ИГРЫ И СТРАТЕГИИ
Существуют два способа формализации игры. Один заключается в описании расширенной формы, которая характеризует порядок игры» информацию и выбор, доступные игроку во время его хода, выплаты игрокам (зависящие от выбора всех игроков) и (возможно) распределение вероятности ходов «природы».650 «Дерево» игры (система узлов) изображает эту расширенную форму.
Дерево, представленное на рис. 11.1, отображает следующую игру двух игроков. В момент ( = 1 только игрок 1 принимает решение. Перед ним две возможности, обозначенные Ь («Левый») и Я («Правый»). В момент < = 2 игрок 2, наблюдающий первоначальное решение игрока 1, принимает решение. Он выбирает из I («левый») и г («правый»). Так как каждый игрок играет только в течение одного периода, нет необходимости в попериодной индексации действий и стратегий. Для удобства полезности (или выплаты) обоих игроков показаны на дереве внизу (они могут представлять сумму выплат, полученных на стволе дерева). Например, если (а^аг) = {Ь,1), где аг обозначает действия агента г, игрок 1 получает полезность, равную 2, а игрок 2 — нулевую полезность.В этой игре игрок 2 следит за ходом игрока 1, прежде чем предпринять свой ход. Случай, когда он не будет этого делать (ходы делаются «одновременно»), изображен на рис. 11.2. На этом рисунке объединение узлов игрока 2 овалом показывает, что он обладает одинаковой информацией о ходах игрока 1 (совершенных, совершаемых или тех, что он совершит) в Ь или й,651 это называется информационным множеством игрока 2. (В игре 1 каждый узел является отдельным информационным множеством). В последовательной игре (игра 1) игрок 2 мог бы иметь разные варианты действий в двух узлах; в Рис. 11.2. Игра 2.
одновременной игре (игра 2) ему доступны
те же ходы, в противном случае он был бы способен распознать эти узлы. На языке данной главы можно определить игру 2 как статическую игру, а игру 1 как динамическую.
На формальном уровне нет необходимости разде- лять эти два типа игр, однако такое различие облегчает введение концепции Нэша.Мы полагаем, что полная структура дерева «общеизвестнал>: все игроки знают ее, знают, что их оппоненты знают ее, и т. д.652 Любые экзогенные неопределенности (так называемые ходы природы) должны быть включены в дерево.653
В нашем обсуждении игр 1, 2 мы говорили о движении игроков — I или г. Эти движения называются чистыми стратегиями. Чистая стратегия — это уверенный выбор игроком определенного действия. Напротив, игрок (скажем, игрок 1) мог бы выбирать наудачу между / и г, т. е. сыграть I с вероятностью х иге вероятностью 1 — х, где х принадлежит [0,1]. Такая стратегия называется смешанной стратегией.654 Чистая стратегия — это частный случай смешанной стратегии (при х — 0 или х — 1 в предыдущем примере).
Таблица 11.1
Нормальная форма
Игра 1 ^^\Игрок 2 Игрок а\ = (/,/) а\ = (г, г) а\ = (/, г) а\ = (г, /) а\ = Ь а] =й 2, 0 1,0 2, -1 3, 1 2, 0 3, 1 2, -1 1, о
Представление расширенной формы игры в нормальной форме является суммарным представлением расширенной формы. Нормальная форма — это совокупность чистых стратегий, доступных каждому игроку при каждом из его информационных множеств в расширенной форме. В играх 1 и 2 игрок 1 имеет две чистые стратегии: а\ — Ь и а\ — Л. В игре 1 игрок 2 имеет четыре чистые стратегии: а\ = {М}* а\ = {г, г}, а\ = {^,г} и а\ = {**,/}, где, например, а\ = {/,г} означает, что игрок 2 реагирует на а\, играя /, и на а2, играя г. В игре 2 игрок 2 имеет только две чистые стратегии, которые соответствуют стратегиям а\ и а\ игры 1. Нормальная форма также распределяет чистые стратегии в выплаты каждому игроку. Например, в игре 1 выплата игроку 1 за чистые стратегии —
это = 2» так как игрок 1 играет X, а игрок 2 отвечает также игрой Ь.
Нормальные формы часто изображаются в виде матриц, как в табл. 11.1.
Обобщая, можно определить игру в нормальной форме как множество возможных чистых стратегий или действий Л,- и платежных функций
для каждого г-го игрока.
Как и при расширенной форме, можно увеличить пространство стратегий и допустить смешанные стратегии. Смешанная стратегия для г-го игрока — это распределение вероятности на множестве А; (таким образом, стратегическое
пространство тогда — это А{, множество распределений вероятности на А{). Выплаты за смешанные стратегии являются ожидаемыми величинами соответствующих выплат за чистую стратегию.
Упражнение 11.1*. Рассмотрите расширенную форму игры, изображенную на рис. 11.3. 1.
Каковы информационные множества игрока 2? Игрока 1? 2.
Запишите эту игру в нормальной форме. 11.2.