3.1. Теория двойственности в анализе оптимальных решений экономических задач

Рассмотрим основные понятия и выводы специального раздела линейного программирования — теорию двойственности. В гл. 2 показано, что любую задачу линейного программирования можно записать следующим образом:

п

f(X) = Y^Cj • Xj max, (3.1)

і=і

n

^Ojj -Xj < bj\ і = l,m, (3.2)

i=і

Xj > 0; / = 1, rt. (3.3)

В этой главе для большей наглядности используются записи типа f(X) max(min), эквивалентные записям max(min)/(X).

С каждой задачей линейного программирования тесно связана другая линейная задача, называемая двойственной; первоначальная задача называется исходной или прямой.

Связь исходной и двойственной задач заключается, в частности, в том, что решение одной из них может быть получено непосредственно из решения другой.

Хорошо разработанный математический аппарат линейного программирования позволяет не только получать с помощью эффективных вычислительных процедур оптимальный план, но и делать ряд экономически содержательных выводов, основанных на свойствах задачи, двойственной к исходной ЗЛП.

т

= ->min, (3.4)

i=1

т

- с;; І = Ъп, (3.5)

i=l (3.6)

Уі > 0; і ^ 1, т. Каждая из задач двойственной пары фактически является самостоятельной задачей линейного программирования и может быть решена независимо от другой. Однако при определении симплексным методом оптимального плана одной из задач находится решение и другой задачи.

Двойственная задача по отношению к исходной составляется согласно следующим правилам: 1) целевая функция исходной задачи (ЗЛ)-(З.З) формулируется на максимум, а целевая функция двойственной задачи (3.4)-(3. 6) — на минимум, при этом в задаче на максимум все неравенства в функциональных ограничениях имеют вид <, а в задаче на минимум — вид >; 2) матрица А =

"и

а2п

all а12 а21 а22

Уат1 ат2 атп' составленная из коэффициентов при неизвестных в системе ограничений (3.2) исходной задачи, и аналогич' ная матрица

N

аи а12

п

°21 ат1

АТ =

а22 ат2

7

а2п ' °тл/

в двойственной задаче получаются друг из друга транспонированием; 3)

число переменных в двойственной задаче равно числу функциональных ограничений (3.2) исходной задачи, а число ограничений в системе (3.5) двойственной задачи — числу переменных в исходной задаче; 4)

коэффициентами при неизвестных в целевой функции (3.4) двойственной задачи являются свободные члены в системе (3.2) ограничений исходной задачи, а правыми частями в ограничениях (3.5) двойственной задачи — коэффициенты при неизвестных в целевой функции (3.1) исходной задачи; 5)

каждому ограничению одной задачи соответствует переменная другой задачи: номер переменной совпадает с номером ограничения; при этом ограничению, записанному в виде неравенства <, соответствует переменная, связанная условием неотрицательности.

Математические модели пары двойственных задач могут быть симметричными и несимметричными. В несимметричных двойственных задачах система ограничений исходной задачи задается в виде равенств, а двойственной — в виде неравенств, причем в последней переменные могут быть и отрицательными. В симметричных задачах система ограничений как исходной, так и двойственной задачи задается неравенствами, причем на двойственные переменные налагается условие неотрицательности. В дальнейшем мы будем рассматривать только симметричные взаимодвойственные задачи линейного программирования.

Итак, согласно теории линейного программирования каждой ЗЛП вида (З.І)-(З.З) соответствует двойственная ей ЗЛП: (3.4)-(3.6). Основные утверждения о взаимодвойственных задачах содержатся в двух следующих теоремах.

Первая теорема двойственности. Для взаимодвойственных ЗЛП имеет место один из взаимоисключающих случаев; 1.

В прямой и двойственной задачах имеются оптимальные решения, при этом значения целевых функций на оптимальных решениях совпадают: maxf(X) = min g(Y). 2.

