Спецификация профилей инвесторов в предложенной модели
Для подбора спецификации функции полезности инвестора целесообразно привести типологию кусочно-линейных форм функций полезности и соответствующих профилей инвесторов. Профили будут увязаны с динамикой предельной полезности.
Для удобства отдельно рассмотрим динамику предельной полезности на положительном и отрицательном участке. Виды функции полезности и соответствующие описания профилей приведены в табл. 12.
Таблица 12. Вид функции предельной полезности и соответствующая спецификация профилей инвесторов
| Вид функции предельной полезности | Тип (спецификация) профиля инвестора |
| Положительный участок | |
| Неизменная | Инвестор, не имеющий ярко выраженных предпочтений |
| Убывающая | Инвестор с убывающей предельной полезностью характеризуется наличием порога насыщения. При достижении определенного уровня дохода каждый дополнительный рубль дохода приносит меньшую полезность, чем предыдущий. Возможно абсолютное насыщение, где предельная полезность обращается в 0. Характерно для консервативных инвесторов, держащих крупных портфель |
| Сначала возрастает, затем убывает | То же, что и выше, однако с зоной пониженной восприимчивости в окрестностях нуля. Доходность ниже определенного порога воспринимается как |
| пренебрежимо низкая (предельная полезность меньше 1 и может обращаться в 0) | |
| Сначала убывает, затем возрастает | Классический случай, описанный М. Фридманом и Л. Сэвиджем. Инвестор в неком диапазоне доходности ведет себя как консервативный (функция полезности убывает), но если доходность превышает определенную величину, профиль сменяется на более агрессивный. |
| Возрастающая | При достижении определенного уровня дохода каждый дополнительный рубль дохода приносит большую полезность, чем предыдущий. Характерно для агрессивных инвесторов либо держателей некрупных портфелей |
| Отрицательный участок | |
| Неизменная | Инвестор, не имеющий ярко выраженных предпочтений |
| Возрастающая | С накоплением потерь полезность снижается возрастающими темпами. Характерно для консервативных инвесторов |
| Сначала убывает, затем возрастает | При малых значениях потерь полезность снижается более медленно, чем нарастают потери. Таким образом, до определенного предела инвестор толерантен к риску. Затем поведение сменяется на консервативное. |
| Сначала возрастает, затем убывает | Характерно для агрессивного профиля. Небольшие потери воспринимаются толерантно (предельная полезность меньше единицы), затем предельная полезность растет. В дальнейшем темп изменения полезности убывает. Характерно для держателей некрупных портфелей. |
| Убывающая | Характерно для агрессивных инвесторов и держателей некрупных портфелей |
Таким образом, при помощи кусочно-линейной аппроксимации можно смоделировать любую функциональную форму полезности, описанную в литературе. Далее будет проведено эмпирическое тестирование методики на 84
примере построения 18 профилей инвесторов с различным отношением к потенциалу/риску, определенным согласно модели кусочно-линейной аппроксимации. При этом все профили будут сгруппированы в зависимости от отношения к риску по традиционной «трехполюсной» системе (консервативные, умеренные и агрессивные профили).
При спецификации моделей была предпринята попытка воспроизвести все описанные выше формы отношения к риску и потенциалу. Для целей тестирования были построены модели инвесторов, соответствующие следующим правилам:
1. Максимальное количество точек перелома равно восьми.
Такое количество позволит достаточно точно отобразить все сложные функции полезности инвестора, описанные в литературе. В то же время у некоторых профилей количество точек перелома менее восьми.2. У соседних профилей различаются или пороговые значения, или углы наклона линейных отрезков, но не то и другое одновременно. Это необходимо для оценки чувствительности методики к изменению данных параметров.
3. Коэффициент угла наклона на интервале желаемых значений доходности равен единице.
4. Коэффициенты угла наклона функции полезности на отрицательной полуоси (потери) тем больше, чем более консервативен инвестор.
5. Коэффициенты угла наклона функции полезности на положительной полуоси (доходность) тем больше, чем более агрессивен инвестор.
6. Среди профилей присутствуют как инвесторы с пределом насыщения, так и без него.
7. Среди профилей присутствуют инвесторы с зоной невосприимчивости в окрестностях нуля.
Характеристики функций полезности всех десяти инвесторов суммированы в табл 13.
Таблица 13. Характерные особенности функций полезности
рассматриваемых инвесторов
| Инвестор | Желаемое значение доходности | Приемлемое значение риска | Наличие области невосприимчиво- сти | Наличие предела насыщения |
| 1 | До 5% | До 5% | - | + |
| 2 | До 10% | До 5% | - | + |
| 3 | 10-20% | 5-30% | (-5% - 10%) | + |
| 4 | 10-30% | 5-20% | - | - |
| 5 | 10-20% | 20-30% | (-20% - 10%) | + |
| 6 | До 10% либо свыше 80% | 5-20% | - | - |
| 7 | 30-50% | 20-30% | (-20% - 30%) | + |
| 8 | 30-50% | 30-50% | (-30% - 30%) | + |
| 9 | 30-50% | 30-50% | (-30% - 30%) | |
| 10 | 30-50% | До 30% | ||
| 11 | Любые | Любые | ||
| 12 | До 30% | До 30% | ||
| 13 | 30-50% | Любые | ||
| 14 | 30-50% | 30-50% | ||
| 15 | 30-50% | 0-30% или 50-70% | - | - |
| 16 | 30-50% или 60-70% | 30-50% | - | - |
| 17 | До 30% или 50-60% | 30-50% | - | - |
| 18 | 50-60% | 30-50% | - | - |
Спецификация функций полезности рассматриваемых инвесторов
представлена в табл.
