10.6 Рынки экстерналий

В этом параграфе мы покажем, что неэффективность равновесия экономики с экстерна- лиями - следствие отсутствия рынков экстерналий. Другими словами, если в дополнение к

рынкам обычных благ возникла бы полная система рынков экстерналий, для такой экономики была бы справедливой первая теорема благосостояния, т.

Предположим, что в дополнение к обычным рынкам, существует полная система конкурентных рынков экстерналий, т. е. существует рынок для каждой экстерналии из множеств E, Ej.

Обозначим

через qtsk цену экстерналии, состоящей во влиянии потребления k-го блага i-м потребителем на благосостояние s-го потребителя, xtk ^ us;

через qtjk цену экстерналии, состоящей во влиянии потребления k-го блага i-м потребителем на производственные возможности j -го производителя, xtk ^ gj;

через qjtk цену экстерналии, состоящей во влиянии производства k-го блага j -м производителем на благосостояние i-го потребителя, yjk ^ u;

через qjsk цену экстерналии, состоящей во влиянии производства k-го блага j-м производителем на производственные возможности s-го производителя, yjk ^ gs;

через q полный набор цен экстерналий.

В этой модели предполагается, что платит тот, кто создает экстерналию. Может оказаться (например, в случае положительных экстерналий), что эта цена экстерналии отрицательна. Это следует понимать в том смысле, что "потребитель" экстерналии платит за нее тому, кто создает экстерналию.

В этой ситуации задача потребителя i модифицируется следующим образом:

ui(xi, x-i, y) ^ max (10.16)

^Pk xtk + k

+ E

qisk xik + E

qijk xik

- E E qsikxsk - E E qjikyjk ^ вг,

k:xsk^Ui j k:yjk^"i

Xi G Xj.

Потребитель здесь выбирает объемы потребления благ Xj и влияющих на него экстерналий.

Хотя запись бюджетного ограничения выглядит довольно громоздкой, смысл ее достаточно прост: первая сумма - расходы на оплату обычных благ из рассматриваемого потребительского набора, следующие вторые суммы (вторая строчка бюджетного ограничения) - оплата внешних влияний, оказываемых данным потребителем на всех других экономических субъектов.

dui

= V

dXik

Условия первого порядка для решения этой задачи выглядят следующим образом:

pk + Y Qisk + Y Qijk I Vk, (10.17)

\

s : xik j:xik ->9j

du' du'

i = -ViQsik Vs, k : Xsk ^ U-, --- = -ViQjik Vj, k : yjk ^ Щ. (10.18)

ГЛ i^lsik " ^ sk ^ij C\

dxsk dyjk

Прибыль j-го производителя задается функцией

nj ^ q, y, x) = Y pk yjk -

keK

УЗ qjikyjk - Y qjskyjk +

js

iei ,kieK:yjk -Щ s,k:yjk-gs

+ Y Y q-jk Xik + Y Y qsjk ysk

iei k:xik-gj s=j keK:ysk-gj

Задача j -го производителя модифицируется аналогичным образом:

nj(p, q, yj, y-j, x) ^ max (10.19)

g(yj, y-j, x) > 0.

Производитель выбирает объемы производства благ yj и влияющих на него экстерналий. Определение 72:

Назовем (p, q, x, y) равновесием с торговлей экстерналиями и трансфертами S (^^i Si =

0 ), если

(x, y) - решение задачи (10.16) при ценах обычных благ p, ценах экстерналий q, доходах

в' = pWi + J2 Yijпj (p, q, y, x) + Si.

jeJ

(y, x) - решение задачи (10.19) при ценах p и q.

(x, y) - допустимое состояние, т. е.

Y(X'k - W'k) = Y yjk Vk. iei jeJ

Заметим, что выполнение условий (i) и (ii) гарантирует совпадение при данных ценах p и q спроса и предложения на рынках экстерналий. Поэтому соответствующее требование не включено в определение равновесия.

Следующая теорема является аналогом второй теоремы благосостояния для равновесия с торговлей экстерналиями.

