ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ

Упражнение 2.1

?* = -а~Т~' И €Р = -а 'Д ' Р = °-

Функция Кобба—Дугласа имеет постоянные эластичности.

Упражнение 2.2

Функция спроса имеет вид 1 — р/в =

Решение в условиях монополии дано уравнениями [2.3] и [2.4].235 Здесь

откуда ц = 1/3 и 5 = 2/3 с. Заметьте, что объем выпуска не зависит от с.

Оптимум общественного плановика задается уравнениями [2.1] и [2.2]. Здесь

» 1. Монополия. При наличии только одного магазина монополист назначает цену 5 — ?. (Если з велико, он предпочитает покрыть рынок, т. е. снизить цену настолько, чтобы все покупали продукт). При наличии двух магазинов он может увеличить цену до в — 0. 2. Общественный плановик. Потребительский излишек задан (неэластичное потребление). Число магазинов влияет только на стоимость транспортировки. Таким образом, увеличение в благосостоянии от добавления второго магазина составляет

В тексте было показано, что если ар < сг — (1 — а)со, то не все неинформированные потребители могут покупать товар, так как иначе монополист снизил бы качество. Также было показано, что некоторые неинформированные потребители должны покупать товар, так как иначе монополист предлагал бы высокое качество. Пусть 7 из (0,1) — часть неинформированных потребителей, которые покупают товар. Монополист должен случайным образом выбирать между двумя уровнями качества (иначе 7 равнялась бы нулю или единице). Поэтому ему должно быть безразлично

Эффективный объем торговли равен N[1 — ?(0о)]- Потребители с высокой 9 должны получать высокое 5. 2.

Во многом, как и в примере с Робинзоном Крузо, предложение автомобилей, О(р), по цене р есть О(р) = N Р(р/в о). Среднее качество на рынке есть

Решающим является проверка того, что с18а'(р)1с1р > 0.

Покупатель с параметром в покупает тогда и только тогда, когда 0за(р) > р. Поэтому

Конкурентное равновесие означает, что О(р) = О(р). Для этой модели Таким образом, если 0О > 1/2, торговли быть не может (как в примере с Робинзоном Крузо). Если 0о 5: 1/2, существует единственное конкурентное равновесие при цене р — во — 20о* Объем торговли равен N(1 — 20о) < N(1 — 0о). 4.

Изменяя РиС, можно легко получить многократные пересечения О и Б. Обозначим через рх и р% две равновесные цены, причем р\ < р2. Продавцы, естественно, предпочитают равновесие при цене р2. Покупатели тоже; большее предпочтение при цене р2 означает, что спрос также выше. Поэтому

Оказывается, что равновесие Вальраса с самой высокой ценой не обязательно должно быть оптимальным, даже когда принимаются во внимание информационные ограничения (т. е. центральный плановик может получить лучшее решение, даже если он не знает частные характеристики). Например, может быть желательно некоторое рационирование [71]. 5.

Рассмотрим условия вопроса 3. При минимальном стандарте качества $0 среднее качество при цене р будет

Возьмем, например, 0О = 1/2. Если $о = 0. торговли нет. Если йо > 0» торговля имеет место при р = \j2yJso -{- $о*

Межвременная прибыль может быть записана как *(р1 — С1 )[1 - ДрО] + Ьх(рх - с)[1 - /^(р,)] = (1 + Ь)х\рх - с(?)][1 - Дрх)],

где с(?) = (с4-^с)/(1+?) — средняя дисконтированная стоимость (вспомним, что стоимость приобретения N постоянных покупателей равна N с/х = N15).

Если 6 возрастает до бесконечности (что соответствует случаю, когда потребители очень быстро получают информацию и монополист может долгое время использовать своих информированных постоянных покупателей), спрос (уровень престижа фирмы) превращается в монопольный спрос в условиях полной информации.

Для низкокачественного монополиста монопольная цена определяется сравнением 0о^о — Со (продавать всем потребителям) и <7і(0і$о ~ со) (продавать только потребителям с высокой 9). Для высококачественного монополиста замените 50 на sif а с0 на с\. 2.

