единиц товара у\, которое можно приобрести на имеющийся доход Z (точка В), а по оси ординат — то же самое для товара у2 (точка А), то прямая линия АВ, называемая бюджетной линией, показывает любую комбинацию количеств этих двух товаров, которую можно купить за сумму денег Z. При увеличении дохода бюджетные линии перемещаются параллельно самим себе, удаляясь от начала координат. Вместе с ними перемещаются соответствующие кривые безразличия. Точками оптимума спроса потребите- А

о

у1 спроса от дохода при заданном векторе цен.

лей для соответствующих размеров дохода будут в данном случае точки М\, М2, М3. При нулевом доходе спрос на оба товара нулевой. Кривая, соединяющая точки 0, М\, М2, Мз, является графическим отображением векторной функции к. Пример 1. Рассмотрим процесс аналитического построения функций спроса от дохода на основе модели (8.1) на конкретном условном примере.

левая функция потребления имеет вид U(Y) = у^у2 ; вектор цен равен Р = (3; 6); величина дохода равна Z. Так как в данном случае предельные полезности имеют вид:

дуі У2 2 ду2 У1У2'

то необходимые условия оптимума (8.2) дают следующую систему уравнений (А, — множитель Лагранжа):

УІ = 3?ь;

зуіуі =

3Уі + 6у2 = Z.

После подстановки первого уравнения во второе получим

о о

Зуіу2 = 2у2 . Выразив из третьего уравнения 3и подставив

п о

в последнее равенство, будем иметь (Z - 6у2)у2 =2у2, откуда можно получить, что у2 = 1 /8 Z. Подставив этот результат в третье уравнение, получим у і = 1/12 Z. Таким образом, для данного примера функции спроса на товары у і и у2 от дохода Z имеют вид:

ух = 1/12 Z\ у2 =1/8 Z. J

Однофакторные функции спроса от дохода широко применяются при анализе покупательского спроса. Соответствующие этим функциям кривые уі = ft (Z) называются кривыми Энгеля (по имени изучавшего их немецкого экономиста). Формы этих кривых для различных товаров могут быть различны. Если спрос на данный товар возрастает примерно пропорционально доходу, то функция будет линейной, как в рассмотренном выше примере. Такой характер имеет, например, спрос на одежду, фрукты и др. Кривая Энгеля для этого случая представлена на рис. 8.4а.

Если по мере роста дохода спрос на данную группу товаров возрастает все более высокими темпами, то кривая Энгеля будет выпуклой (рис. 8.46). Так ведет себя спрос на предметы роскоши.

Если рост значений спроса, начиная с определенного момента, по мере насыщения спроса отстает от роста дохода, то кривая Энгеля имеет вид вогнутой кривой (рис. 8.4в). Например, такой характер имеет спрос на товары первой необходимости. Тот же принцип разграничения групп товаров по типам функций спроса от дохода использовал шведский экономист JI. Торнквист, который предложил специальные виды функции спроса (функции Торнквиста) для трех групп товаров: первой необходимости, второй необходимости, предметов роскоши.

Функция Торнквиста для товаров первой необходимости имеет вид:

a,Z

У =

Z + Cx

и отражает тот факт, что рост спроса на эти первоочередные товары с ростом дохода постепенно замедляется и имеет предел а\ (кривая спроса асимптотически приближается к прямой линии у = с^); график функции является вогнутой кривой I на рис.

Функция спроса по Торнквисту на товары второй необходимости выражается формулой

где Z > Ь2.

Z + с2 г

Эта функция также имеет предел а2, но более высокого уровня; при этом спрос на эту группу товаров появляется лишь после того, как доход достигнет величины Ь2; график функции — вогнутая кривая II на рис. 8.5.

где Z > Ъг.

У =

a3Z(Z - Ъ3) Z + C3

Эта функция не имеет предела. Спрос на эти товары возникает только после того, как доход превысит величину Ьз, и далее быстро возрастает, так что график функции — выпуклая кривая III на рис. 8.5.

Кроме указанных функций, в аналитических моделях покупательского спроса используются также другие функции: степенные, S-образные и т.д.

Важную роль в анализе изменения спроса при небольших изменениях дохода играют коэффициенты эластичности. Коэффициент эластичности спроса от дохода показывает относительное изменение спроса при изменении дохода (при прочих не изменяющихся факторах). Вычисляется по формуле:

Наконец, функция Торнквиста для предметов роскоши имеет вид

Z = (8.3)

dZ yt

у

где Et — коэффициент эластичности для і-го товара (группы товаров) по доходу Z; yt — спрос на этот товар, являющийся функцией дохода: yt = f(Z).

Например, если спрос на товар описывается функцией Торнквиста для товаров первой необходимости, то формула (8.3) дает следующее выражение для коэффициента эластичности спроса от дохода:

vz - Ei

Во многих экономико-математических моделях эластичность функций относят к проценту прироста независимой переменной. Таким образом, коэффициент эластичности спроса от дохода показывает, на сколько процентов изменится спрос на товар при изменении дохода на 1 %.

