Дюрация и выпуклость
Мы показали, что, при прочих равных условиях, чем больше срок до погашения, тем более чувствителен долговой инструмент к изменению своей доходности. Однако срок является не единственным фактором, оказывающим влияние на ценовую чувствительность долгового инструмента к изменениям доходности.
Играют роль и другие факторы: 1) размер купона инструмента; 2) частота купонных платежей; 3) скорость амортизации основной суммы ссуды и 4) текущая доходность инструмента. />В 1938 г. Фредерик Маколи предложил способ измерения ценовой чувствительности к изменениям доходности, который учитывал все факторы, влияющие на ценовую чувствительность4. Этот способ заключается в вычислении дюрации. Мы ввели это понятие в главе 7, однако здесь мы его немного расширим. Если предположить, что изменения доходности происходят на одинаковое количество базисных пунктов (т. е. речь идет о параллельном сдвиге кривой доходности), то два инструмента с одинаковыми дюрациями будут одинаково чувствительны к процентным ставкам. Далее, отношение дюраций двух долговых инструментов является точной мерой их относительных ценовых чувствительностей к эквивалентным изменениям доходности в том случае, если ценовая чувствительность определяется в процентах. Дюрация, измеряемая в годах и обозначаемая здесь через D, является взвешенным средним для времени до погашения для инструмента. Весами служат отношения текущих стоимостей будущих денежных потоков (включающих и проценты, и основную сумму) к текущей рыночной цене инструмента. Текущей ценой инструмента, разумеется, является сумма текущих стоимостей всех будущих денежных потоков, связанных с инструментом. Формула дюрации дается соотношением 8.2.(8.2)
т-Т
?-к ' m
/= і
где wt ~ с/?(0(1 +}’/т) ; / = 1,2,3, ...,пг Т;
ЕСТ(/)(1 +у/т)~'
CF(t) — денежный поток за период у —текущая доходность инструмента; т — количество платежей в году;
Т — количество лет,, охватывающих всю совокупность денежных потоков.
Проведем вычисление дюрации для простой облигации. Рассмотрим 2-летнюю облигацию из табл. 8.1. Она имеет купон 8,250% и такую же начальную доходность, поэтому оценивается по номинальной стоимости. Вычисление дюрации для этой облигации, которое дает значение дюрации, приблизительно равное 1,88 года, приводится в табл. 8.2.
Таблица 8.2. Вычисление дюрации
| Значение t | Денежный поток (в дол.) | Дисконтированная стоимость денежного потока | Вес w(t) | Время (l/m) | Произведение w(t) (t/m) |
| 1 | 4,125 | 3,961 | 0,0396 | 0,5 | 0,0198 |
| 2 | 4,125 | 3,805 | 0,0381 | 1,0 | 0,0381 |
| 3 | 4,125 | 3,654 | 0,0365 | 1,5 | 0,0548 |
| 4 | 104,125 | 88,580 | 0,8858 | 2,0 | 1,7716 |
| Итого | 100,000 | 1,00000 | Дюрация = 1,8843 | ||
Таблица 8.3. Сравнение дюраций
| Срок (в годах) | Купон | Начальная доходность (в %) | Начальная цена | Дюрация (в годах) | Модифицированная дюрация |
| 0,5 | 7,000 | 7,000 | 100,000 | 0,50 | 0,48 |
| 1,0 | 7,750 | 7,750 | 100,000 | 0,98 | 0,94 |
| 2,0 | 8,250 | 8,250 | 100,000 | 1,88 | 1,81 |
| 5,0 | 8,750 | 8,750 | 100,000 | 4,15 | 3,98 |
| 20,0 | 9,375 | 9,375 | 100,000 | 9,38 | 8,96 |
Заметим, что в данной таблице приведены и значения модифицированной дюрации.
Мы обсуждали это понятие в главе 7. Модифицированная дюрация, обозначаемая через D*, связана с дюрацией Маколи соотношением 8.3:D*= . (8.3)
(I А-у/т)
Дюрация находит широкое теоретическое и практическое применение. Заинтересованный читатель может найти примеры таких применений в обширной литературе, предлагаемой в конце данной главы.
Рассмотрим одно из таких применений. Сравним дюрацию 20-летней облигации с дюрацией 5-летней облигации. Заметим, что дюрация 20-летней облигации примерно в 2,25 раза превышает дюрацию 5-летней облигации. Это значит, что изменение доходности, необходимое для снижения рыночной стоимости 5-летней облигации на 1%, вызовет снижение рыночной стоимости 20-летней облигации на 2,25%. Отношения дюраций, подобные тому отношению, которое мы только что использовали для сравнения двух облигаций, предоставляют меру относительной ценовой чувствительности в терминах процентных изменений стоимости. Чтобы эти стоимости выразить в долларах, мы должны умножить отношение дюраций на отношение цен облигаций. Важность этого скорректированного отношения дюраций (adjusted duration ratio (ADR) скоро проявится. Оно задается соотношением 8.4.
