3.1. Тестирование методики кусочно-линейной аппроксимации в условиях российского фондового рынка

Методика кусочно-линейной аппроксимации функции полезности инвестора будет апробирована на выборке из 255 открытых паевых инвестиционных фондов РФ. Паевые инвестиционные фонды наилучшим образом подходят для тестирования методики по двум причинам.

Отбор фондов осуществлялся следующим образом:

1. Были исключены фонды, имеющие недостаточную историю функционирования (а именно, не прошедшие через период кризиса 2008 года).

2. Фонды были разделены на группы, соответственно их категории (фонды денежного рынка, акций, облигаций, смешанных инвестиций, фондов, индексные).

3. Из каждой группы случайным образом были отобраны фонды, т.о., каждая группа имела равную вероятность попадания в выборку. Структура выборки выглядит следующим образом (рис. 16):

Рисунок 16. Структура выборки паевых инвестиционных фондов

На предварительном этапе для всех фондов выборки по историческим значениям доходности за месяц были оценены характеристики распределения доходности фондов - среднемесячная доходность, волатильность, асимметрия и эксцесс. Полученные данные были усреднены в разрезе категорий фондов. Для целей анализа интересен также показатель размаха вариации, характеризующий неоднородность фондов по определяемому показателю в группе (табл. 15).

Таблица 15. Статистические характеристики доходности фондов в )азрезе категорий. Расчеты автора на основании данных НЛУ [190]

^Примечание: в каждой ячейке вверху - среднее значение внутри группы, слева и справа

- групповые минимум и максимум, соответственно; внизу - размах вариации

Из табл.

С точки зрения волатильности результаты выглядят ожидаемо: в среднем самая низкая волатильность наблюдается у фондов денежного рынка, далее в порядке возрастания следуют фонды облигаций, фонды смешанных инвестиций, фонды фондов, фонды акций и индексные фонды. Размах вариации максимален для фондов смешанных инвестиций, далее следуют фонды фондов, облигаций и акций. Наиболее однородны с точки зрения риска фонды денежного рынка и индексные фонды.

Показатели асимметрии и эксцесса также важны для целей анализа, поскольку на современном этапе доходность инвестиционных фондов распределена зачастую по законам, отличным от нормального. Среднее значение асимметрии для всех групп оказалось отрицательным. Это означает, что типичная форма распределения доходности имеет тяжелый левый «хвост» распределения. Такая форма характерна для подавляющего большинства 95

фондов: 229 фондов из 255 демонстрируют отрицательную асимметрию. Наиболее ярко выраженная асимметрия характерна для фондов с низким уровнем риска - фондов облигаций, денежного рынка, а также смешанных инвестиций. Размах вариации максимален для фондов облигаций и фондов смешанных инвестиций, что свидетельствует о неоднородности фондов внутри данных групп. Самая однородная группа по показателю асимметрии - индексные фонды.

Показатели эксцесса, характеризующие сконцентрированность значений вокруг пика, максимальны для фондов облигаций и денежного рынка и минимальны для индексных фондов. Наиболее неоднородны внутри группы фонды облигаций, смешанных инвестиций и денежного рынка, наиболее однородны индексные фонды.

Для оценки статистической значимости разбиения фондов на группы по категориям была построена регрессионная cross-sectional модель на фиктивные переменные, характеризующие тип объектов инвестирования. В качестве эталонной переменной приняты индексные фонды. Соответствующие фиктивные переменные - STOCK (фонды акций), MONEY (фонды денежного рынка), BOND (фонды облигаций), MIXED (фонды смешанных инвестиций), FUND (фонды фондов). Константа регрессии C показывает среднее значение эталонной переменной (доходность, волатильность, асимметрия и эксцесс для индексных фондов). Коэффициенты регрессии при фиктивных переменных показывают отклонение зависимой переменной от эталонного значения в соответствующей группе фондов. Ниже представлены коэффициенты оцененной модели регрессии (табл. 16).

