Проблема трех точек
Лаунхардт начинает свое исследование с заявления о том, что его решение проблемы оптимального размещения производства абстрагируется от различий в ценах земельных участков, наличия водных или трудовых ресурсов, а также ставки заработной платы.
Далее он излагает проблему трех точек и решает ее тремя различными способами. Первый предполагает использование тригонометрии для построения вспомогательного "треугольника весов", стороны которого пропорциональны транспортным издержкам производителя на 1 милю перевозки грузов между тремя точками. Этот метод независимо от Лаунхардта вновь открыл спустя 27 лет Джордж Пик, однако он пришел к этому решению более простым способом. Второй способ предусматривает использование модели в духе теоретической механики XVIII в.: линии, исходящие из трех данных точек и ведущие в точку неизвестного оптимального местонахождения предприятия, уподобляются линиям приложения сил. Чтобы продемонстрировать модель в действии, нужно использовать связанные узлом веревки и металлические гирьки и найти точку, в которой физическая система обладает минимальной потенциальной энергией. Этот способ тоже был вторично открыт Джорджем Пиком. Третий подход предполагает построение геометрического "полюса" в точке потребления продукции в "треугольнике размещения". Это решение, соответствующее методу "трех окружностей” Пика, в настоящее время известно по работам современных авторов, работающих в области теории размещения; однако,не все подчас осознают тот факт, что эти авторы мало что добавили нового к оригинальному решению этой проблемы, предложенному Лаунхардтом.Решение задачи путем использования метода "полюсной точки" трудно для понимания, поскольку оно предполагает применение некоторых положений неевклидовой геометрии. В сущности оно заключается в прокладывании дуг, проходящих через две точки, обозначающие источники закупки сырья, независимо от положения точки потребления, но с учетом относительного размера транспортных издержек на 1 милю доставки продукции между всеми тремя точками.
Пересечение дуг определяет положение "полюса". Если воображаемый полюс заменить точкой потребления, можно описать окружность вокруг трех новообразованных точек, а также провести прямую, соединяющую полюс с точкой потребления. Оптимальное место расположения предприятия будет лежать в точке пересечения прямой с описанной окружностью. Так как это решение не зависит от точного положения точки потребления, Лаунхардт расширяет свои доводы на случай отыскания точки оптимального расположения предприятия для любого местонахождения точки потребления по отношению к двум заданным точкам, обозначающим источники сырья. Также он делает попытку распространить полученное решение проблемы трех точек на п точек путем последовательного построения полюсной конструкции для каждых трех точек. Эта процедура, как неоднократно было показано, некорректна, а если бы она и была корректной, то ее применимость ограничивалась бы случаем линейных функций транспортных издержек, когда транспортные издержки на 1 милю доставки груза строго пропорциональны весу перевозимых товаров. Это ограничивает использование как метода "треугольника весов", так и метода, предполагающего построение "полюсной модели". Вплоть до наших дней единственным общим методом решения проблемы п точек служит механическая модель, хотя на практике эта проблема обычно решается компьютерами, которые разрабатывают соответствующие алгоритмы.
В статье 1882 г. можно найти еще ряд проблем, представляющих интерес. На ее последних страницах поднимается проблема, как с наименьшими затратами достичь существующей транспортной сети в условиях, когда все маршруты представляют собой прямые линии, а функция транспортных издержек линейна. Количество отдельных оригинальных идей в этой короткой статье ошеломляет: впервые поставлена проблема минимизации затрат в результате рационального размещения промышленного предприятия при данном, фиксированном рынке сбыта; впервые перечислены экономические силы (помимо транспортных тарифов), которые оказывают влияние на выбор наиболее рационального размещения производства; представлены все три метода решения "проблемы трех точек", которые были известны еще до изобретения линейного программирования в наше время; впервые получено решение простой (классической) транспортной задачи применительно к железнодорожному транспорту. Впечатление от статьи лишь частично снижается из-за ошибочного заявления Лаунхардта о том, что он к тому же решил "проблему п точек" в теории размещения, из-за того, что все его решения относятся лишь к линейной функции транспортных издержек, а также из-за того, что он совсем не затронул вопрос о том, где размещать промышленные предприятия, когда и потребители, и поставщики сырья рассредоточены в пространстве, а не сконцентрированы в одной точке.