2.2 Парето-оптимальные состояния экономики и теоремы благосостояния, дифференциальная характеристика оптимума

Определение 2.2.1 Паретооптимумом экономики называется такое возможное состояние (х,у), что не существует альтернативного возможного состояния (х,у), дающего лучший вектор полезностей (ui(xi]}i&i >

Паретооптимальность означает, что нельзя найти Паретоулучшения, т.е.

Замечание 2.2.1 Для того, чтобы точка (х,у), была Паретооптимальной в экономике общего вида, необходимо и достаточно, чтобы она являлась для любого І0 Є {1,...,m}j решением оптимизационной задачи вида

Ui0(xio) >• max (19)

x?X,yeY

Ui(xi) >йі = Ui(xi) (ІЄІ\ {іо}), (20)

Л'Ы>0 (JGJ) (21)

!>?? + !>?• (22)

і і j

В справедливости замечания легко убедится прямо по определению.

Предполагается, что читатель знаком с доказательством теоремы WE с Р, и обратной к ней, для экономики обмена (для непрерывных строго монотонных функций полезности и потребительских множеств Xi = 1R1+). Теперь займемся случаем с производством.

Убедимся, что если рынок совершенен, то 1) равновесные планы потребления и производства Парето оптимальны (невозможно "фиаско рынка"), и 2) обратно: любого Парето оптимума можно достичь используя рыночный (ценовой) механизм, и не прибегая к другим средствам достижения согласованного состояния (типа переговоров, правил голосования, государственного регулирования производства и потребления и проч.); все Паретооптимальные состояния достижимы различными распределениями исходной собственности.

17

Предположение 5 (НЕНАСЫЩ1): Для каждого участника і Є I целевая функция Іц локально ненасыщаема на потребительском множестве Хіг то есть для любой точки Хі є Хі и любой ее окрестности V(xi) найдется альтернативная допустимая точка

Хі Є У(ХІ) П Хі : u(xi) > u(xi)).

В частности, для локальной ненасыщаемости достаточно, чтобы в каждой точке Хі фя щ строго возрастала хотя бы по одному неотрицательному направлению Аж^ Є Rl+ (отсюда название "ненасыщаемость"), а потребительское множество Хі всюду было неограничено сверху в смысе Хі = Хі + 1R1+.

Теорема 2 flBl для WE(d, w, 7)) Пусть (р,х,у) — Вальрасовское равновесие совершенного рынка общего вида, и выполнено предположение (НЕНАСЫЩ1), тогда (х,у) — Паретооптимально.

(НЕНАСЫЩ1)&[(р,ж,у) Є WE(d,w,7)] =>(х,у)єР(23)

Докажем 1ю и 2ю теоремы благосостояния для случая экономики распределения, оставив доказательства для экономики обмена и ЭрроуДебре как упражнения, проводимые по той же схеме.

Докво ТБ1 для WE(d]. Предположим противное: есть другое допустимое состояние (х,у), лучшее в смысле Парето, то есть такое, что и(х) >^ и(х). Обозначим t Є / того участника, для кого состояние х строго лучше: щ(х) > щ(х).

1) Покажем, что лучший набор дороже, чем нужно, чтобы удовлетворять бюд жетному ограничению (6), т.е. pxt > dt. Действительно, в противном случае точка xt принадлежала бы бюджетному множеству потребителя: xt Є Bt(p,d) — в задаче (15), но она предпочтительнее для него чем xt, следовательно xt не могло бы быть им выбрано, что противоречит равновесности х. Итак pxt > dt.

Аналогично для прочих участников pXi > di (і Є I). Действительно, в противном случае в соответствии с условием (НЕНАСЫЩ1) альтернативный удовлетворяющий ограничениям набор Хі Є Х^ рхі < dit такой, что Ui(xi) > Ui(xi), что противоречило бы, опять, равновесности Хі.

Суммируя полученные неравенства имеем оценку

? pXi > ? di(24)

і і

2) С другой стороны, в точке равновесия бюджетные ограничения (6) выполняют ся: pXi < di. Суммируя по г и привлекая оценку (24) имеем

хг(25)

3) Однако точка х предполагалась допустимой, что означает выполнение баланса Si xi < w • Умножая это векторное неравенство на неотрицательный вектор цен р и пользуясь условием дополняющей нежесткости (17) (законом Вальраса) получим оценку, противоречащую (25):

(26)

Теорема доказана.

Отметим, что для экономики ЭрроуДебре можно изменить завершение доказательства, исключив пункт 2) и сравнив непосредственно правые части бюджетов

18

Si A() = Y,i(pwi + Y,j%jpyj) > Y,i(pwi + Y,j%jpyj), с тем же результатом (проверяя, что в равновесии бюджеты выполнены как равенства). Однако требуется еще проверка того, что SjeJM/j — SjeJM/j' что вытекает из условий равновесия производителей.

Перейдем к доказательству того, что всякую Паретооптимальную точку можно реализовать как равновесие подбором распределения доходов или собственности.

Предположение 6 (ВЫПУКЛ).

Предположение 7 (ГРАД). Проверяемая на оптимальность точка (х,у) внутренняя (т.е. Хі Є int(Xi), Vi Є I), причем в ней существует градиент grad Ui(xi) >^ 0, Vi Производственные множества представлены производственными функциями в виде YJ '•= {УІ\ fj(yj) > 0}, функции дифференцируемы и grad(f(x)) 7^ 0.