Теорема 112:

Пусть (x, y) - Парето-оптимальное состояние экономики с экстерналиями. Предположим также, что

x- ? int Х- (равновесие внутреннее) Vi;

функции полезности u-(x, y) и производственные функции gj(y, x) дифференцируемы;

существует благо ko, для которого выполнены условия (O);

функции полезности u-(x, y) и производственные функции gj(y, x) вогнуты. Тогда существуют цены p и q и трансферты S, такие что (p, q, x, y) является равновесием с торговлей экстерналиями. J

Доказательство: Как и в предыдущих теоремах, ограничимся схемой доказательства.

Цены выбираются следующим образом:

Pk = ^k,

q =_A dusfoy) q djyx)

qisk - As л , qijk - Mj о ,

d-ik d-ik

q =_A dui(x, y) q ,, %*(y, x) qjik - Ai p. , qjsk - V-s " .

Далее доказывается, что (X, y) является решением задачи (10.16) при данных ценах и таких доходах, которые в точности покрывают расходы на приобретение набора (X, y) обычных благ и экстерналий, т. е.

вг = Е Pk -ik + k

+ Е

qisk -ik + Е

qijk -ik

- E E qsik-sk - E E qjikyjk.

s=i k:xsfc^"i j k:yjfc^"i

Действительно, точка (X, y) является допустимой. Поскольку задача каждого потребителя является выпуклой, то для доказательства этого факта достаточно установить, что при этом выполняются условия первого порядка.

Условия первого порядка Парето-оптимума можно переписать следующим образом:

(x, y) I V^ w;

A^-d- = Pk +2^ qisk + 2^ qijk,

-ik s:xik^us j:xik j

Это есть условия первого порядка (10.17) в задаче потребителя при Vi, равном р. При том же Vi условия первого порядка (10.18) следуют из определения цен qsik, qjik.

Аналогичным образом доказывается, что (y, x) является решением задачи (10.19) при данных ценах.

Для доказательства теоремы осталось указать величины трансфертов S. Легко видеть, что требуемыми трансфертами являются величины

Si = ei - P^i - Е Yijnj(p, q, y, x),

jeJ

где ei определены выше. Читатель может проверить, что их сумма равна нулю. ?

Замечание: Теорема верна и без условия дифференцируемости. При этом условие (O) заменяется на предположение о локальной ненасыщаемости.

Поскольку в модели с торговлей экстерналиями система рынков оказывается полной, справедлива первая теорема благосостояния.

Теорема 113:

Пусть (p, q, x, y, S) - равновесие с торговлей экстерналиями и предпочтения потребителей локально ненасыщаемы. Тогда состояние этой экономики (x, y) Парето-оптимально.J

Доказательство: Доказательство этой теоремы фактически повторяет доказательство первой теоремы экономики благосостояния для "обычной" экономики. ? Связь между ценами экстерналий и налогами на экстерналии устанавливают следующие два утверждения, показывающие, что на основе любого равновесия с торговлей можно построить равновесие с налогами с теми же ценами обычных благ и налогами, равными сумме цен соответствующих экстерналий.

tik = 53 q-sk +53 q-jkVk ? Е',

s:xik -us j:xik-gj . .

' (*) tjk =53 qjik +53 qjsk Vk ? Ej.

i:yjk -Ui s:yjk-gs

Теорема 114:

Пусть (p, q, X, y) - равновесие с торговлей экстерналиями.

Тогда существуют трансферты, такие что (p, X, y) - равновесие с налогами (tj, {Е-}-, tj, {Ej}j), где ставки налогов задаются правилом (®) при q = q. J

Доказательство: Для доказательства теоремы достаточно проверить, что

Х- - решение задачи (10.9) при ценах p, налогах, определяемых tj, Е-, доходах

в' =53 Pk Xik + 53 (Pk + tik )Xik

k/Ei keEi

и объемах потребления и производства других экономических субъектов X_y.

yj - решение задачи (10.12) при ценах p, налогах, определяемых tj, Ej, и объемах производства и потребления других экономических субъектов y _j, X.

Трансферты следует выбрать равными "бюджетным дефицитам" потребителей, а затем доказать, что сумма трансфертов равняется сумме собранных налогов

53 53 tik Xik + 53 tjk yjk.

i j k Ei j j k Ej

Доказательство пунктов (i) и (ii) основывается на том факте, что если (Xi,X2) является решением следующей задачи оптимизации

fo(Xi, X2) ^ max

Х1,Х2

(Xi, X2) ? X,

то Xi является решением редуцированной задачи

fo (XI , X2) ^ max Х1

(Xi,X2) ? X.