Таблица 16. Коэффициенты регрессии основных статистических параметров на фиктивные переменные. Расчеты автора на основании данных НЛУ [190]

Из табл.

В случае со средней доходностью, асимметрией и эксцессом доходности складывается иная ситуация, чем с волатильностью. Доходность индексных фондов статистически значима и составляет в среднем около 1% в месяц. Фонды облигаций и фондов показывают доходность ниже, чем индексные, в среднем на 0,35 и 0,43 п.п. соответственно. Коэффициенты при остальных фиктивных переменных незначимо отличны от нуля, что свидетельствует об отсутствии статистически значимых различий между доходностью индексных

фондов и фондов акций, смешанных инвестиций и денежного рынка. Объясняющая способность модели низкая (6,9%), из чего можно сделать вывод, что доходность определяется в наибольшей степени не отнесением к определенной группе, а другими факторами. Это обусловлено большой внутригрупповой дисперсией ожидаемой доходности в группе фондов со средним и высоким уровнем риска. Кроме того, как будет показано далее, в данных группах ниже качество управления.

В случае с асимметрией, значимым оказался только коэффициент при переменной BOND, из чего следует, что только фонды облигаций значительно отличаются от индексных по параметру асимметрии. Средняя асимметрия для индексных фондов составляет порядка -0,74, для фондов облигаций она ниже на 0,94. Объясняющая способность невелика (R²=0,11).

В случае с эксцессом значимыми оказались коэффициенты при переменных MONEY, BOND и MIXED, что означает, что в среднем эксцесс фондов денежного рынка, облигаций и смешанных инвестиций значительно отличается от индексных фондов. Эксцесс фондов акций и фондов значимо не отличается от индексных. Средний эксцесс индексных фондов составляет 3,53, для всех остальных категорий фондов данный показатель выше: для фондов денежного рынка - на 6,06, для фондов облигаций - на 11,16, для фондов смешанных инвестиций - на 3,30. Во всех категориях фондов, таким образом, в среднем распределение более остроконечно, чем нормальное. Объясняющая способность модели -36%.

Для апробации методики в качестве предпосылки принимается, что горизонт инвестирования равен одному году, известно эмпирическое распределение годовой доходности фондов. Корректировка на инфляцию производилась по формуле И. Фишера. В качестве ожидаемого темпа инфляции взято значение базового прогноза МЭР. Функция эмпирического распределения была построена по принципу «скользящего года».

В соответствии с предложенной методикой были рассчитаны воспринимаемый потенциал (средневзвешенное по вероятности значение

полезности при условии, что она больше нуля), воспринимаемый риск (средневзвешенное значение полезности при условии, что она меньше нуля), отношение потенциал/риск и разность потенциала и риска (математическое ожидание функции полезности). Построение осуществлялось следующим образом:

1. Методом «скользящего года» определены реальные исторические доходности портфелей каждого фонда n.

По итогам построения модели были получены представленные ниже результаты (в усредненном выражении в разрезе категорий фондов).

Таблица 17. Средние значения воспринимаемого риска для инвесторов с различным профилем в разрезе категорий фондов. Расчеты по методике автора на основании данных НЛУ [190]

Продолжение таблицы. 17

Как показано в табл. 17, в среднем значения воспринимаемого потенциала максимальны для инвестора 17. У данного инвестора значения предельной полезности на всем интервале положительных значений доходности больше или равны 1. Значения воспринимаемого потенциала выше у тех инвесторов, у которых отсутствуют области невосприимчивости и предел насыщения. Из этого следует, что воспринимаемый потенциал при прочих равных условиях выше у тех инвесторов, которые обладают повышенной восприимчивостью при высоких значениях доходности и нормальной восприимчивостью на низких.

Наиболее низкие значения воспринимаемого потенциала наблюдаются у инвесторов 7 и 8. Симметрично описанным выше случаям, это объясняется широкой зоной невосприимчивости вокруг нуля и наличием предела насыщения.

Анализ в разрезе групп показывает, что значения воспринимаемого потенциала являются наиболее низкими для фондов денежного рынка и облигаций. Это объясняется низкой ожидаемой доходностью данных фондов. Далее в порядке возрастания воспринимаемого потенциала следуют фонды смешанных инвестиций, фондов, индексные и фонды акций. Очевидно, что значения воспринимаемого потенциала для всех инвесторов растут при

изменении категории фонда на более рискованную. Усредненные значения воспринимаемого потенциала по группам составляют:

• Фонды денежного рынка - 0,0099

• Фонды облигаций - 0,0222

• Фонды смешанных инвестиций - 0,0716

• Фонды фондов - 0,0810

• Индексные фонды - 0,0960

• Фонды акций - 0,1210

Таким образом, более высокий воспринимаемый потенциал в среднем наблюдается у более рискованных фондов, что согласуется с принципом соотношения доходности и риска.

Следует также отметить, что существенных отличий в ранжировании фондов для разных инвесторов по показателю воспринимаемого потенциала не наблюдается. Для всех рассмотренных инвесторов порядок следования типов фондов был аналогичен описанному выше, кроме второго, у которого фонды фондов занимают второе место, а индексные - третье. Это свидетельствует о том, что потенциал у разных категорий фондов отличается настолько существенно, что даже при различном восприятии примерное представление о категориях будет одинаковым.

Далее будет проведен анализ фондов по показателю воспринимаемого риска. Результаты анализа приведены в табл. 18.

Таблица 18. Средние значения воспринимаемого риска для инвесторов с различным профилем в разрезе категорий фондов. Расчеты по методике автора на основании данных НЛУ [190]

Продолжение таблицы. 18

Как видно из табл. 18, наиболее низкие значения воспринимаемого риска в среднем характерны для инвесторов 8 и 9. Низкий уровень воспринимаемого риска обеспечивается наличием у данных инвесторов области невосприимчивости, а также высокого порога чувствительности к убыткам.

Наиболее высокое значение воспринимаемого риска наблюдается у инвесторов 4 и 6. Данный результат обусловлен повышенной чувствительностью к риску при малых и при больших значениях потерь.

В разрезе категорий фондов в среднем наиболее низкий уровень воспринимаемого риска характерен для фондов денежного рынка и облигаций вследствие низкой волатильности доходов. Далее следуют фонды смешанных инвестиций, индексные фонды, фонды фондов и фонды акций. Численные значения воспринимаемого риска составляют в среднем по группам:

• Фонды денежного рынка - 0,0230

• Фонды облигаций - 0,0657

• Фонды смешанных инвестиций - 0,1412

• Индексные фонды - 0,1794

• Фонды фондов - 0,2083

• Фонды акций - 0,2105

Следует обратить внимание на тот факт, что результаты несколько отличаются от ожидаемых. Так, ранее было описано, что волатильность индексных фондов, рассчитанная по объективным данным, выше, чем у остальных фондов, далее по убыванию должны следовать фонды акций и фонды фондов. Однако также было выявлено, что фонды фондов и фонды акций являются достаточно неоднородными, в частности, по параметрам асимметрии и эксцесса. По нашему мнению, достаточно высокая оценка воспринимаемого риска для фондов фондов и фондов акций связана с влиянием таких факторов, как асимметрия и эксцесс.

Сопоставляя предпочтения различных инвесторов по риску, можно отметить, что порядок ранжирования категорий фондов меняется несущественно от инвестора к инвестору. В отдельных случаях местами меняются фонды акций и фонды фондов, поскольку разница в уровне воспринимаемого риска между ними несущественна. Как и в предыдущем случае, этот вывод представляется правильным, поскольку объективно уровень риска различается настолько, что эти различия не перекрываются разницей в субъективном восприятии у разных инвесторов.

