1.1 Примеры и способы поиска решений
Пример 1.1 "Дилемма заключенных" (R.Luce, H.Raiffa,1957, Мулен). Двух человек арестовали по подозрению в совершении некоторого преступления.
Судья предложил каждому следующую сделку. Если он сознается в преступлении, а другой нет, то сознавшийся получает 1 год наказания, а несознавшийся — 10 лет. Если сознаются оба, то каждый получит по 7 лет. Заключенным известно, что если никто из них не сознается, то оба получат по 3 года.Игру можно представить с помощью следующей матрицы (Табл.2), в клетках которой слева вверху стоит выигрыш первого заключенного, а справа внизу — второго.
Таблица 2: Второй игрок
сознаться не сознаваться сознаться Первый 7 7 1 10 игрок не сознаваться 10 1 3 3 Все рассмотренные нами виды некооперативных равновесий в этой игре совпадают, поскольку у каждого игрока имеется стратегия строго доминирующая все другие — сознаться. Действительно, худшее, что может получить заключенный, если сознается — 7 лет, если же не сознается, то 10 лет. Поэтому "осторожным" поведением для них будет сознаться. С другой стороны, каждому из них не выгодно изменять этот выбор, поскольку при этом он ухудшил бы свое положение. Поэтому это будет и равновесием по Нэшу. Если первому из заключенных предложили сделать свой выбор первым (он находится в положении лидера), то он, зная, что реакцией второго на любой его выбор будет признание, выберет наилучшее для себя — сознается. То есть равновесие Штакельберга будет там же. Сложное равновесие совпадает с равновесием в доминирующих стратегиях. Любой некооперативный исход выглядит парадоксально неудачным: ведь если оба не сознаются, то оба получат меньшее наказание достигнув Паретооптимумального (щ = —3,и2 = —3). Но такая неоптимальность довольно типична для всех некооперативных решений в разных играх. Если же участники способны кооперироваться и верят в выполнение соглашения партнером, то достигают ядра (—3, —3), входящего в Паретооптимум.
8
В подобных ("биматричных") играх с конечными множествами стратегий двух игроков осторожное равновесие практически ищется так: игрок выбирающий строки в каждой строке находит свой гарантированный выигрыш (то есть минимум в строке), а затем в качестве решения принимает строку или строки с максимальным гарантированным выигрышем.
Аналогично поступает со столбцами игрок выбирающий столбцы.Множество WSE ищется последовательным исключением из игры доминируемых строк и столбцов. Множество Нэшевских равновесий ищется перебором всех клеток; равновесия — это клетки из которых ни одному участнику не выгодно уйти путем смены стратегии.
Альтернативно, при нахождении равновесия по Нэшу, особенно в играх с непрерывными стратегиями, можно воспользоваться понятием функции отклика.
Отображение (многозначная функция) ^(.) нэшевски рационального отклика гто участника на действия партнеров ж^ определяется как и ранее в виде:
Функция отклика показывает, как реагирует участник на действия партнеров. Тогда можно переформулировать определение NE так: Точка х является равновесием по Нэшу т. и т. т., когда
Хі Є Ті(Хі] ИЛИ Хі = Ті(Хі] МІ Є І. (3)
Здесь равенство — если функции J~i(.} являются однозначными, тогда нэшевское равновесие задается просто системой уравнений и соответственно вычисляется. Найдем этим путем NE, StE в примере игры с непрерывными стратегиями.
Пример 1.2 (Трудовое соглашение) Рассмотрим, игру с двумя участниками — профсоюзом и фирмой. Профсоюз может устанавливать заработную плату (w) при ограничении 0 < w < 3, а фирма — количество нанимаемых работников (1 в тыс. чел.) при ограничении 0 < / < 1. Профсоюз максимизирует следующую целевую функцию:
v(w,l) = wl2l2,
где 212 — издержки работы для членов профсоюза. Фирма максимизирует свою прибыль:
Найдем некоторые решения в этой игре.
1) Осторожное равновесие (ММЕ). Оно не очень правдоподобно в рассматриваемой ситуации: ведь фирмы и профсоюзы обычно знают ходы друг друга; но найдем ММЕ для примера. Самое худшее, что может сделать фирма с точки зрения профсоюза, — не нанять ни одного работника. При этом профсоюзу все равно, какую зарплату установить. С другой стороны, самое худшее, что может сделать профсоюз с точки зрения фирмы — установить максимальную зарплату. При этом фирма наймет столько работников, чтобы максимизировать
Находим максимум, приравняв производную этой функции по I к нулю:
Таким образом, осторожное равновесие достигается при I = 1/9 и 0 < w < 3.
При этом w = 3 доминирующая стратегия профсоюза, а у фирмы таковых нет.2) Равновесие по Нэшу (NE). При любом ненулевом количестве нанятых профсоюзу выгодно установить максимальную зарплату (w = 3). Поэтому его функция
отклика будет
ДО = з.
Функция отклика фирмы получается из задачи максимизации прибыли по I:
g(w) = l/w2.
Решив систему уравнений {w = 3, / = l/w2,}
найдем Нэшевское равновесие (w, I) = (3,1/9), которое совпадает с одним из осторожных, поэтому является и седлом.
3) Равновесие по Штакельбергу (StE) (лидер — профсоюз). Профсоюз знает функ цию отклика фирмы, и подставляя ее в свою целевую функцию, максимизирует
v = wg(w) — 2g(w)2 = l/w — 2/w4.
Очевидно, максимум достигается при уровне зарплаты 2, чему соответствует уровень занятости д(2) = 1/4.
Паретооптимум (Р). Целевые функции участников квазилинейны по деньгам, поэтому Паретооптимум можно найти как максимум суммы целевых функций. Эта сумма не зависит от величины заработной платы, поэтому количество нанятых во всех точках Паретооптимума должно быть одинаковым: 1 = І/^їб. Зарплата — любая из интервала 0 < w < 3. Очевидно, что ни одно из перечисленных некоопера тивных равновесий не является Паретооптимальным.
Ядро (С). Точки ядра не должны блокироваться ни одной коалицией: ни коалицией из обоих участников (т.е. должны принадлежать слабой Паретогранице), ни коали цией из одного участника (в качестве индивидуально достижимых выигрышей берем
гарантированные минимаксные выигрыши ). Т.о. ядро состоит из точек (l,w) для
р. которых выполняется: 1 = 1, v = wl — 2l2 > v(w, 0) = 0 u тг = 2у / — wl> тг(3,1/9) = 1/3