Справедливость пункта (iii) - следствие определения трансфертов и налогов t'k, tjk и того факта, что в равновесии с торговлей экстерналиями бюджетные ограничения выходят на равенство. ?

Для справедливости обратного утверждения существенным является предположение о том, что равновесие с налогами Парето-оптимально. Теорема 115:

Пусть (p, X, y) - равновесие с налогами (tj, {Pi}i, tj, {Pj }j) и трансфертами S, причем состояние экономики (X, y) Парето-оптимально. Предположим также, что

выполнены условия Теоремы 111 (ii);

функции полезности U'(X, y) и производственные функции gj(y, X) вогнуты. Тогда существуют цены q экстерналий и трансферты S' такие, что (p, q, X, y) - равновесие с торговлей экстерналиями. При этом q удовлетворяют правилу (*). J

Доказательство: Так как (X, y) - Парето-оптимальное состояние экономики, то по Теореме 112 существуют цены благ p, цены экстерналий q и трансферты S такие, что (p, q, X, y) - равновесие с торговлей экстерналиями.

Возьмем произвольное благо k _ ko. По предположению теоремы существует экономический субъект, потребление (производство) которым этого блага не облагается налогом. Предположим, например, что это потребитель i. (Для случая, если таким экономическим субъектом является производитель, рассуждения аналогичны, что читателю предлагается проверить самостоятельно.) Сопоставляя условия первого порядка задачи потребителя i в равновесии с налогами и в равновесии с торговлей экстерналиями заключаем, что

Pfc _ Pfc.

Pfco Pfco'

Без потери общности можно считать, что p _ p, поскольку цены в равновесии определяются с точностью до множителя.

В соответствии с Теоремой 111 (ii) верно правило Пигу (T ).

Воспользовавшись условиями первого порядка задач потребителя и производителя в равновесии с торговлей экстерналиями,

dus/dxifc qisfc dgj/dxjfc j

- , _ -j Vk e Ej,

ди5/дж5ко Pfco ' dgj/dxjfco Pfco ''

dui/dyjfc _ qjifc dgs/dyjfc _ qjsfc

duj/dXjfco Pfc/ dgs/dysfco Pfco "" "

мы можем переписать соотношения Пигу, учитывая, что часть слагаемых в них равна нулю, в виде (®). ?

Пример 46 ((продолжение Примеров 44 и 45)):

Пусть в экономике Примера 44 происходит торговля экстерналиями между предприятиями. Обозначим через qi и цены на экстерналии, связанные с выпуском продукции 1-м и 2-м предприятием соответственно. Охарактеризуем внутренние равновесия с торговлей экстерналиями. Задача максимизации прибыли j-го производителя имеет следующий вид:

nj _ (Pj - qj)fj (aj, y-j) - P3aj + q-jy-j ^ "max .

Uj ,y-j

Дифференцируя по aj и y-j, получаем условия первого порядка для решения этой задачи:

1 Pi - qi dfi/dy2 q2

d/i/dai P3 'd/i/dai P3'

1 P2 - q2 d/2/dyi qi и

d/2/da2 P3 d/2/da2 P3' Вид условий первого порядка задачи потребителя не изменится:

du/dxi Pi du/dx2 P2 du/dx3 P3 du/dx3 P3'

Исключая из дифференциальной характеристики равновесия цены, получим соотношения, совпадающие с дифференциальной характеристикой Парето-оптимума:

du/dxi 1 d/2/dyi

du/dx3 d/i/dai d/2/da2'

du/dx2 = 1 dfi/dy2 du/dx3 df2/da2 dfi/da{

Заметим, что если налоги вычисляются на основе равновесия с торговлей экстерналиями, то они совпадают с ценами экстерналий. Более того, если предпочтения потребителя строго выпуклы, то налоги Пигу и цены экстерналий совпадают всегда, так как Парето-оптимальное состояние в такой экономике единственно. Д

10.6.1 Задачи

^ 476. Для экономик из задачи 468 на с. 349 охарактеризуйте равновесие с торговлей экстер- налиями. Будет ли оно Парето-оптимальным?