16.7 Игры и Парето-оптимальность
В этой главе мы приведем укажем на условия, гарантирующие Парето-оптимальность решений некоторых игр, рассматриваемых в книге.
Пусть задана игра с полной информацией в нормальной форме:
G = (I, {X}/, {ui}/>.
Напомним определение Парето-оптимальности.
Определение 96:
Исход y е X доминирует по Парето исход x е X (является Парето-улучшением по сравнению с x), если в нем каждый игрок получает выигрыш не меньше, чем в исходе x, а хотя бы один из игроков получает выигрыш строго больше, чем в x, т.
е.ui(yi) > Ui (xi) Vi е I,
и
3j е I : Uj (yi) > Uj (xi).
Исход X е X называется Парето-оптимальным, если не существует другого исхода X е X, такого что он доминирует X по Парето.
Множество всех Парето-оптимальных точек называют границей Парето.
Рассмотренные выше решения (равновесия) не являются в общем случае Парето-оптимальными, что, в частности, показывает следующая игра.
Игра 14. "Игра Ауманна"
Перед двумя участниками игры стоит следующий выбор. Каждый может потребовать, чтобы организатор игры дал сто долларов другому игроку, либо потребовать, чтобы он дал один доллар ему самому. Участники одновременно и независимо делают выбор, после чего организатор игры исполняет их требования.
Игру можно представить с помощью следующей матрицы (см. Таблицу 16.20).
Таблица 16.20. Игра Ауманна
Игрок 2 $100 другому $1 ему Игрок 1
$100 другому $1 ему 100
100 101
0 0
101 0
0 В этой игре у каждого игрока существует строго доминирующая стратегия - потребовать 1 доллар себе. Соответствующий исход является и равновесием в доминирующих стратегиях, и равновесием Нэша. Примечательным является то, что этот исход является единственным не Парето-оптимальным исходом. Так, исход, в котором оба игрока требуют отдать сто долларов другому строго доминирует его по Парето.