В прямой задаче допустимое множество не пусто, а целевая функция на этом множестве не ограничена сверху. При этом у двойственной задачи будет пустое допустимое множество. 3.

В двойственной задаче допустимое множество не пусто, а целевая функция на этом множестве не ограничена снизу. При этом у прямой задачи допустимое множество оказывается пустым. 4.

Обе из рассматриваемых задач имеют пустые допустимые множества.

Вторая теорема двойственности (теорема о дополняющей НЄЖЄСТКОСТИ). Пусть X = (Х1УХ2,...,ХП) — допустимое решение прямой задачи (З.І)-(З.З), а У = (уі,у2,---,ут) — Допустимое решение двойственной задачи (3.4)-(3.6). Для того чтобы они были оптимальными решениями соответствующих взаимодвойственных задач (З.І)-(З.З) и (3.4)-(3.6), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие соотношения:

п

(3.7)

т

(3.8)

Условия (3.7) и (3.8) позволяют, зная оптимальное решение одной из взаимодвойственных задач, найти оптимальное решение другой задачи.

Рассмотрим еще одну теорему, выводы которой будут использованы в дальнейшем.

Теорема об оценках.

неравенств прямой задачи на величину Af(X) :

АЦХ) = АЬіУі. (3.9)

Решая ЗЛП симплексным методом, мы одновременно решаем двойственную ЗЛП. Значения переменных двойственной задачи yt в оптимальном плане называют, как выше уже отмечено, объективно обусловленными, или двойственными оценками.

Рассмотрим экономическую интерпретацию двойственной задачи на следующем примере.

L. Пример 1. (Задача оптимального использования ресурсов). Пусть для выпуска четырех видов продукции Pi, Р2, Р3, Р4 на предприятии используют три вида сырья Si, S2 и S3. Объемы выделенного сырья, нормы расхода сырья и прибыль на единицу продукции при изготовлении каждого вида продукции приведены в табл. 3.1. Требуется определить план выпуска продукции, обеспечивающий наибольшую прибыль.

Составим экономико-математическую модель задачи оптимального использования ресурсов на максимум прибыли. В качестве неизвестных примем объем выпуска продукции 7-го вида Xj (J = 1,2,3,4).

Таблица 3.1 Вид сырья Запасы сырья Вид продукции Pi Рг Рз Р* SI 35 4 2 2 3 S2 30 1 1 2 3 S* 40 3 1 2 1 Прибыль 14 10 14 11 Модель задачи: /(Х)= 14дгі + 10х2 + 14х3 -І- ІІДГ4 шах

4*! + 2x2 + 2х3 + Зх4 < 35 хх + х2 + 2х3 + Зх4 ^ 30 3*1 + х2+ 2х3 + х4 <40 Xj >0,у = 1,2,3,4.

Теперь сформулируем двойственную задачу. Пусть некая организация решила закупить все ресурсы рассматриваемого предприятия. При этом необходимо установить оптимальную цену на приобретаемые ресурсы Уі, Уз исходя из следующих объективных условий: 1)

покупающая организация старается минимизировать общую стоимость ресурсов; 2)

за каждый вид ресурсов надо уплатить не менее той суммы, которую хозяйство может выручить при переработке сырья в готовую продукцию.

Согласно первому условию общая стоимость сырья выразится величиной g{Y) = 35г/! -I- 30у2 + 40у3 min. Согласно второму требованию вводятся ограничения: на единицу первого вида продукции расходуются четыре единицы первого ресурса ценой г/1, одна единица второго ресурса ценой у2 и три единицы третьего ресурса ценой у3.

В результате аналогичных рассуждений относительно производства второго, третьего и четвертого видов продукции получаем систему неравенств:

4уі + у2+ Зг/з > 14, 2У1 + Уг + Уя* Ю, 2i/i + 2г/2 + 2у3 > 14, Зуі + Зг/2 + уд > 11.

По экономическому смыслу цены неотрицательные:

У\ > 0,у2 > 0, уз > 0.

