2.1 Модели рынка. Равновесие.

G:= (т.е. многозначную функцию) спроса Хі(р, fr). Она является "функцией отклика" на данные цены и доходы.

Запишем модель спроса потребителя формально:

Хі(р,(Зі) := {хі Є Xi Ui(xi) = max И;(ж;)}, (5)

ХІ&ВІ(Р)

где бюджетное множество БІ(.} имеет вид:

Вг(.) := {хг Є Хг\ рхг < #(.)} • (6)

Оптимальные выборы потребителя во многих случаях удобно характеризовать при помощи теоремы Куна — Таккера (это вариант теоремы Лагранжа для ограничений — неравенств).

Прямая теорема КунаТаккера п (необходимое условие оптимальности) в диф

9 Эта ключевая для современной теории рынков модель объясняет действие "невидимой руки рынка заставляющей "эгоистические интересы" участников работать на общее благо.

10B более общем случае, блага, которые создают потребители (например, труд) и потребляют в качестве производственных факторов фирмы представлены отрицательными компонентами вектора потребления Хі є Хі.

"Точную формулировку можно найти у Маленво или в любом учебнике по мат.программированию. Двусторонняя теорема КунаТаккера без условий дифференцируемости (необходимое и достаточное

11

ференциальной форме утверждает, что если х это решение задачи

ф(х) —>• max (7)

фг(х) > 0 r = l,...,f (8)

и выполнено некоторое условие регулярности, например, что градиенты активных ограничений линейно независимы в х, то найдутся неотрицательные числа Ar(r = l,...,f) — множители Лагранжа — такие, что производные Лагранжиана L(A, х) := ф(х) + Y,r \гфг(х) по х равны нулю, причем если множитель Лг строго положителен, то соответствующее ограничение выполнено как равенство (активно), а если rе ограничение неактивно: фг(х) > 0, то соответствующий множитель Лг равен нулю (условие дополняющей нежесткости).

Обратная теорема КунаТаккера (достаточное условие оптимальности) при условиях вогнутости всех функций 0(.), ijjk() утверждает, что если в допустимой точке х нашлись множители Лагранжа удовлетворяющие требованиям прямой теоремы (условиям первого порядка), то точка х оптимальна.

Для характеристики с помощью теоремы Куна —Таккера спроса участника і Є / используем два условия.

Предположение 1 (ВЫПУКЛ).

Поясним; поскольку монотонное преобразование целевой функции не влияет на выбор оптимальных точек (не изменяет форму линий уровня), то, например, функция и(х,у) = ху и ее логорифм v(x,y) = ln(u(x,y)) = 1п(х)+1п(у) эквивалентны в оптимизации, хотя первая не вогнута, а вторая вогнута и допускает поэтому применение теоремы КТ. Следовательно, допускает его и первая, "приводимая к вогнутой". Чтобы исключить у функции свойство "приводимости к вогнутой" достаточно проверить отсутствие ее квазивогнутости. Квазивогнутость связана только с линиями уровня фции и(.), и означает, что для любой точки Хі множество лучших чем Хі точек {хі є Хі щ(хі) > Ui(xi)} выпукло (эквивалентное определение квазивогнутости: [щ(іх + (1 —t)y) > тат{щ(х), щ(у)} для Vrr, у, Vi є [0,1] ]). Квазивогнутость следует из вогнутости, поэтому неквазивогнутая функция не приводима к вогнутой монотонным преобразованием. Обратное не всегда верно, но среди решаемых в курсе примеров (кроме специально сконструированных) Вы не встретите квазивогнутую функцию не приводимую к вогнутой.

Предположение 2 (ГРАД). Точка индивидуально рационального выбора потребителя Хі (называемая иногда индивидуальным равновесием потребителя) внутренняя (хі Є int(Xi)), причем в ней существует и больше нуля градиент grad Ui(xi) >^= 0.

Тогда ограничения Хі Є Хі несущественны (тем самым единственное ограничение бюджетное, и выполнено условие регулярности), и функция Лагранжа для задачи

Ui(xi) —»• max ; pxi < (Зі, Хі Є Хі (9)

условие оптимальности) при условиях вогнутости максимизируемой функции и вогнутости функций ограничений V)fe(a;)r а также наличия "внутренней" допустимой точки (т.е. точки х где все ограничения выполнены как строгие неравенства "условие Слейтера") утверждает, что допустимая точка х является оптимумом тогда и т.т., когда она максимизирует без ограничений Лагранжиан с некоторыми (А!,..., \т) > 0, и выполнены условия дополняющей нежесткости.