Пусть имеет место набор S\. Лучшим выбором низкокачественного монополиста, который в разделяющем равновесии обнаруживает, что качество низкое, является его монопольное решение. Из вопроса 1 следует, что он продает товар всем потребителям и получает прибыль (9Q,SO — со)(1 -f 5). Ему не следует дублировать стратегию высококачественного монополиста. Допустим, что последний продает товар по цене pi только потребителям с параметром 9\. (Для этого необходимо, чтобы pi > #o(0<ь$о ~ со)0 + ?) > Qi(Pi — со + ^(01 «о — со))-

Далее, высококачественный монополист не желает дублировать стратегию низкокачественного монополиста:

где используется оптимальная монопольная стратегия во втором периоде. Эти два уравнения, условие pi > 90s\ и неотрицательность прибыли выполняются для параметров 5i и, скажем, pi = 90Si. Чтобы закончить доказательство, предположите, что потребители полагают уровень качества равным s0> когда цена первого периода отличается от 0о^о и 0о<$1 • Аналогичные вычисления дают результат для набора 52-

В тексте показано, что нечестный монополист выбирает низкое качество с вероятностью 1, только если ci — Со > 6(9 — со), и выбирает высокое качество с вероятностью 1, ТОЛЬКО если Cl — Со < ?(0Ж1 —Со)- Поэтому в равновесии монополист должен случайным образом выбирать между низким и высоким качеством.

Для того чтобы нечестному монополисту было безразлично, какой уровень качества выбирать, необходимо, чтобы ci — cq = 6(9x2 — cq). Отсюда формула в тексте.

Когда xi мало, нечестный монополист не может с достаточной вероятностью выбирать высокое качество, иначе потребители переносят на него большую нагрузку, что снижает выгоды от репутации.

(Следующее доказательство является просто продолжением доказательства Крепса—Милгрома—Робертса—Уилсона в их модели грабительского ценообразования (predatory pricing)).

Будем действовать с помощью обратной индукции от последнего периода. xt обозначает вероятность в период t (последующую вероятность) того, что монополист является честным.

В период Т нечестный монополист обеспечивает низкое качество при любом

В период Т — 1 игра идентична двухпериодной игре, проанализированной в тексте, с начальной вероятностью хт-i- Мы знаем, что, если К <1, равновесие включает в себя полное обнаружение для любого хт-1* Если К > 1, равновесие является либо «объединяющим (pooling) равновесием» (нечестный монополист обеспечивает высокое качество с вероятностью 1), либо «полувыявляющим равновесием» (нечестный монополист обеспечивает высокое качество с вероятностью ат-\ из [0,1]). Прибыль на всем горизонте нечестного монополиста с периода Т — 1 равна вКхт-i - со в области полувыявляющего равновесия и 0

- Ci + 6(вхт-1 — со) в области объединяющего равновесия. Область полувыявляющего равновесия определяется ограничением 0 < хт-\ < ^т-i» а объединяющего равновесия — ограничением хт-1 < ^Т-i < Ь гДе разделяющая вероятность хт-i определяется из условия

Во-первых, не будем рассматривать неинтересный случай К <1. В период Т — 2 потребители и монополист знают, что нечестный тип будет в любом случае обеспечивать низкое качество в период Т — 1. Таким образом, ситуация такая же, как если бы период Т — 1 был последним (как в двухпериодной модели). Поэтому нечестный тип обеспечивает низкое качество для любой вероятности ХТ-2' По обратной индукции это свойство выполняется для всех t.

Затем допустим, что К > 1, и рассмотрим период Т — 2. Может ли нечестный монополист проявлять свой тип с вероятностью 1? Если да, то он сэкономил бы ci — Со, иначе он ожидал бы периода Т — 1, чтобы использовать свою репутацию. (В действительности такая стратегия в период Т — 1 доминируема). Но он потеряет 6(0 — со) > Ci — со- Таким образом, равновесие не может быть выявляющим. Опять есть две области. Область полувыявляющего равновесия (xj>_2 < ^7 -2) такова, что в период Т — 1 монополист попадает в нее, если он обеспечивает высокое качество в период Т — 2. Поэтому разделяющая точка между двумя областями в период Т — 2 определяется условием

(В разделяющей точке монополист производит высокое качество с вероятностью 1,

В области полувыявляющего равновесия прибыль нечестного монополиста на всем горизонте равна 0К2хт-г и по индукции xt = 1/Кт~236.

Для любого фиксированного t xt стремится к нулю, когда Т стремится к бесконечности. Поэтому для любого Х\ и любого t нечестный монополист производит высокое качество с вероятностью 1 по крайней мере до периода ?, если Т достаточно велико.

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ

Еще по теме ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ: