ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ

Во-первых, не может быть равновесия, В котором и Р\ И Р2 строго выше с2 (по тем же причинам, что и в случае симметрии). Во-вторых, фирма 2 не назначит цену ниже с2 (она получила бы отрицательную прибыль, если бы продавала товар).3' В-третьих, фирма 1 может гарантировать себе прибыль, приближаясь как можно ближе к (сч — с\ )/)(с2), назначив цену с2 — ? (где е — малое положительное число).

Когда рт(с1) < С2, фирма 1 может назначить свою монопольную цену, не беспокоясь об угрозе со стороны фирмы 2.

Упражнение 5.2

Предположим, что фирма 1 назначает цену

р* = 1 - (?1 +я2) >

Очевидно, что у фирмы 2 нет стимула назначать цену ниже р*. Предположим, что она назначает цену р > р*. Остаточный спрос равен

Это означает, что фирма 2 должна выбрать р — 1/2 (что является монопольной ценой при отсутствии ограничения мощности). Однако р* > 1/2. Из-за вогнутости своей целевой функции выше р* лучшее, что может сделать фирма 2, это назначить цену р*.

Упражнение 5.3 1.

q = 1/4 ==» IP = 1/16. 2.

При дуополии <7=1/3 =>• П1 = 1/9 < 2 • 1/16. 3.

Очевидно, что монополия будет успешнее: она получит агрегированную прибыль, равную 1/4. 4.

При ценовой конкуренции фирма, производящая два взаимозаменяемых продукта, назначает на эти продукты цены более высокие, чем назначили бы две отдельные фирмы.

и, следовательно, вызывают менее агрессивную реакцию третьей фирмы.

Более подробно о поглощениях и конкуренции Курно см. [16, 50, 58], о поглощениях и равновесии Бертрана см. [19].

Упражнение 5.4 1.

Пусть с\ = w-j-r и С2 = 2w-\-r обозначают удельные затраты. В равновесии Курно

1 — 2ci — ci 1 — 2с2 -f cj

?. = j и „2 = -

ИЛИ

1 — г 1 — г — 3w

91 = — и „2 = —. 2.

IT = max{^i [1 - qi - q2 - (г + w)]}.

Я\

Из теоремы об огибающей дП

дги

Изменение ги имеет два эффекта: оно увеличивает затраты фирмы 1 и ослабляет стратегическую позицию фирмы 2. Так как у фирмы 2 высокая трудоинтен- сивность, она должна значительно сократить объем выпуска. В общем случае может доминировать любой из двух эффектов.

Упражнение 5.5

1. шах[(1 - <7i - q2)qi - qf/2] ==? 1 - 3qi - q2 = 0.

4i

По симметрии <7i = g2 = 1/4 и П1 = П2 = 3/32. Заметьте, что предельные затраты равны 1/4. 2.

Объемы выпуска двух фирм находятся решением

П1 = шах [91(1 - П2 = шах[92(1 - <71 - Чг) ~ ~~]•

{42} *

Условия первого порядка дают решение.

Из теоремы об огибающей

сШ1 <9?2 , Ч\ ,

Однако при а = 1/4 Я1 = О, поэтому с/ГР/с^а < 0.

Интерпретация. Когда а = 1/4, фирме 1 безразлично, продавать одну единицу на рынке 2 или не продавать (так как Р(0) — а — 1/4 = МС). Но «стратегический эффект* играет против фирмы 1: фирма 2 знает, что при а — \/4 + е фирма 1 продает небольшое количество продукта на рынке 2 и, следовательно, имеет более высокие предельные затраты.

Упражнение 5.6

! Е;1Г = ?«(р-с0а = = Яп

Я р<2 ? ?

Р ~ С\ Р> 2.

— — Чг п

р Р

означает, что

Упражнение 5.7

Объемы выпуска и прибыли выведены в разделе 5.4. Заметьте, что

1 2 Я = Ч\ + Я2 = ~(2 - С1 - с2) = ~(1 - с).

Таким образом, общий выпуск не зависит от степени асимметрии затрат. Пусть фирма 1 будет фирмой с низкими затратами: С\ < с < с2. Когда с\ снижается (а с2 = 2с - с\ повышается), повышается, а д2 снижается. Поэтому

а* повышается, а «2 снижается. Таким образом, любой индекс концентрации, удовлетворяющий критерию Лоренца (как три индекса, упомянутые в тексте), возрастает.

Общая прибыль

П = ^[18с1(с1 - 2с) + (2 - 4с + 20с2)].

П — выпуклая по с\ функция с минимумом в с\ = с.

Упражнение 5.8 1.

равняется чистому потребительскому излишку плюс прибыль отрасли или валовому потребительскому излишку минус общие затраты. Изменение в валовом потребительском излишке равно рйС}, где 8(} = бдц изменение в затратах равно 2.

Максимизируйте ЬУУ при ограничении

i=i

8W в этом случае называется градиентным показателем функционирования отрасли (industry performance gradient index).

Лагранжиан равен

?[(p-C{)%-A«*?] + Afc.

i=l

Получаем Таким образом,

т=Е?,Лр-с>)>

2А

Используя вышеуказанное ограничение, получаем

EL.(p-g')2

4А2

Подставляя Л, получаем

№ = ру/к.

где е — эластичность спроса.

Рассмотрение малых изменений обычно (неформально) оправдывается возможностью того, что экзогенные переменные (например, затраты), лежащие в

основе конкуренции Курно, изменяются медленно и что те из этих переменных, которые контролируются правительством, должны изменяться медленно (по информационным причинам; в частности, литература по налоговой реформе подчеркивает, что эластичности спроса и предложения известны только локально, а это делает радикальные изменения опасными).

То, как связаны изменения экзогенных переменных и изменения объема выпуска, остается открытым вопросом.

Другие примеры типов конкуренции и индексов см. в [13].

Упражнение 5.9

Примем «произвольное» правило рационирования. 1.

Обозначим через р и нижнюю и верхнюю границы поддержки смешанной стратегии фирмы г.

Сначала предположим, что р± > р^ или р{ = р^ и фирма j назначает цену р} с нулевой вероятностью. Тогда фирма г получает нулевую прибыль, поскольку при назначении ею цены р, она продает с нулевой вероятностью. Далее, фирма j также получает нулевую прибыль; либо р. — с, либо р. > с (в последнем случае фирма могла бы обеспечить себе положительную прибыль, назначив цену р — ? и производя И(р. — ?) — противоречие). Поэтому остается только р± = ри обе фирмы играют изолированно при этой цене (т. е. играют по этой цене с положительной вероятностью). Если ?>(р^) > 0, то каждая фирма может немного снизить свою цену, все еще производя ?>(р,), и быть способной продать весь объем ^(р,), если другая фирма назначает цену р± (что она делает с положительной вероятностью). Поэтому = р^ = р, где Г>(р) = 0. И снова ни одна фирма не получает прибыли. 2.

Если фирма ^ производит ?>(р;), когда она назначает цену , потребители никогда не рационируются фирмой j, а прибыль фирмы г при назначении ею цены рх равна

{[1 - />(р,)]р* ~ c}qi, если 0 < щ < 1>(р0,

и

[1 - Г,-(р0]р*Я(р0 - если д, > И{рг).

Очевидно, что оптимальным количеством при цене р{ будет — Х)(р») (или нуль). 3.

Если /"(р) = 1 — с/р для всех р из [с, р],

{[1 - Др)]р - с}?(р) - 0.

Каждая фирма играет изолированно при цене р.