12

равна L = Ui(xi] + Vi(fiipxi), где Vi — множитель Лагранжа для бюджетного ограничения.

йї(хі) = ^pk (keK). (10)

Делением подобных соотношений (не равных нулю) исключив Vi, получим дифференциальную характеристику спроса Хг при любых фиксированных ценах р (т.е. индивидуальное равновесие потребителя при данных ценах):

pk/ps = ^(xt)/ul(xt) (k,seK). (11)

Заметим, что если хоть одна производная й\ = О, то цена pk = О, иначе получаем

Противоречие С ГИПОТеЗОЙ Внутреннего ПОЛОЖеНИЯ ТОЧКИ Xi.

Отношение йі/й* называют предельной нормой замещения (в потреблении) блага k на благо s. Таким образом, в индивидуально рациональной внутренней точке (равновесии потребителя) предельные нормы замещения благ равны отношению цен соответствующих благ.

Это одно из условий первого порядка, т.е. необходимых условий максимума. Поскольку grad Ui >^ 0 и условие х Є X несущественно, то бюджетное огр. существенно, тогда из условий дополняющей нежесткости (dL(xi,Vi)/dvi = 0) получаем другое условие первого порядка:

рхг = А (12)

Условия первого порядка (11), (12) задают систему уравнений, любое решение х которой при условии (ВЫПУКЛ) по обратной теореме КТ является индивидуально рациональным выбором (равновесием) потребителя при данных ценах. Тем самым, (11), (12) задают функцию спроса. Итак, имеем

Замечание 2.1.1 Если при условиях (ГРАД), (ВЫПУКЛ) в задаче (9) пара Хі Є Хі, А > 0) удовлетворяет условиям первого порядка (11), (12), то точка х есть равновесие потребителя при данных ценах и доходе; и обратно: всякое внутреннее равновесие потребителя удовлетворяет условиям первого порядка (11), (12).

Для невнутренних точек сходные соотношения задающие спрос читатель может вывести сам, тоже пользуясь теоремой КТ.

Модель производителя. При выборе объемов производства уу = {yk}k?K каждая фирма j є J ограничена своим технологическим множеством YJ с 1R1. Эти множества допустимых технологий можно задавать в частности в виде (неявных) производственных функций fj(yj): YJ •= {yj є Rl\ fj(yj] > 0}.

В качестве целевой функции "классического" производителя берется его прибыль ^ = РУз = ^k^KPkVj В ситуации совершенной конкуренции производитель, как и потребитель, предполагает, что не может влиять на цены. Результатом решения задачи производителя — максимизации прибыли при технологических ограничениях — является (возможно, многозначная) функция предложения У^(.):

У](Р) ={У]^ Y]І РУі = maxрУ]}. (13)

13

Решение этой задачи также можно характеризовать при помощи теоремы КунаТаккера. Используем два предположения.

Предположение 3 (ВЫПУКЛ)Множества Yj, Vj выпуклы и заданы вогнутыми производственными функциями в виде fj(yj] > 0, Vj.

Предположение 4 (ГРАД)В проверяемой на индивидульную рациональность или на оптимум точке yj существует и не равен нулю градиент grad /,(%•) 7^ 0.

Функция Лагранжа для соответствующей задачи (13) равна L = pyj + /^jfj(yj), где IJLJ — множитель Лагранжа для технологического ограничения. При условии р =^ 0 в точке максимума y~j выполняется dL(yj)/dyk = О, откуда pk = fk(yj)Hj (Vfc Є К) (здесь и далее fk — производная по товару k в точке y~j). Рассматривая товары с ненулевыми ценами, заметим что JJLJ ^ О, и исключив /j,j, получим дифференциальную характеристику точки равновесия производителя y~j'.

если p^Q то pl/p* = (yj)/(yj) (Ь,ЬЄК). (14)

Отношение ffl/ff2 называют технологической предельной нормой замещения блага ki на благо fc2. Итак, в точке индивидуально рационального выбора (в "равновесии") производителя технологические предельные нормы замещения благ равны отношению соответствующих цен.