Далее представлен анализ средних значений двух результирующих показателей - отношения воспринимаемого потенциала и воспринимаемого риска и ожидаемого значения полезности инвестора (разности воспринимаемого потенциала и риска), Результаты анализа представлены в табл. 19.

Таблица 19. Средние значения отношения «воспринимаемый потенциал/воспринимаемый риск» для инвесторов с различным профилем в разрезе категорий фондов. Расчеты по методике автора на основании данных НЛУ [190]

Продолжение таблицы 19

Следует отметить, что в расчете средних значений, представленных в таблице, участвовали не все фонды, вошедшие в выборку, по причине невозможности расчета показателя при значении воспринимаемого риска, равного нулю. Как было описано ранее в гл. 2, таким недостатком страдают все функции полезности с показателем риска в знаменателе. Однако это не мешает сделать определенные выводы.

В целом предпочтения относительно категории фонда по данным показателя «воспринимаемый потенциал/воспринимаемый риск» различаются. Однако недостаток, связанный с переоценкой фондов с низким уровнем риска, остается: фонды денежного рынка и фонды облигаций практически для всех инвесторов занимают в среднем первое или второе место. Показательно, что это справедливо даже для инвесторов, склонных к принятию риска.

В целях избавления от описанного выше недостатка рассмотрим также показатель ожидаемой полезности от инвестирования. Преимущество такого подхода состоит в том, что в отличие от предыдущего, в расчете могут участвовать любые фонды, в т.ч. безрисковые или с нулевым воспринимаемым риском. В целом при использовании ожидаемой полезности оценки, предположительно, ведут себя более корректно в случае с низкорисковыми портфелями.

Ниже представлены результаты расчета показателя ожидаемой полезности для смоделированных ранее профилей инвесторов 1-18 в разрезе категорий фондов (табл. 20).

Таблица 20. Средние значения ожидаемой полезности для инвесторов с различным профилем в разрезе категорий фондов. Расчеты по методике автора на основании данных НЛУ [190]

Показательно то, что для многих инвесторов в рамках заданных ограничений в среднем значения ожидаемой полезности являются отрицательными. Таким образом, воспринимаемый потенциал меньше воспринимаемого риска. Предположительно такой результат получается в результате низкого уровня качества управления фондами в РФ.

Наименьшее среднее значение полезности наблюдается у консервативных инвесторов, далее следуют умеренные и агрессивные. Это свидетельствует о том, что в сложившихся условиях уровень риска является высоким, что не позволяет консервативным инвесторам получать высокий уровень удовлетворения.

Рэнкинги фондов по категориям получились различными внутри групп. В группе консервативных инвесторов для всех профилей наиболее предпочтительными являются фонды денежного рынка и облигаций. В группе умеренных инвесторов предпочтения различны - у инвестора 7 и 10 это фонды денежного рынка и облигаций, 8 и 12 - денежного рынка, смешанные и индексные, 9 и 11 - фонды акций и индексные фонды. У инвесторов агрессивного профиля предпочтения тоже различаются: у профилей 13-16 предпочтительными являются фонды акций и фондов, у 17 - денежного рынка и акций, у 18 - денежного рынка и облигаций.

Для целей углубленного тестирования качества полученных результатов далее будет проведен дополнительный анализ рэнкингов, получаемых при применении методики. Методика жизнеспособна в том случае, если она обладает свойством высокой селективности, т.е. результаты, получаемые для инвесторов с разным профилем, различаются. Для этих целей будет проведен анализ методом ранговой корреляции [41]. Коэффициент ранговой корреляции показывает наличие и силу любой (не обязательно линейной) зависимости между показателями. В данном случае при высоком уровне ранговой корреляции можно констатировать, что результаты для разных инвесторов находятся в нелинейной зависимости. Если уровень ранговой

корреляции между инвесторами будет относительно невысок, методика может считаться пригодной для принятия решений.

Анализ методом ранговой корреляции будет проведен как отдельно для показателей воспринимаемого потенциала и риска, так и для показателя «отношение воспринимаемого потенциала к воспринимаемому риску» и для показателя ожидаемой полезности. Для отдельных показателей потенциала и риска также будут оценены обыкновенные показатели корреляции.

