4.2.6Эндогенный рост в модели с оптимизацией нормы сбережений
Указанный недостаток модели может быть устранен посредством решения задачи максимизации полезности потребителя и соответственно — оптимизации потребления. Данную задачу можно решить стандартными методами динамической оптимизации, в частности, с использованием функции Гамильтона.
Ограничение со стороны ресурсов будет выглядеть следующим образом:Y = KaHx~a =C + SK+SH, (4-35)
где SK и SH — объемы сбережений, направляемые на рынки физического и человеческого капитала соответственно.
Равновесие потоков капиталов (инвестиций в физический и человеческий капитал) и сбережений, вкладываемых в данные активы, будут заданы следующими уравнениями (заметим, что нормы амортизации в соответствии с первоначальным упрощением модели равны нулю, они легко могут быть введены в модель, ход, результат и смысл решения от этого не изменятся):
K = SK, (4-36)
H = SH. (4-37)
Стандартное выражение функции Гамильтона для данной динамической задачи будет следующим:
J = u(C)e~pt + XSK +v(KaHl~a -C-SK -SH). (4-38)
Используя для упрощения записи обычную функцию полезности с постоянной эластичностью замещения ст = 1/9,
1-е
= ^ (4-39)
получим условия максимума первого порядка:
ЭJ
дс = 0, (ф40)
dJ =0, (4-41)
'к
ЭJ
э SH
Э S,
= 0, (4-42)
dJ ,
<4'43)
а/
- = (4-44)
Откуда соответственно получаем следующие выражения:
С" Vp' = -v, (4-45)
X = v, (4-46)
\L = v, (4-47)
aKa'lHx'a = -X, (4-48)
(1-сс)/Г#~а = -ц. (4-49)
Предельные значения продуктов физического и человеческого капитала здесь, как видим, равны, что соответствует предположению о равновесии финансового рынка и равноценности (абсолютной за- мещаемости — субституции) финансовых активов на нем.
Преобразуя, подставляя и сокращая (4-45—4-49), получаем выражение темпа прироста потребления, аналогичное стандартному решению задачи Рамсея, которое в устойчивом состоянии соответствует темпам прироста основных переменных:
8 =ёс=\ [ав (1 - «Г - р] = о[а' (1 - «Г - р]. (4-50)
Таким образом, получаем выражение устойчивого постоянного роста с возможностью его положительного значения (при соответствующих значениях параметров) и зависимостью от поведенческих переменных, т.е. эндогенного роста.
Из равенства предельных продуктов человеческого и физического капитала находим их соотношение, которое будет постоянным:
^ = (4-51)
Я 1-сх
Выражая один из видов капитала и подставляя его в производственную функцию, получим формулу с зависимостью от одного из видов капитала в модели:
У =
IZ^I к. (4-52)
а I
\ /
Как видно из полученного выражения, результат принципиально аналогичен простейшей АК-модели эндогенного роста, которая предполагает широкое понимание капитала.