Выб ор рациональной стратегии ликвидации портфеля

После оценки случайной нелинейной функции издержек на ре­альных данных была получена возможность сформулировать задачу рациональной ликвидации портфеля. Не ограничивая общности, далее будет рассмотрена задача на продажу актива.

1 25

I =1

блюдаемой информации неупреждающим образом.

Предположим, что в случае проведения операций на рынке ин­вестор не оказывает заметное влияние на рынок, т.е. процесс форми­рования цены не зависит от выбранной им стратегии ликвидации. Для того чтобы легче моделировать портфель из нескольких активов, предположим, что ликвидация одного актива не оказывает влияние на ликвидацию другого.

Сделаем также некоторые предположения о процессе изменения цен. Пусть цена актива в момент времени tимеет следующий вид:

где ∆x_i- независимые и одинаково распределенные случайные вели­чины. Предположим, что для величин ∆x_iи Θ_tсуществуют конечные вторые моменты. Тогда получаем, что ликвидационная стоимость ак­тива есть случайная величина, которая может быть представлена в следующем виде:

С учетом предположений, сделанных выше, и при дополнитель­ном упрощающем предположении, чтоявляются незави­

симыми случайными величинами, можно сформулировать задачу ра­циональной ликвидации в смысле «риск-доходность», введенном Гар­ри Марковицем [112], следующим образом:

Таким образом, при определении рациональной ликвидацион­ной стоимости мы максимизируем ожидаемую стоимость портфеля и при этом стремимся минимизировать отклонение стоимости портфеля от ожидаемой стоимости (в данном случае в качестве меры разброса значений вокруг среднего мы используем дисперсию).

Кроме того, исходя из практических соображений, при модели­ровании ценового процесса мы намеренно отказываемся от использо­вания концепции временного и постоянного влияния на цену, оказы­ваемого объемом сделки на цену, используемого в методологии Р. Альмгрена и Н. Крисса (см. 2.5.3 настоящей работы). Так как стати­стика о торговле крупными блоками (с помощью одной рыночной за­явки) крайне скудна как на отечественных, так и на зарубежных рын­ках, то невозможно надежно оценить эконометрическими методами зависимость цены сделки от объема позиции. В связи с этим трудно

априори подобрать разумную параметризацию для функции влияния на цену, чтобы добавить ее в ценовой процесс. Более того, как показа­но выше, временное влияние на цену в нашем подходе оценивается эмпирическим образом через динамику функции трансакционных из­держек. Таким образом, в предлагаемом подходе происходит оценка временного влияния на цену косвенным образом (через динамику функции издержек). Что касается постоянного влияния на цену, то мы не принимаем его в расчет, исходя из предположения о релаксации рынка^[68], о чем подробнее будет изложено ниже.

С учетом того, что оптимизационная задача (37) носит доста­точно общий характер и является нелинейной задачей оптимизации, а также с учетом ограничений аргумента, для ее решения был выбран метод проекции градиента. Кроме того, стоит заметить, что в исход­ной постановке имеется два функционала. Для решения задачи услов­ной оптимизации можно использовать метод Лагранжа. Тогда функ­ционал будет выглядеть следующим образом:

где множитель Лагранжа λвыражает несклонность данного инвестора к риску.

С учетом перечисленных выше практических замечаний данную задачу рациональной ликвидации можно переформулировать в терми­

нах динамического программирования с помощью уравнения Беллма- на.

Таким образом, x_tобозначает остаток актива в момент времени t, который необходимо продать за оставшиеся моменты времени.

Сделаем еще одно замечание:

Тогда можно уже выписать задачу рациональной ликвидации в терминах динамического программирования:

Для случайно выбранного момента времени торговли (внутри случайного дня) были проведены расчеты по определению рацио­нальной стратегии ликвидации портфеля, состоящего из 10 000 акций ОАО «Лукойл» за 5, 10 и 15 шагов соответственно (N=5,10,15). При этом был выбран коэффициент неприятия к риску, равный единице (λ = 1). Результаты расчетов приведены на Рис. 3 (по оси абсцисс от­ложены соответствующие шаги, начиная с первого; по оси ординат - оставшийся после ликвидации на соответствующем шаге объем).