Коэффициенты эластичности спроса от дохода различны по величине для разных товаров, вплоть до отрицательных значений, когда с ростом доходов потребление уменьшается. Принято выделять четыре группы товаров в зависимости от коэффициента эластичности спроса на них от дохода: •

малоценные товары (Е? < 0);

у •

товары с малой эластичностью (0 товары со средней эластичностью (Е? близки к единице); •

товары с высокой эластичностью ( Е? > 1).

К малоценным товарам, т.е.

Перейдем к рассмотрению и анализу функций покупательского спроса от цен на товары. Из модели поведения потребителей (8.1) следует, что спрос на каждый товар в общем случае зависит от цен на все товары (вектора Р), однако построить функции общего вида у І = фг(Р) очень сложно. Поэтому в практических исследованиях ограничиваются построением и анализом функций спроса для отдельных товаров в зависимости от изменения цен на этот же товар или группу взаимозаменяемых товаров: у і = ф і(рї).

Pi

Для большинства товаров действует зависимость: чем выше цена, тем ниже спрос, и наоборот. Здесь также возможны разные типы зависимости и, следовательно, разные формы кривых. В практических задачах изучения спроса важно различать действительное увеличение спроса, когда сама кривая сдвигается вверх и вправо (происходит переход с кривой I на кривую II на рис. 8.6), и увеличение объема приобретаемых товаров в результате снижения цен при неизменной сумме затрат (переход от точки А к точке В по одной и той же кривой I на рис. 8.6). Как уже отмечено выше, в общем случае спрос на отдельный товар при прочих равных условиях зависит от уровня цен всех товаров. Относительное изменение объема спроса при изменении цены данного товара или цен других связанных с ним товаров характеризует коэффициент эластичности спроса от цен. Этот коэффициент эластичности удобно трактовать как величину изменения спроса в процентах при изменении цены на 1 %.

Для спроса уі на і-й товар относительно его собственной цены pi коэффициент эластичности исчисляется по формуле:

(8.4)

Фі УІ

Значения коэффициентов эластичности спроса от цен практически всегда отрицательны. Однако по абсолютным значениям этих коэффициентов товары могут существенно различаться друг от друга. Их можно разделить на три группы: •

товары с неэластичным спросом в отношении цены •

товары со средней эластичностью спроса от цены (Eft

близки к -1); •

товар с высокой эластичностью спроса (Е? < -1).

В товарах эластичного спроса повышение цены на 1% приводит к снижению спроса более чем на 1% и, наоборот, понижение цены на 1% приводит к росту покупок больше чем на 1 %. Если повышение цены на 1 % влечет за собой понижение спроса менее чем на 1%, то говорят, что этот товар неэластичного спроса.

Рассмотрим влияние на спрос на какой-либо товар изменения цен на другие товары. Коэффициент, показывающий, на сколько процентов изменится спрос на данный товар при изменении на 1% цены на другой товар при условии, что другие цены и доходы покупателей остаются прежними, называется перекрестным коэффициентом эластичности. Для спроса уі на і-й товар относительно цены pj на j-й товар (і Ф j) перекрестный коэффициент эластичности рассчитывается по формуле:

^и = ~~ ' ~ • (8.5)

Фу У і

По знаку перекрестных коэффициентов эластичности товары можно разделить на взаимозаменяемые и взаимодополняемые. Если Efj > 0, это означает, что і-й товар заменяет в

потреблении товар j, т.е. на товар і переключается спрос при увеличении цены на товар j. Примером взаимозаменяемых товаров могут служить многие продукты питания.

Если Efj < О, это служит признаком того, что i'-й товар в

процессе потребления дополняет товар у, т.е. увеличение цены на товар у приводит к уменьшению спроса на товар і. В качестве примера можно привести такие взаимодополняемые товары, как автомобили и бензин.

В качестве иллюстрации в табл. 8.1 приведены значения прямых и перекрестных коэффициентов эластичности потребления от цен для одной из категорий семей. На основании этих данных по значениям прямых коэффициентов эластичности (по диагонали таблицы) можно сделать вывод, что продукты питания в целом мало эластичны по отношению к цене; одежда, ткани и обувь имеют среднюю эластичность; две последние группы товаров — товары с высокой эластичностью спроса по отношению к цене.

Таблица 8.1. Прямые и перекрестные коэффициенты эластичности Группы Продукты Одежда, Мебель, Культ товаров питания ткани, обувь хозтовары товары Продукты питания -0,7296 0,0012 0,0043 0,0045 Одежда, ткани,обувь -0,1991 -1,000 0,0071 0,0074 Мебель, хозтовары -0,2458 0,0024 -1,2368 0,0092 Культтовары -0,2494 0,0024 0,0089 -1,2542 На основании значений внедиагональных элементов этой таблицы можно сделать вывод, что все промышленные товары (вторая, третья и четвертая группы) — взаимозаменяемы. То, что перекрестные коэффициенты эластичности по строке «Продукты питания» положительные, означает, что повышение цен на промышленные товары увеличивает спрос на продукты питания (уменьшение спроса на промышленные товары освободит средства для продуктов питания). Отрицательные значения перекрестных коэффициентов эластичности по столбцу (графе) «Продукты питания» означает, что при росте цен на продукты питания спрос на промышленные товары сокращается (повышение цен на продукты питания уменьшает размер средств на приобретение других товаров).