Для производственной функции типа /,(%•) = 9j(yj) — yhj предельная норма замещения производимого блага h на другое (возможно, затрачиваемое) благо (k) равна —l/gk (в этом виде ее называют также предельной производительностью блага k), и аналогичное соотношение принимает вид —І/д1? =ph/pk.

Дополнительное условие первого порядка есть fj(y~j) = 0. Как и ранее, предположение (ВЫПУКЛ) гарантирует, что необходимые условия являются достаточными.

Часто производственное множество для фирмы, производящей один товар (h), удобно описать в терминах функции издержек с(.). Это подразумевает максимизацию прибыли в задаче типа у^ < gj(y^h] в два этапа. На первом этапе для каждого возможного объема производства у^ минимизируются издержки производства Y^k^h —pkVj (если yk < 0 k т^ h, то это — затраты, а не выпуск, и минимизируется положительная величина) при ограничении у^ = gj(y~h). При этом цены p~h всех товаров кроме h считаются фиксированными. В результате получается функция издержек Cj(tfj,P~h) •= arg min^Efc^ pkyk

На втором этапе с учетом ph максимизируют по у^ прибыль, равную разности дохода и издержек тт., = рну^ — Cj(yk,p~h]. В условиях совершенной конкуренции дифференциальную характеристику оптимума однопродуктовой фирмы в терминах функции издержек можно записать в виде р1* = dcj(y^,ph)/dy%< Te. предельные издержки производства товара h равны его цене.

Теперь модели отдельных подсистем (участников) объединим в различные модели рынка (экономики) в целом, называемые иногда моделями общего равновесия (general equilibrium models).

Будем рассматривать следующие типы экономик.

1. Экономика распределения. В экономике распределения производство отсутствует. Имеются общие, нераспределенные, начальные запасы благ WE Є R\. Можно считать их производственным множеством состоящим из одной точки У := {у} := {w }. Бюджетные множества задаются фиксированными денежными доходами &(.) = di >

14

0. Общее потребление в экономике не может превышать суммарный начальный запас благ: ЕІЄ/ЖІ < У = WE (материальный баланс).

Представить себе экономику распределения можно следующим образом. Проводится аукцион / делимых товаров, суммарные запасы которых WE находятся у аукционщика. Каждый участник г Є / имеет намерение полностью потратить свой запас di денег (или ваучеров) на товары. Участники заявляют спрос и предложение, аукционщик отвечает ценами, они заявляют новый спрос (не обмениваясь, пока не наступит равновесие) и т.д. Об аукционщике (или естественной закономерности, которая выполняет его функции) предполагается, что он в момент t повышает с некоторой заданной скоростью реакции текущую цену pk(t) товара k Є {1,...,/}, спрос на который оказывается выше предложения, и наоборот, понижает цены избыточных товаров.

Этот процесс называют "нащупыванием" равновесия рынка (фр. tatonement). Если он завершается стационарной точкой р 12 (это возможно лишь когда спрос окажется равен предложению), то этот исход естественно называть равновесием. Нами это понятие вводится ниже без связи с процессом поиска, просто как состояние рынка, где спрос согласован с предложением.

2. Экономика обмена. Здесь также нет производства. Каждый потребитель обла дает фиксированными индивидуальными начальными запасами товаров Wi Є 1R1+, и этими товарами потребители обмениваются на рынке. Бюджет потребителя задается функцией /3i(p) = pwi. Выполняется материальный баланс

Z/ie/ хг f± Z/ie/ wi

Представить экономику обмена можно в двух вариантах, обе ситуации описываются той же моделью. (Вариант I) Та же ситуация аукциона, но начальные запасы товаров Wi (в том числе деньги, их не обязательно тратить) исходно распределены между участниками, которые обмениваются сообщениями о желаемом при каждых ценах спросе, аукционщик (или естественная закономерность) меняющий цены лишь помогает участникам договориться, меняя цены в процессе tatonnement. Фактический обмен товарами происходит лишь после установления цен равновесия.

(Вариант II) Это неизменная по технологиям (технологии учтены в допустимых множествах ХІ участников) и потребностям экономика, где каждый день у каждого участника г Є / возобновляются (например, труд, земля, капитал) начальные запасы Wi, если он их сегодня не продаст и не потребит, они не накапливаются (вчерашний день труда не продашь сегодня). Процесс tatonnement направляется естественной закономерностью. Равновесие (оно может и не установиться) понимается как стационарные (изо дня в день) цены и объемы продаж.