Введенные упрощающие условия (ГРАД) для ТБ2 на самом деле избыточны. Вопервых, дифференцируемость может быть отброшена. Вовторых, неотрицательность grad щ > О вытекает из Хі Є int(Xi). Втретьих, это условие на внутренность может быть ослаблено, так что (ГРАД) в целом можно заменить таким легким условием: [Пусть К+— множество товаров, по которым целевая функция возрастает в точке х хотя бы у одного участника. Тогда либо 1)найдется участник, для которого Xi D 1R1+ &; xk > О Vfe Є К+, либо 2)у каждого участника целевые функции строго возрастают по товарам Vfe Є К+.] ("ресурсная связность"). Читатель может проверить справедливость этого усиления теоремы ТБ2 пользуясь вариантом теоремы КТ без дифференцируемости.

Теорема З (ТБ2 для WE(d, w,^).) Пусть дано Парето оптимальное состояние (ж,у) Є Р экономики общего вида с параметрами w, и выполнены (ВЫПУКЛ), (ГРАД), тогда найдется распределение собственности (d,w,i) > 0 и цены р є 1R1+, такие что Sie/7ij = 1 (з є J}> Sie/wi = ЕІЄ/^І' u (Р;^;У) ~~ Вольрасовскоб равновесие, то есть

(ВЫПУКЛ)&(ГРАД)&[(р, ж, у) Є Р] => 3(р, d, w, 7) : (ж, у) Є WE(d, ш, 7). При этом распределение собственности может быть выбрано пропорциональным в том смысле, что 39 Є К] : \di = 9id, Wi = 9iW, 7І7 = 9i (Vj)} (і Є І).

І ^— | L( ь yi 7 ь І y'/'j (\• max ; (27)

иг(хі) >й = иг(хі) (ІЄІ\{з}), (28)

І

2) Для применимости к задаче (27) теоремы КунаТаккера нужно проверить, что все "активные" ограничения (т.е. выполняющиеся в точке х как равенства) линейно независимы.

16Как и выше, на самом деле достаточно требовать "приводимость к вогнутости".

19

используя условие (ГРАД): выписав структуру матрицы, нужно убедиться что если линейная комбинация ее строк равна нулю, то все коэффициенты нулевые. Мы здесь опускаем эту проверку (см. Маленво).

3) Применив к (27) теорему КунаТаккера, получим что существуют множители Лагранжа AJ > 0, г = 1,.., т для ограничения (28) и множители ak > 0, k = l,..,l — для условия (22) такие что:

\ійі(хі) (Tk = 0 (ie!,keK). (ЗО)

Здесь принято обозначение й^(хг) := диі/дх^, а также \s := 1. Отсюда, из \s = 1, grad us >^= 0 следует что вектор а >^= 0, следовательно все АІ > 0 (г Є /) в этой системе равенств.

4) Возьмем оптимальные оценки товаров а в качестве цен: р := а Є Rl, а в качестве доходов требуемых в теореме — ровно столько сколько требуется для приобретения Паретооптимального набора: di := pxi. Проверим, равновесие ли мы получим.

Покажем, что х — равновесие потребителей при р, d, т.е. решение задачи (9) при этих ценах и доходах. Бюджетное ограничение (12) выполнено. Взяв щ = І/Aj (используем АІ > 0, (30)), заметим, что при ценах р = а множители Лагранжа ^ и точка оптимума Xi удовлетворяют соотношениям (10). Следовательно при выполнении предположения (ГРАД) для точки х выполнены необходимые условия первого порядка. При условиях (ВЫПУКЛ), (ГРАД) необходимые условия являются и достаточными условия экстремума, итак Хі Є А^(р, di) (і Є /).

Другое требование определения "равновесия" — полусбалансированность — вытекает из допустимости Паретооптимальной точки х, а третье требование — закон Вальраса — следует из дополняющей нежесткости условий КунаТаккера для задачи (27). Действительно, если оценка pk = ak какогото товара k положительна, то ограничение (баланс) по нему выполнено как равенство, что и означает (17).

Теорема доказана. ц

Отметим, что для экономики ЭрроуДебре в доказательстве необходимо еще проверить индивидуальную рациональность плана производства у, а также поделить совокупную собственность (ги, 7) так чтоб индивидуальные доходы Д(гу,р, 7) равнялись найденным числам (рхі), то есть были точно достаточны для потребления х. Для этого достаточно поделить собственность пропорционально числам 9i = (pxi/^j^ipxj).

Важно для дальнейших теорем, что из условий типа (30) мы получаем дифференциальную характеристику Паретооптимальной точки в виде совпадения (в условиях теоремы) предельных норм замещения любых двух товаров fc, t для всех участников:

а*/а* = «?(?)/«?(?) (г Є /), а*/о* = #(у)/#(я) (j Є J).. (31)

Сутью теорем ТБ1 — ТБ2 является то, что эта диф. характеристика оптимума для совершенных рынков совпадает с дифференциальной характеристикой равновесия: поскольку цены для всех одинаковы, то отношение предельных норм замены двух товаров одинаково для всех участников и равно отношению цен