Таким образом, можно заметить, что при определенном уровне неприятия к риску имеет место следующая зависимость: чем больше шагов в распоряжении у инвестора, тем менее агрессивный характер должна носить торговля в соответствие с предложенной моделью.

вызвано неприятием потенциальных потерь в будущем вследствие не-

Рис. 3 - Ликвидация портфеля из 10 000 акций ОАО «Лукойл» при N=5; 10; 15 и 9=1.

Далее было зафиксировано количество шагов (N=20) и рассмот­рены рациональные стратегии ликвидации, рассчитанные с помощью разработанной модели, для разных уровней неприятия к риску (см. Рис. 4).

Таким образом, можно сделать вывод, что чем больше уровень неприятия к риску у инвестора, тем более агрессивный характер носит ликвидация (на каждом шаге), что собственно согласуется с рассмот­ренными выше теоретическими предположениями. Особо стоит отме­тить случай при λ = 0, когда рациональная стратегия ликвидации сов-

1 30

V* V* V*

падает с описанной в главе 2 стратегией постепенной ликвидации

Рис. 4 - Ликвидация портфеля из 10 000 акций ОАО «Лукойл»

при N=20 и 9=0;0,002;0,0029;0,545.

Рассчитанные для различных уровней неприятия риска, рацио­нальные стратегии ликвидации портфеля из 10 000 акций можно представить в качестве отдельных точек в пространстве «риск- доходность». В результате получается парето-эффективная граница характеристик портфеля (см. Рис. 5). Данные стратегии доминируют все остальные доступные стратегии, лежащие выше и правее: для фиксированного уровня издержек можно найти стратегию ликвида­ции, приводящую к меньшему риску, а для фиксированного уровня риска - стратегию ликвидации, характеризуемую меньшими ожидае­мыми издержками.

Подводя итоги, можно утверждать, что задача рациональной ли­квидации решена на приемлемом с точки зрения риск-менеджмента уровне точности, позволяющем отразить структуру данных.

1 3 1

1 По оси ординат отложены ожидаемые издержки (Cost(4)), представляющие собой разностъ между ликвидационной и рыночной стоимостями портфеля.

2 По оси абсцисс - риск (Risk(4)) - среднеквадратическое отклонение издержек.

Рис. 5 - Парето-эффективная граница характеристик портфеля из 10 000 ак­ций ОАО «Лукойл» при ликвидации в зависимости от уровня неприятия к риску при N=20.

Таким образом, определение рациональной ликвидационной стоимости портфеля эквивалентно по сути выбору рациональной стратегии ликвидации портфеля при фиксировании ряда параметров: например, количества временных интервалов, в течение которых должна быть закрыта позиция, и уровня несклонности к риску, отра­жающего предпочтения инвестора относительно агрессивности тор­говли. Получаемая на выходе модели ликвидации портфеля стратегия представляет собой вектор, выражающий объемы актива, которые должны быть куплены (проданы) в каждый из временных интервалов.

В любой из этих моментов времени при продаже (покупке) оп­ределенного объема актива путем выставления соответствующей ры­ночной заявки цена актива упадет (вырастет) после ее исполнения. При этом чем больше объем такой заявки, тем сильнее может изме-

1 32

ниться цена в неблагоприятном для нас направлении. Если продол­жать выставлять рыночные заявки на продажу (покупку), то можно ускорить дальнейшее движение цены. Более того, любое движение цены в ту или иную сторону может быть усилено (получить дополни­тельный импульс) путем исполнения выставленных другими участни­ками стоп-лоссов. Однако в соответствии с теорией микроструктуры рынка, если возмущение рынка актива вызвано неинформационным шоком (не подкреплено никакой относящейся к активу - релевантной - информацией), то он должен вернуться в нормальное состояние. Данное свойство рынка является еще одним аспектом ликвидности, который А. Кайл назвал релаксацией рынка.

Таким образом, для того чтобы определить длину временных интервалов (расстояние между точками входа в рынок), нужно оце­нить еще один количественный показатель ликвидности - время ре­лаксации рынка.

3.4