• Среднее (ожидаемое) значение случайной величины
Средним, или ожидаемым, значением (математическим ожиданием) дискретной случайной величины Е называется сумма произведений ее значений на их вероятности:
М(Е) = KFXKPK . (4.7)
k = 1
Вьщеляют следующие важнейшие свойства этого показателя [11,25]: 1)
постоянный множитель С можно выносить за знак математического ожидания:
М(СЕ) = СМ(Е)\ (4.8) 2)
математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий:
М(Е + G) = М{Е) + M(G); (4.9) 3)
математическое ожидание постоянной величины С равно этой величине:
M(Q = С; (4.10) 4)
математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
М(Е х G) = М{Е) х M{G). (4.11)
Определим математическое ожидание (т.е. среднее, или ожидаемое, значение доходности) для примера 4.1:
M(R) = R= 0,33 х 12 + 0,33 х 9 + 0,33 х 6 = 9.
Таким образом, средняя (ожидаемая) доходность по акциям равна 9%. Нетрудно заметить, что в случае равной вероятности наступления каждого из событий (т.е. при рк = 1 /п) математическое ожидание случайной величины вычисляется как арифметическое среднее:
М(Е) = kfxkPk = XXk — - (4-12)
k = ] k = I n k = 1 n
Математическое ожидание (среднее, или ожидаемое, значение) — важнейшая характеристика случайной величины, так как служит центром распределения ее вероятностей'. Смысл этой характеристики для рассматриваемого примера заключается в том, что она представляет собой наиболее правдоподобную меру годовой доходности по акциям фирмы "Н".
Однако данная характеристика, взятая сама по себе, не позволяет измерить степень риска проводимой операции. Рассмотрим следующий пример.
Пример 4.2
Рассматривается возможность приобретения акций двух фирм: "А" и "В" Полученные экспертные оценки предполагаемых значений доходности по акциям и их вероятности представлены в табл.
4.2.Таблица 4.2. Значения доходности по акциям и их вероятности (пример 4.2) Прогноз Вероятность Доходность, % Фирма "А" Фирма "В" Пессимистический 0,3 -70 10 Вероятный 0,4 15 15 Оптимистический 0,3 100 20
Как следует из табл. 4.2, средняя доходность по акциям обеих фирм одинакова и составляет 15% (читателю предлагается выполнить соответствующие расчеты самостоятельно, используя формулу (4.7)). Однако величины полученных доходов в наиболее благоприятном случае, как и величины возможных убытков ®
Й о
Z
I- *
о п. 0) ю л
Б
о
X I-
о
с
в наиболее неблагоприятном, будут существенно различаться. На рис. 4.1 и 4.2 приведены графики функций плотности распределения вероятностей для рассматриваемого примера.
Нетрудно заметить, что вероятностное распределение ожидаемого дохода по акциям фирмы "В" сгруппировано вокруг среднего значения (15%) более плотно. Следовательно, вероятность того, что реальная доходность по этим акциям будет ниже средней, значительно меньше, чем по акциям фирмы "А", и можно сказать, что акции фирмы "В" менее рисковые.
В общем случае, чем меньше диапазон вероятностного распределения ожидаемой доходности по отношению к ее средней величине, тем меньше риск, связанный с данной операцией.
Количественное обоснование последнего утверждения может быть получено определением двух других характеристик распределения случайной величины — дисперсии и стандартного отклонения.