§ 1. Введение

^[1] Клейнер Г.Б. Поливекторы ранга 2 над полями и коммутативными кольцами // Математический сборник.

подпространства (в случае, когда А - поле), m-я степень которого содержит данный поливектор.

Настоящая работа посвящена вопросам вычисления ранга и минимального разложения поливекторов, в основном над полями и кольцами Крулля.

Таубер [7] рассматривал кольца, в которых соотношения Плюккера являются также и достаточными для разложимости (эти кольца получили

название плюккеровых). Было доказано, что такими являются одно- и двумерные локальные кольца, дедекиндовы кольца и кольцо многочленов от одной переменной над дедекиндовым кольцом. Среди ненётеровых плюккеровых колец можно назвать кольца Безу.

Таким образом, существует широкий класс колец, для которых проверка 1-разложимости поливектора проводится так же, как и в полях (например, с помощью соотношений (3) или (4)). В настоящей работе доказывается теорема 4.1, согласно которой эта ситуация не продолжается на случай 2-разложимости: единственными кольцами, в которых множество 2-разложимых m-векторов над кольцом совпадает с множеством 2-разложимых m-векторов над полем частных («2-плюккеровы кольца»), являются поля. Поэтому при к = 2 особый интерес представляют условия «индивидуальной» к-разложимости m-векторов над кольцом, специфические для данного класса колец и дополняющие необходимые условия 2-разложимости (5).

Для к = 1 в этом направлении известны следующие результаты.

Теорема 1.1 [8]. Пусть А - коммутативное кольцо, oeA^m(Aⁿ) - т-вектор. Если Β₀(ω) - свободный модуль ранга m, то rank ω = 1.

Поливектор ω называется примитивным, если дивизор идеала, порожденный его координатами, равен 1.

Теорема 1.2 [9]. Пусть А - кольцо Крулля, ω - примитивный т-вектор. Для того чтобы rank ω = 1, необходимо и достаточно, чтобы Β₀(ω) был свободным A-модулем ранга т.

В настоящей работе получены аналогичные результаты (теоремы 5.1 и 5.2) для к = 2.

Работа состоит из пяти параграфов.

В параграфе 2 исследуется множество B1 (ω) = {х є Aⁿ : rank (х л ω) < 1 } для m-векторов ранга 2 и устанавливается его связь с подпространствами, порожденными векторами минимального разложения ω. Этот результат используется в параграфе 3 для вывода теоремы единственности минимального разложения m-векторов ранга 2. Параграф 4 содержит полное доказательство необходимого и достаточного условия (5) 2-разложимости поливекторов вида ω = Х1 л...лX_m-2 лш', где X_i є A, ω' єЛ²(Aⁿ), над плюккеровыми кольцами. Здесь же доказывается теорема несуществования 2-плюккеровых колец. Параграф 5 посвящен доказательству условий 2-разложимости m-векторов, не представимых в виде ω= X1 л... л X_{m -} 2 Λω', где ω' - 2-вектор, над кольцами Крулля.

Фиксируем следующие обозначения: А - целостное коммутативное кольцо; Fr(A) - его поле частных; А^п - свободный A-модуль ранга п с образующими Є1,..., e_n; М- подмодуль в А^п; A^m(M) - образ в A^m(Aⁿ) m-й внешней степени модуля М при отображении A^, где ε - вложение М