Получили симметричную пару взаимодвойственных задач. В результате решения данной задачи симплексным методом получен оптимальный план X = (0;5;12,5;0); У = (3;4;0). Л

Экономический смысл первой теоремы двойственности следующий. План производства X и набор оценок ресурсов У оказываются оптимальными тогда и только тогда, когда прибыль от реализации продукции, определенная при известных заранее ценах продукции с у, с 2, ...сп, равна затратам на ресурсы по «внутренним» (определяемым только из решения задачи) ценам ресурсов у\, У2>->Ут- Для всех же других планов X и У обеих задач прибыль от продукции всегда меньше (или равна) стоимости затраченных ресурсов: f(X) < g(Y), т. е. ценность всей выпущенной продукции не превосходит суммарной оценки имеющихся ресурсов. Значит величина ?(У) - f(X) характеризует производственные потери в зависимости от рассматриваемой производственной программы и выбранных оценок ресурсов.

Из первой теоремы двойственности следует, что при оптимальных производственной программе и векторе оценок ресурсов производственные потери равны нулю.

Экономический смысл первой теоремы двойственности можно интерпретировать и так: предприятию безразлично, производить ли продукцию по оптимальному плану X и получить максимальную прибыль либо продать ресурсы по оптимальным ценам У и возместить от продажи равные ей минимальные затраты на ресурсы.

Из второй теоремы двойственности в данном случае следуют такие требования на оптимальную производственную программу X —(xi,x2,...,xn) и оптимальный вектор оценок Y = (УЬУ2>->УтУ-

п

если Уі > О, то Y/tiJ*} = bi, і = 1,т; ^

п

если < bi, то Уі = 0, і - 1,т;

/=1

т

если Xj > 0, то^а4jj/j = Cj, j = l,n;

i=l

(3.11)

m

если ^«(jj/i > Cj, то Xj = 0, j - 1, n.

i= 1

Условия (3.10) можно интерпретировать так: если оценка Уі единицы ресурса г-го вида положительна, то при оптимальной производственной программе этот ресурс используется полностью; если же ресурс используется не полностью, то его оценка равна нулю.

Из условия (3.11) следует, что если у-й вид продукции вошел в оптимальный план, то он в оптимальных оценках не убыточен; если же у-й вид продукции убыточен, то он не войдет в план, не будет выпускаться.

Кроме нахождения оптимального решения должно быть обеспечено получение дополнительной информации о возможных изменениях решения при изменении параметров системы. Эту часть исследования обычно называют анализом модели на чувствительность. Он необходим, например, в тех случаях, когда некоторые характеристики исследуемой системы не поддаются точной оценке.

Экономико-математический анализ решений осуществляется в двух основных направлениях: в виде вариантных расчетов по моделям с сопоставлением различных вариантов плана и в виде анализа каждого из полученных решений с помощью двойственных оценок. Вариантные расчеты могут осуществляться при неизменной структуре самой модели (постоянном составе неизвестных, способов производства, ограничений задачи и одинаковом критерии оптимизации), но с изменением численной величины конкретных показателей модели. Вариантные расчеты могут проводиться также при варьировании элементов самой модели: изменении критерия оптимизации, добавлении новых ограничений на ресурсы или на способы производства их использования, расширения множества вариантов и т.д.

Одно из эффективных средств экономико-математического анализа — использование объективно обусловленных оценок оптимального плана. Такого рода анализ базируется на свойствах двойственных оценок. Выше мы установили общие математические свойства двойственных оценок для задач на оптимум любой экономической природы. Однако экономическая интерпретация этих оценок может быть совершенно различной для разных задач.

Перейдем к рассмотрению конкретных экономических свойств оценок Уі оптимального плана. Сначала перечислим эти свойства, а затем проиллюстрируем их конкретными примерами.

Свойство 1. Оценки как мера дефицитности ресурсов и продукции.

Свойство 2. Оценки как мера влияния ограничений на функционал.

Свойство 3. Оценки как инструмент определения эффективности отдельных вариантов.