Ниже (табл. 21) приведена матрица обыкновенной и ранговой корреляции для показателя «воспринимаемый потенциал».

Таблица 21. Матрица обыкновенной и ранговой корреляции для показателя воспринимаемого потенциала. Расчеты автора на основании данных НЛУ [190]

Как видно из таблицы, значения как ранговой, так и обыкновенной корреляции являются во многих случаях достаточно высокими. Таким образом, рэнкинги по потенциалу для инвесторов с похожим профилем практически неразличимы. Самое низкое значение корреляции между значениями воспринимаемого потенциала первого и девятого инвесторов - 0,76 для обыкновенной и 0,81 для ранговой корреляции.

Для отдельных инвесторов коэффициент корреляции равен 1, это соответствует спецификации профилей - для некоторых инвесторов отношение к потенциалу задавалось как одинаковое. В целом чем ближе спецификация, тем выше значение ранговой корреляции. Выбор на основе только потенциала не будет обладать высокой селективностью.

Ниже представлен анализ обыкновенной и ранговой корреляции для показателей воспринимаемого риска (табл. 22).

Таблица 22. Матрица обыкновенной и ранговой корреляции для показателя воспринимаемого риска. Расчеты автора [190]

Аналогично показателям воспринимаемого потенциала, для воспринимаемого риска как ранговая, так и обыкновенная корреляция принимает достаточно высокие значения. Самый низкий уровень коэффициента корреляции - 0,60, ранговой корреляции - 0,81. Такие значения характерны для инвесторов 8,9 и 18. Как и в предыдущем случае, выбор на основе только показателей риска не будет обладать высокой селективностью. По этой причине необходимо учитывать при составлении портфеля и воспринимаемый потенциал, и воспринимаемый риск.

Ниже представлены результаты оценки ранговой корреляции для показателя «отношение воспринимаемого потенциала к воспринимаемому риску» (табл. 23)

Таблица 23. Матрица ранговой корреляции для показателя

«воспринимаемый потенциал/воспринимаемый риск». Расчеты автора

на основании данных НЛУ

190]

Как видно из таблицы, рэнкинги фондов согласно показателю «потенциал/риск» существенно различаются. Наиболее похожими по предпочтениям оказываются инвесторы, обладающие схожими профилями согласно спецификации. Самые низкие показатели ранговой корреляции (самые различающиеся предпочтения) наблюдаются у инвесторов различных групп. В обоих случаях результаты соответствуют изначальным предпосылкам, принимаемым в спецификации модели.

Согласно проведенному анализу, итоги ранжирования фондов по предложенной методике различаются для инвесторов с разным профилем. Значения ранговой корреляции по показателю «потенциал/риск» ниже, чем для отдельных оценок воспринимаемого потенциала и риска. При этом чем более схожи профили инвесторов, тем более высокий уровень ранговой 110

корреляции можно наблюдать. Это свидетельствует о том, что методика позволяет учесть различия в отношении к потенциалу и риску для разных инвесторов при анализе инвестиционных альтернатив.

Для сравнения также был проведен анализ ранговой корреляции для показателя ожидаемой полезности инвестирования. Результаты приведены в табл. 24

Таблица 24. Матрица ранговой корреляции для показателя ожидаемой полезности. Расчеты автора на основании данных НЛУ [190]

Как видно в таблице, показатели ранговой корреляции для показателя ожидаемой полезности оказались ниже, чем для отношения воспринимаемого потенциала к воспринимаемому риску. Это в целом свидетельствует о более высокой селективной способности. Наиболее низкий уровень ранговой корреляции наблюдается между инвесторами с наибольшими различиями в спецификации профиля. Самое низкое значение ранговой корреляции - -0,02, что можно признать очень низким.