ADR=^zyLx^ZIL, {8.4)
Ds-yr Ps-yr
Поскольку обе облигации были оценены по номинальной стоимости, отношение цен равно 1,0. Естественно, что так бывает далеко не всегда. Однако поскольку в нашем случае это именно так, мы можем сказать, что изменение доходности, как раз достаточное, чтобы вызвать изменение стоимости 5-летней облигации на 1 дол., вызовет изменение стоимости 20-летней облигации на 2,25 дол.
Ruino fAui пл\/имт(»пиил паллмлтпртк таммлгпатк пюпяимм \Лсп/ппы
Уже давно было известно, что при прочих равных условиях дюрация инструмента меняется с изменением его доходности. Однако до 80-х гг. на эти изменения не обращали серьезного внимания, за исключением того, что в связи с этим необходимо периодически пересчитывать дюрации и соответствующим образом модифицировать коэффициенты хеджирования или структуру активов и обязательств.
Ситуация начала меняться во второй половине 80-х гг., когда появилась значительная заинтересованность в предсказании изменений дюрации6. Это станет понятно, если рассмотреть пример. Допустим, что финансист корпорации, основываясь на подходе, использующем метод выравнивания дюраций, предложил такой портфель активов, чтобы его дюрация соответствовала дюрации портфеля обязательств. Как изменятся дюрации двух портфелей, если доходность возрастет? Если дюрации изменятся на одну и ту же величину, то структура активов и обязательств останется правильной. Но если дюрация портфеля активов возрастет или снизится в большей или меньшей степени, чем дюрация портфеля обязательств, то структура активов и обязательств перестанет быть правильной.Характер изменения дюрации связан с таким понятием, как выпуклость (convexity). Если мы нарисуем на графике зависимость текущей стоимости (PV) инструмента от его доходности, то взятый со знаком «минус» наклон кривой текущей стоимости и есть дюрация инструмента. Эти зависимости представлены на рис. 8.5. (Наклон прямой линии, касательной к кривой PV, совпадает с наклоном кривой PV в точке касания.)
Рис. 8.5. Взаимосвязь дюрации и кривой PV
Текущая стоимость
alt="" />
Мы видим, что кривая ДКявляется выпуклой кривой; это означает, что ее наклон непрерывно меняется. Мера выпуклости характеризует скорость изменения наклона кривой. Чем больше скорость изменения, тем больше меняется дюрация при изменении доходности. Измерение выпуклости стало важным аспектом исследований во многих областях, включая и управление рисками. Однако сейчас мы лишь рассмотрим кривую PVдля портфеля активов и кривую PVдля портфеля обязательств. Они изображены на рис. 8.6. Заметим, что они имеют одну и ту же начальную дюрацию (обозначаемую через Z),). Далее мы видим, что после увеличения доходности дюрация портфеля активов становится больше дюрации портфеля обязательств (обозначаемой через D2). Если бы мы знали, что кривая PVдля портфеля активов будет иметь большую выпуклость, чем кривая PVдля портфеля обязательств, то мы смогли бы предсказать это изменение дюрации и спланировать модификацию либо портфеля активов, либо портфеля обязательств с целью компенсации этого изменения.
Рис. 8.6. Влияние выпуклости на управление активами и пассивами
Текущая стоимость
Начальная Новая Начальная ^ Новая Доходность
ДОХОДНОСТЬ доходность доходность доходность
Долларовое значение базисного пункта
Еще одной тесно связанной с дюрацией мерой процентной чувствительности является долларовое значение базисного пункта (dollar value of a basis point), обозначаемое через DV01 (долларовое значение 01) или DVBP. (Долларовое значение базисного пункта называют еще ценовым значением базисного пункта (price value of a basis point) и обозначают через PV01 или PVBP. Кроме того, иногда его называют также и текущей стоимостью базисного пункта (present value of a basis point). Величина DV01 является величиной изменения стоимости, приходящегося на 100 дол. номинальной стоимости и происходящего вследствие изменения доходности на 1 базисный пункт. Значения DV01 для пяти облигаций из табл. 8.1 представлены в табл. 8.4.