Свойство 4. Оценки как инструмент балансирования суммарных затрат и результатов.

L Пример 2. (Задача о планировании выпуска тканей). Пусть некоторая фабрика выпускает три вида тканей, причем суточное плановое задание составляет не менее 90 м тканей первого вида, 70 м — второго и 60 м — третьего. Суточные ресурсы следующие: 780 единиц производственного оборудования, 850 единиц сырья и 790 единиц электроэнергии, расход которых на один метр ткани представлен в табл. 3.2.

Таблица 3.2 Ресурсы Ткани I II III Оборудование 2 3 4 Сырье 1 4 5 Электроэнергия 3 4 2 Цена за один метр ткани вида I равна 80 денежным единицам, II — 70 денежным единицам, III — 60 денежным единицам.

Необходимо определить, сколько метров ткани каждого вида следует выпустить, чтобы общая стоимость выпускаемой продукции была максимальной.

Составим модель задачи. Введем следующие обозначения. Неизвестными в задаче являются объемы выпуска ткани каждого вида:

*1 — количество метров ткани вида I; *2 — количество метров ткани вида И; *з — количество метров ткани вида III.

п

f(X) = ^CjXj -> max, ;=і

^aitjXj Tj, j = 1 ,n,

Xj > 0.

С учетом имеющихся данных модель примет вид: f(X)=80x1+ 70х2 + 60*з max Ограничения по ресурсам

2х1 + 3*2 + 4*з < 780 х1 + 4*2 + 5*з < 850 3*! + 4*2 + 2*з < 790 *х > 90 *2 > 70 *3 > 60

Плановое задание В результате решения задачи симплексным методом получен следующий оптимальный план: максимум общей стоимости продукции f(X)= 19075 при

*1=112,5м — оптимальный план выпуска ткани вида I; *2 = 70 м — оптимальный план выпуска ткани вида II; *з = 86,25 м — оптимальный план выпуска ткани вида III.

Решение двойственной задачи получим с использованием теорем двойственности. Введем обозначения:

У\ — двойственная оценка ресурса «оборудование»; у2 — двойственная оценка ресурса «сырье»; Уз — двойственная оценка ресурса «электроэнергия»; У4 — двойственная оценка ткани вида I; у5 — двойственная оценка ткани вида II; у б — двойственная оценка ткани вида III. Модель двойственной задачи имеет вид: g(Y) = 780У1 + 850у2 + 790у3 + 90у4 + 70у5 + 60уб-> min 2уі + У2 + Зу3 + У4 > 80, Зуі + 4у2 + 4у3 + у5 > 70, 4уі + 5у2 + 2уз + ye > 60, У 1,2,3 ^ 0, у4>5і6 < 0. Из соотношений второй теоремы двойственности вытекают следующие условия:

для каждого ресурса:

п

если У^ at jXj < bj, то уі = 0;

і=і

п

если у і > 0, то ^^QijXj = bt;

/=і

для задания по выпуску продукции: если Xj> Tj , то ym+j = 0;

если ym+j < 0, то Xj — Tj . (3.12)

Для нашего примера в этих соотношениях т=3 (количество типов ресурсов).

Подставим значения xj = 112,5, х2 = 70 и х3 = 86,25 в ограничения прямой задачи:

2 • 112,5 + 3-70 + 4 • 86,25 = 780,

112,5 + 4-70 + 5-86,25 = 823,75 < 850,

3-112,5 + 4-70 + 2-86,25 = 790, 112,5 > 90, 70 = 70, 86,25 > 60.

Суточные ресурсы по оборудованию и электроэнергии использованы полностью. Сырье используется не полностью, имеется остаток в размере 850 — 823,75 = 26,25 (кг). План выпуска по тканям вида I и III перевыполнен.