По итогам проведенного исследования можно сделать следующие выводы. Для тестирования методики кусочно-линейной аппроксимации

наилучшим образом подходят портфели паевых инвестиционных фондов по причине высокого уровня диверсификации, относительной стабильности предпочтений непрофессиональных инвесторов во времени. Можно констатировать, что в современных условиях качество управления российскими открытыми паевыми инвестиционными фондами остается на низком уровне. За рассматриваемый период у большинства фондов наблюдается отставание от эффективной границы. Это означает, что «наивное» индексное инвестирование дает лучшие результаты, чем вложение в паевые инвестиционные фонды. При разбиении фондов на группы по категориям выявлено, что отставание от референсного портфеля статистически значимо различается для разных категорий фондов. Самое высокое качество управления характерно для фондов с низким уровнем риска - фондов облигаций и денежного рынка.

Форма распределения доходности портфелей существенно отлична от нормальной и различается в разрезе групп. Среднее значение асимметрии для всех групп оказалось отрицательным. Это означает, что типичная форма распределения доходности имеет тяжелый левый «хвост» распределения. Наиболее ярко выраженная асимметрия характерна для фондов с низким уровнем риска - фондов облигаций, денежного рынка, а также смешанных инвестиций. Показатели эксцесса максимальны для фондов облигаций и денежного рынка и минимальны для индексных фондов. При этом во всех группах наблюдается положительный эксцесс, что свидетельствует о сосредоточенности данных вокруг моды и, вероятно, «толстых хвостах». Это подтверждает тезис о необходимости моделирования предпочтений инвесторов с учетом возможного наличия асимметрии и эксцесса.

Пофакторное разложение качества управления паевыми инвестиционными фондами показало, что в наибольшей степени низкое качество управления связано с неудачным выбором активов для инвестирования. Среднегрупповые показатели стилевой альфы наиболее высоки для фондов денежного рынка, акций и облигаций. Для индексных 112

фондов, фондов смешанных инвестиций и фондов фондов альфа является отрицательной, что свидетельствует о том, что за рассматриваемый период доходность бенчмарка, скорректированная на риск, была выше, чем у фонда.

Кроме того, статистически значимы такие факторы, как уровень систематического риска фонда и способность к диверсификации портфеля. Чем выше уровень как систематического, так и несистематического риска, тем в среднем хуже качество управления. Наиболее высокий уровень несистематического риска наблюдается у фондов фондов, смешанных инвестиций и акций. Описанные выше особенности требуют отдельного тестирования модели на предмет корректности учета параметров качества управления. Иными словами, требуется удостовериться в том, что показатели, получаемые на основании кусочно-линейной аппроксимации, находятся в зависимости от различных параметров качества управления.

В ходе апробации модели были построены 18 профилей различных инвесторов, отличающихся по предпочтениям относительно потенциала и риска. Для каждого из инвесторов были оценены показатели воспринимаемого потенциала и воспринимаемого риска, найдены соответствующие значения функции полезности. Оценка жизнеспособности модели основана на расчете показателей ранговой корреляции: если методика обладает высокой селективностью, ранжирование портфелей для разных инвесторов будет отличаться. Следовательно, показатели ранговой корреляции будут низкими.

При рассмотрении воспринимаемого потенциала и воспринимаемого риска в отдельности селективность профиля является низкой. Это согласуется с общепринятым представлением о том, что рассмотрение показателей доходности и риска в отдельности не имеет значения. Ранжирование на основе показателя «потенциал/риск» и на основе показателя ожидаемой полезности обладает высокой селективностью, что свидетельствует о жизнеспособности методики, т.е. ее возможности учитывать предпочтения инвестора, заложенные в функции полезности.

В дальнейшем, по описанным выше причинам, будет предпринята попытка сравнительного анализа методики кусочно-линейной аппроксимации функции полезности с прочими аналогичными методиками ранжирования инвестиционных возможностей, а также возможность учета характеристик качества управления портфелем при принятии решений на основе предложенной методики.

3.2.