Таблица 8.4. Значения DV01
| Срок | Доходность | Цена | DV0I |
| 0,5 | 7,000 | 100,000 | 0,00483 |
| 1,0 | 7,750 | 100,000 | 0,00945 |
| 2,0 | 8,250 | 100,000 | 0,01809 |
| 5,0 | 8,750 | 100,000 | 0,03980 |
| 20,0 | 9,375 | 100,000 | 0,08953 |
Значения DV01, представленные в данной таблице, были получены для каждого инструмента путем вычисления цены инструмента при его фактической доходности, последующего пересчета этой цены при доходности на 1 базисный пункт большей его фактической доходности и, наконец, вычитания одной цены из другой. Возьмем две облигации из пяти — 5-летнюю и 20-летнюю. Значение DV01 для 5-летней облигации равно 0,03980, а значение DV01 для 20-летней облигации равно 0,08953. Отношение этих двух величин дает относительную меру изменений долларовых значений, связанных с эквивалентными изменениями доходностей. Так, чувствительность к изменению доходности для 20-летней облигации в 2,25 раза превышает чувствительность 5-летней облигации. Это в точности тот же самый результат, который мы получили посредством вычисления дюраций (после умножения на отношение цен). Таким образом, мы видим, что DV01 и дюрация предоставляют одну и ту же информацию и имеют много общего в приложениях. Далее здесь мы будем использовать только DV01.
Те, кто управляет процентным риском, часто используют позиции по инструментам с разными сроками действия. Позиция по фактическому (actual) инструменту называется наличной позицией (cash position). Некоторые наличные позиции могут быть «длинными», а другие — «короткими». Ясно, что «короткая» позиция по одному долговому инструменту является частичным хеджем для «длинной» позиции по другому долговому инструменту.
DV 01.
' ь
К сожалению, знания величины DV01 для инструмента само по себе недостаточно, чтобы эффективно управлять процентными рисками. Это просто объяснить. Величина DV01 измеряет изменение стоимости в долларах, происходящее от изменения доходности на 1 базисный пункт. Однако не всегда сдвиги кривой доходности параллельны, и поэтому не все доходности изменяются на одно и то же количество базисных пунктов. Чтобы учесть это, управляющий рисками обычно преобразует все процентные риски к некоторому базовому эквиваленту (baseline, или benchmark equivalent). В качестве такового обычно выступает инструмент, на который заключается фьючерсный контракт. Например, базовым инструментом может быть 20-летняя или 10-летняя казначейская облигация. Затем на основе исторических рядов наблюдений для наличного инструмента, по которому фирма имеет позицию, строится регрессия изменения его доходности по изменению доходности для базового инструмента. В результате получается коэффициент бета доходности. Он показывает, на сколько базисных пунктов может измениться доходность наличного инструмента при изменении на 1 базисный пункт доходности базового инструмента. Предположим, что торговец облигациями имеет «длинную» позицию по 15-летним облигациям эмитента X размером в 2 000 000 дол. (номинальная стоимость). Облигации имеют DV01, равное 0,0792. Базовая 20-летняя казначейская облигация имеет DV01, равное 0,0884. И наконец, коэффициент бета доходности (рд) для 15-летних облигаций эмитента X равен 0,84. Тогда может быть использована модель DV01 хеджирования для определения номинальной стоимости базового инструмента, которая будет эквивалентна по риску данной «длинной» позиции. Модель DV01 задается соотношением 8.5, в котором FV означает номинальную стоимость.
FV. = FV • р •
b х DV 01 А
(8.5)
0 0792
FV, = 2 000 000 • ’ • 0,84 = 1 505 158.
ь 0,0884
Из этих вычислений мы видим, что «длинная» позиция в 2 000 000 дол. по облигациям эмитента X эквивалентна «длинной» позиции в 1 505 158 дол. по базовым казначейским облигациям.
Предположим, что фирма имеет «короткую» позицию в 1 800 000 дол. (номинальная стоимость) по 9-летним облигациям эмитента Y. Используя модель DV01, можно вычислить, что эти облигации эквивалентны «короткой» позиции в 1 066 500 дол. по базовым казначейским облигациям. Преобразуя все позиции к единому базовому эквиваленту, управляющие рисками могут корректно оценить степень общей подверженности фирмы риску. Для этого управляющие рисками суммируют базовый эквивалент «длинной» позиции по эмиссии Xс базовым эквивалентом частично компенсирующей риск «короткой» позиции по эмиссии Y и получают чистую подверженность риску, эквивалентную «длинной» позиции в 438 658 дол. по базовой ценной бумаге. Поскольку по базовым ценным бумагам можно заключать фьючерсные контракты, управляющий рисками может применить хеджирование, используя «короткую» позицию по фьючерсам. В данном случае каждый фьючерсный контракт на 20-летнюю казначейскую облигацию заключается на сумму в 100 000 дол. номинальной стоимости облигаций. Таким образом, для полного хеджирования управляющему рисками нужна «короткая» позиция примерно по 4,4 фьючерсного контракта.