Из второй теоремы двойственности вытекает, ЧТО у2, У4 и Уб равны нулю. Остается найти значения уі, у з и у 5. Так как Xi, Х2 и — больше нуля, то все три ограничения двойственной задачи выполняются как равенства:

2уі + у2+ Зу3 + У4 = 80, Зуі + 4 у2 + 4у3 + у5 = 70, 4yi + 5 у2 + 2у3 + ye = 60-

Учитывая, что у2 = У4 = Уб = имеем:

2У1 + Зуз = 80, Зуі + 4у3 + у5 = 70, 4yi + 2у3 = 60,

откуда уі = 2,5; у3 = 25; у5 = -37,5.

Подставив значения неизвестных в целевую функцию двойственной задачи, проверим, выполняется ли условие

/(X) = g(Y) для оптимального плана: g(Y) =780• 2,5 + 850 • 0+

+ 790-25 + 90-0 - 70 • 37,5 + 60-0 = 19075.

Условие первой теоремы двойственности выполняется, следовательно, рассмотренный план выпуска тканей и соответствующая ему система оценок ресурсов и продукции оптимальны.

Экономическое истолкование оценок есть интерпретация их общих экономико-математических свойств применительно к конкретному содержанию задачи. По условию (3.10) не использованный полностью в оптимальном плане ресурс получает нулевую оценку. Нулевая оценка ресурса свидетельствует о его не дефицитности. Ресурс недефицитен не из-за его неограниченных запасов (они ограничены величиной fy), а из-за невозможности его полного использования в оптимальном плане. Так как суммарный расход не дефицитного ресурса меньше его общего количества, то план производства им не лимитируется. Данный ресурс не препятствует и дальше максимизировать целевую функцию /(X).

Ограничивают целевую функцию дефицитные ресурсы, в данном примере — оборудование и электроэнергия. Они полностью использованы в оптимальном плане. По условию (3.10) оценка таких ресурсов положительна (у і = 2,5; у3 = 25).

Рассмотрим теперь понятие дефицитности продукции. По условию (3.12) нулевую оценку (у4 = 0, ye = 0) получает продукция, задания по выпуску которой в оптимальном плане перевыполняются. Очевидно, перевыполнение плана целесообразно по выгодной продукции (ткани I и III видов), т. е. такой, производство которой способствует достижению максимума критерия оптимальности. Размеры производства такой выгодной продукции определяются не величиной задания на выпуск (Tj) (в оптимальном плане они перекрыты), а ограниченностью дефицитных ресурсов. Эту продукцию выпускают как можно больше, пока хватит ресурсов.

Выпуск выгодной продукции лимитируется не только фактом ограниченности дефицитных ресурсов, но и тем, что часть дефицитных ресурсов требуется выделить на обеспечение выпуска невыгодной продукции в соответствии с плановыми заданиями. По условию (3.12) отрицательную оценку (у5 = -37,5) получает продукция, задания по выпуску которой не перевыполняются. Так как по условию задачи (xj > Tj) плановые задания должны быть обязательно выполнены, то продукция делится на выгодную (виды I и III ткани) и невыгодную (вид II ткани).

Если в ограничение двойственной задачи, относящееся к виду II ткани:

Зуі + 4у2 + 4у3+ у5>70

подставить полученные значения двойственных оценок, то получаем

3-2,5 + 4-0 + 4-25 - 37,5 = 70,

107,5 - 37,5 = 70,

т. е. стоимость ресурсов, затраченных на один метр ткани вида И, составляет 107,5 денежных единиц и это на 37,5 денежных единиц больше цены одного метра ткани этого вида. Таким образом, вид II ткани убыточен для фабрики: на каждом выпущенном метре ткани этого вида фабрика теряет 37,5 денежных единиц.

В соответствии с критерием оптимальности плана, в зависимости от того, перевыполняется план выпуска или нет, выпуск ткани вида II поглощает часть дефицитных ресурсов, чем сдерживает рост выпуска выгодной продукции, а тем самым и рост целевой функции.