14.
Таблица 14. Спецификация модели функций полезности инвесторов
для апробации методики
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | |
| Пороговые значение | ||||||||||||||||||
| t1 | -0,4 | -0,4 | -0,4 | -0,5 | -03 | -03 | -03 | -0,7 | -0,7 | -0,7 | -0,7 | -0,7 | -0,7 | -0,7 | -0,7 | -0,7 | -0,7 | -0,7 |
| t2 | -03 | -03 | -03 | -02 | -03 | -02 | -03 | -03 | -0,5 | -03 | -03 | -03 | -03 | -03 | -03 | -03 | -03 | -03 |
| t3 | -0,05 | -0,05 | -0,05 | -0,05 | -02 | -0,05 | -02 | -03 | -0,3 | -03 | -03 | -03 | -03 | -03 | -03 | -03 | -03 | -03 |
| t4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| t5 | 0,05 | 0,1 | 0,1 | 0,1 | 0,1 | 0,1 | 03 | 03 | 03 | 0,3 | 03 | 03 | 03 | 03 | 03 | 03 | 0,3 | 03 |
| t6 | 0,1 | 02 | 02 | 03 | 02 | 0,6 | 03 | 03 | 03 | 0,5 | 03 | 03 | 03 | 03 | 03 | 03 | 0,5 | 03 |
| t7 | 03 | 0,4 | 0,4 | 0,4 | 0,4 | 0,7 | 0,6 | 0,6 | 0,6 | 0,6 | 0,6 | 0,6 | 0,6 | 0,6 | 0,6 | 0,6 | 0,6 | 0,6 |
| t8 | 0,4 | 0,6 | 0,6 | 03 | 0,6 | 0,8 | 0,7 | 0,7 | 0,7 | 0,7 | 0,7 | 0,7 | 0,7 | 0,7 | 0,7 | 0,7 | 0,7 | 0,7 |
| Значение угла наклона | ||||||||||||||||||
| k1- | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 1 | 10 | 1 | 0,8 | 5 | 0,8 | 0,8 | 0,8 |
| k1-2 | 3 | 3 | 2 | 5 | 2 | 5 | 2 | 2 | 2 | 2 | 1 | 5 | 1 | 0,9 | 1 | 0,9 | 0,9 | 0,9 |
| k2-3 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 1 | 0,8 | 1 | 1 | 1 |
| k3-4 | 1 | 1 | 0 | 2 | 0 | 2 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0,8 | 1 | 0,8 | 2 | 2 |
| k4-5 | 1 | 1 | 0 | 0,8 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0,5 | 1 | 1 | 0,8 | 0,8 | 0,8 | 0,8 | 1 | 0,8 |
| k5-6 | 0,6 | 0,6 | 1 | 1 | 1 | 0,8 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1,1 | 0,9 |
| k6-7 | 03 | 03 | 1,5 | 12 | 1,5 | 0,9 | 1,5 | 1,5 | 1,5 | 2 | 1 | 1,5 | 12 | 12 | 12 | 12 | 1 | 1 |
| k7-8 | 0,4 | 0,4 | 0,8 | 1 | 0,8 | 0,9 | 0,8 | 0,8 | 0,8 | 0,8 | 1 | 0,8 | 1,4 | 1,4 | 1,4 | 1 | 12 | 12 |
| ks+ | 0 | 0 | 0 | 03 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0,4 | 0,4 | 1 | 0,4 | 1,5 | 1,5 | 1,5 | 0,8 | 1,4 | 1,4 |
Из таблицы видно, что профили первых шести инвесторов предполагают скорее отрицательное отношение к риску, следующих шести - умеренное, последних шести - положительное. Следует отметить, что данные определения характеризуют профиль инвестора относительно других инвесторов в выборке, а не в абсолютном выражении.
Ниже показаны графики функций полезности приведенных инвесторов, сгруппированные согласно их отношению к риску (рис. 13, 14, 15).
Рисунок 13. Графическое представление функций полезности инвесторов с консервативным профилем
Рисунок 14. Графическое представление функций полезности инвесторов с умеренным профилем
Рисунок 15. Графическое представление функций полезности инвесторов с агрессивным профилем
В табл. 14 и на рис. 13, 14, 15 показано, что первый и второй инвесторы отличаются положением пороговых значений, при этом значения аппроксимирующей функции предельной полезности внутри интервалов между пороговыми значениями идентичны. Второй инвестор характеризуется тем, что при низкой склонности к риску он рассчитывает на получение более высокой доходности по сравнению с первым, который негативно относится к слишком высоким значениям доходности (предположительно, из опасений по поводу низкой вероятности таких значений и возможного последующего резкого снижения доходности). Предположительно, у первого инвестора сумма, размещаемая в портфеле ценных бумаг, является значительной, по причине чего инвестор согласен на относительно низкую доходность в реальном выражении.