3. Экономики общего вида и ЭрроуДебре. Экономика общего вида включает как производство, так и потребление. Потребители владеют фиксированными началь ными запасами товаров Wi, и долями ^ в прибылях фирм. Бюджеты потребителей задаются функциями

/Зі (р, у) = pwi + EjeJ %jPVj + di,

где 7^ Є [0,1] — фиксированные коэффициенты участия потребителя г в прибылях фирм j є J, a di — фиксированные "дополнительные" денежные доходы; вариант когда di = 0 (г Є /) называют моделью ЭрроуДебре. Потребление не превышает суммы начальных запасов и произведенной продукции:

ЕіЄ/ Хі < ЕіЄ/ Wi + EjeJ Уз

Интерпретация равновесия такая же, как в варианте II модели обмена.

Таким образом, задавая различный вид &(.), мы задали три частных модели, от

12Такую точку А.Смит и Д.Рикардо называли естественной ценой или стоимостью.

15

ражающих различные варианты распределения исходной собственности, и общую модель (заметим, возможны и иные варианты функций доходов Д(.) — при учете налогов, и др).

Дадим определение общего рыночного равновесия для общей модели экономики, определение подходит и для экономик ЭрроуДебре, распределения и обмена, с очевидными упрощениями.

Определение 2.1.1 Вальрасовское равновесие (Валърасовское полуравновесие)13 есть такой набор (р, ж, у), что выполняются условия:

1) индивидуальная рациональность решений (х,у) при ценах р, т.е.

хєХ(р),уєУ(р). (15)

2) материальная полусбалансированность:

i&I i&I j&J

3) закон Вальраса (аналог "дополняющей нежесткости"):

Множество Вальрасовских равновесий обозначим WE(d,w,^).

Если в состоянии (х,у) баланс (16) выполнен как равенство, то набор (р, х,у) назо

вем строгим Вальрасовским равновесием, обозначив WE=(d,w,i) соответствующее

множество.

К равновесиям общей модели мы будем применять обозначение WE(d, w^}, указывая таким образом параметры распределения собственности, к равновесиям экономики "распределения" — WE(d), "обмена" — WE(w), ЭрроуДебре —

Определение 2.1.2 Частное (частичное) равновесие (Partial Equilibrium) для рынка одного из товаров k при ценах р есть набор (х, у), такой, что выполнено условие индивидуальной рациональности (15) и баланс (16) по этому товару k (прочие балансы не учитываются), множество соответствующих частных равновесий обозначим

PEk(p). ы

Сопоставляя концепции WE и NE, отметим, что если исходные данные рынка {/, X, и, J, У, d, w, 7) естественным образом записать как обобщенную игру в нормальной форме G (включив аукционщика регулирующего цены в число участников), то ее Нэшевские равновесия совпадут с Вальрасовскими. Таким образом WE есть NE в обобщенной игре специального вида.

Доказательство теорем существования WE, вложения WE с С и обратного вложения, верного для бесконечно большого числа участников, выходит за пределы данного курса 15. Укажем лишь, что важными условиями существования являются выпуклость допустимых множеств и квазивогнутость целевых функций, иначе спрос

13Его также называют общее рыночное равновесие (General equilibrium), отличая от "частного" или "частичного" равновесия на рынке только одного из товаров (Partial equilibrium).

14Строго говоря, называть "частное" ре равновесием трудно, т.к. балансы прочих благ могут не выполняться, но такова традиция.

15Это изучалось на 2 курсе в лекциях "Математическая экономика см. также Экланд.

16

может допускать скачки и равновесие не только не устанавливаться, но и не существовать. Теоремы же устойчивости (сходимости к равновесию) процесса tatonnement (см. Маленво, гл.5, стр.149), описываемого диф. уравнением

(dpk(t)/dt) =

— требуют еще дополнительных условий кроме квазивогнутости.

Равновесие может быть не единственным, однако, за исключением вырожденных случаев, равновесий обычно конечное, притом нечетное число (более точно, см. напр. Экланд). Это можно понять из геометрии функций спроса; а также из раздела по вычислению равновесий