Оценка ресурса показывает, на сколько изменится критерий оптимальности при изменении количества данного ресурса на единицу. Для недефицитного ресурса оценка равна нулю, поэтому изменение его величины не повлияет на критерий оптимальности. Дефицитность ресурса измеряется вкладом единицы ресурса в изменение целевой функции.

Влияние ограничений по выпуску продукции на критерий оптимальности противоположно влиянию ограничений по ресурсам. Если продукция невыгодна (вид II ткани, 1/5 = -37,5), то увеличение плановых заданий по ее выпуску ведет к уменьшению выпуска выгодной продукции и ухудшает план. Наоборот, уменьшение плановых заданий по невыгодной продукции позволяет снизить ее выпуск, перебросить сэкономленные ресурсы на дополнительный сверхплановый выпуск выгодных видов продукции, что увеличивает значение целевой функции. Изменение плановых заданий по выгодной продукции не изменяет значения целевой функции. Л

Перейдем к анализу модели на чувствительность.

L. Пример 3. На основании информации, приведенной в табл. 3.3, составить план производства, максимизирующий объем прибыли.

Таблица 3.3 Ресурсы Затраты ресурсов на единицу продукции Наличие А Б ресурсов Труд 2 4 2000 Сырье 4 1 1400 Оборудование 2 1 800 Прибыль на единицу продукции 40 60 Экономико-математическая модель задачи будет иметь вид:

f(X) = 40*1 + 60л:2 -> шах ; 2хх + 4х2* 2000, 4*1 + х2< 1400, 2xi + х2< 800,

В результате решения задачи симплексным методом был получен следующий оптимальный план:

X = (200; 400; 0; 200; 0),

f(X) = 40*1 + 60*2 = 40 • 200 + 60 • 400 = 32000, У = (40/3; 0; 20/3),

g(Y) = 2000г/! + 1400г/з + 800г/3 = 2000 ? 40/3 + 800 • 20/3 =

32000.

После того как оптимальное решение получено, выявляется его чувствительность к определенным изменениям исходной модели. В нашей задаче, например, может представить интерес то, как повлияет на оптимальное решение изменение запасов сырья и изменение прибыли от единицы продукции. В связи с этим логично выяснить: 1.

Увеличение объемов какого вида ресурсов наиболее выгодно? 2.

На сколько можно увеличить запас сырья для улучшения полученного оптимального значения целевой функции? 3.

Каков диапазон изменения того или иного коэффициента целевой функции, при котором не происходит изменения оптимального решения? 4.

Целесообразность включения в план новых изделий. Постараемся последовательно ответить на все поставленные вопросы.

1. Ценность ресурсов. В примере 3 объективно обусловленные оценки ресурса «труд» равны 40/3 (у\ = 40/3): «сырье» — 0 (г/2 = 0): «оборудование» — 20/3 (г/з = 20/3). Дефицитный ресурс, полностью используемый в оптимальном плане (^OfjXj = bt), имеет положительную оценку

ІУі > 0); недефицитный, не полностью используемый ресурс (для которого ?aulXj < Ь;), имеет нулевую оценку (Уі = 0). В примере «сырье» не является дефицитным ресурсом:

4*! + х2 < 1400,

4-200 + 400 = 1200 < 1400 = Ь2,

У2 = 0;

а «труд» и «оборудование» — дефицитные ресурсы:

2хх + 4х2 < 2000,

2-200 + 4-400 = 2000 = Ъъ уг = 40/3;

2хг + х2< 800,

2-200 + 400 = 800 = Ь3, у3 = 20/3.

Чем выше величина оценки уі, тем острее дефицитность і-го ресурса.

В примере «труд» более дефицитен, чем «оборудование»: 40/3>20/3. Наиболее выгодно увеличение объемов ресурса труда.

Заметим, что ценность различных видов сырья нельзя отождествлять с действительными ценами, по которым осуществляется его закупка. В данном случае речь идет о некоторой мере, имеющей экономическую природу, которая характеризует ценность сырья только относительно полученного оптимального решения.