Второй и третий инвесторы имеют одинаковые пороговые значения, но отличные веса внутри интервалов. Обратим внимание, что у инвестора 3 в окрестности нуля наблюдается зона невосприимчивости. Иными словами,
данный инвестор готов нести убытки в определенных пределах, но не готов рисковать ради доходности ниже порогового значения.
Четвертый инвестор отличается от других тем, что его предельная полезность с увеличением риска сначала снижается, а затем увеличивается. Это характеризует его как рискованного на малых значениях потерь, но не склонного к риску, если потери превышают определенный уровень. Такой профиль описан в работах Д. Канемана и А. Тверски [103]. С другой стороны, при малых значениях доходности предельная полезность меньше единицы, затем она растет и по мере насыщения снова начинает снижаться. Абсолютное насыщение отсутствует.
Профили пятого и третьего инвесторов идентичны по значениям аппроксимирующей функции, но различаются по пороговым значениям и. Пятый инвестор в большей степени, чем предыдущие четыре инвестора, склонен к риску, поскольку он невосприимчив к потере 20% стоимости портфеля.
У шестого инвестора визуальная форма функции полезности на отрицательной полуоси аналогична форме четвертого инвестора (предельная полезность сначала возрастает, затем убывает). Однако вид функции полезности потенциала выглядит специфически: предельная полезность сначала падает, затем снова растет. Такая форма выражает случай, описанный М.Фридманом и Л. Сэвиджем.
Профиль седьмого инвестора по отношению к риску аналогичен пятому. Однако при том же уровне риска данный инвестор рассчитывает на получение более высокой доходности. По всей видимости, данный инвестор размещает в портфеле небольшие суммы (судя по высокой требуемой доходности), однако сам по себе не готов сильно увеличивать уровень риска для получения дополнительного дохода. В определенном смысле поведение данного инвестора противоречиво, однако модель кусочно-линейной аппроксимации должна справиться и с подобным случаем.
Профиль восьмого инвестора по форме аналогичен предыдущему, но пороговые значения функции полезности риска отличаются. Так, допустимый уровень риска у данного инвестора существенно выше чем у предыдущего.
Профиль девятого инвестора отличается от восьмого только отсутствием предела насыщения.
Отличительная особенность десятого инвестора заключается в отсутствии области невосприимчивости вокруг нуля и асимметричном отношении к потенциалу и риску в окрестностях нуля. Восприимчивость к небольшим значениям доходности снижена.
Одиннадцатый инвестор обладает абсолютно нейтральным отношением к риску и адекватным восприятием риска и доходности на всей области определения. Следует отметить, что у данного инвестора не наблюдается предела насыщения.
Профиль двенадцатого инвестора характеризуется принятием риска в целом большей степени, чем предыдущие, за счет больших пороговых значений перелома функции полезности. Кроме того, у рассматриваемого инвестора отсутствует предел насыщения - на его функции полезности не существует точки, после которой предельная полезность доходности равна нулю. Предположительно, такой инвестор размещает в портфеле средние суммы.
Инвесторы с 13 по 18 относятся к агрессивному профилю. Тринадцатый инвестор отличается нейтральным отношением к риску и возрастающей предельной полезностью потенциала. Около нуля снижена восприимчивость потенциала. Однако в дальнейшем приращение полезности идет возрастающими темпами.
Четырнадцатый инвестор по форме полезности потенциала совпадает с предыдущим, однако отношение к риску у них различается. Функция предельной полезности риска у данного инвестора сначала возрастает, затем убывает. Это означает, что при возникновении потерь инвестор сначала испытывает отвращение к риску, а затем, пытаясь отыграть падение, готов
принимать все больший риск. Данный профиль очень агрессивен, характерен для держателей небольших портфелей.
У пятнадцатого инвестора предельная полезность риска при малых по модулю значениях убывает, а затем возрастает. Похожий профиль отношения к риску имеет четвертый инвестор. В отношении дохода функция аналогична предыдущим двум инвесторам.
У шестнадцатого инвестора отношение к риску аналогично четырнадцатому. Однако предельная полезность дохода поначалу растет, но после определенного предела начинает сокращаться.
Семнадцатый и восемнадцатый инвесторы имеют похожие профили. Различия заключаются в том, что у семнадцатого предельная полезность дохода ведет себя как в случае, описанном М. Фридманом и Л. Сэвиджем - сначала падает, затем растет. У восемнадцатого инвестора предельная полезность доходности растет на всей области. Отношение к риску у этих инвесторов аналогичное - предельная полезность по модулю сокращается при увеличении убытков. Последний инвестор является наиболее агрессивным из представленных.
Таким образом, представленные спецификации функций полезности воспроизводят все описанные в литературе модели поведения инвесторов. Наложение данных спецификаций на характеристики выборки реальных портфелей позволит получить рэнкинг портфелей для каждого из представленных инвесторов и оценить селективность методики.