2.3 Вычисление равновесий и Парето-оптимальных состояний, пример
20
Прежде всего, используя условие (15), по оптимизационным задачам вида (5) нужно построить функции (или отображения) спроса Л^.
Если множество Xi выпукло а функция цели строго вогнута, то ХІ(Р) окажется однозначной функцией. В экономике обмена эта функция однородна степени 0 по ценам р, поэтому цены можно произвольно нормировать, например, приняв р1 = 1, и искать только I — 1 равновесных цен р2,...,р1.Если для каждого продукта k есть желающий его участник г : dui/dx^ > О, то естественно искать строгое равновесие, то есть такое, где все цена положительны и балансы (16) — равенства. Из балансов и функций спроса получаем систему I уравнений с I неизвестными Pi,...,pi, записываемую в векторной форме так: Y^i(%i(p) — Wi) = 0.
Эти уравнения окажутся линейно зависимы, поскольку умножая их на вектор цен получим тот же закон Вальраса (17), что и при суммировании по г бюджетов (6), выполняемых как равенства (при ненасыщаемости). Таким образом, можно решать систему любых I — 1 уравнений из набора, определяя I — 1 неизвестных равновесных цен р2,...,р1. Равновесные объемы спроса находим затем как х = Х(р).
Другой (удобный графически) поход к нахождению равновесия, если выполнены соответствующие предположения, состоит в использовании дифференциальной характеристики равновесия и ТБ2 (равновесие должно лежать на Паретогранице). Получаем п х (I — 1) уравнений относительно неизвестных (pi,...,pi), (ж|,...,xl)i. Добавив к ним п бюджетных ограничений, получим ту же (разрешимую) систему уравнений, что и при первом способе. Этот путь особенно выгоден, когда предельная норма замещения на Паретогранице постоянна.
Для экономики распределения и экономики с производством рассуждения аналогичны.
Случаи неоднозначности спроса, граничные, и др. требуют дополнительных рассуждений, не слишком сложных.Пример 2.1 ("Ящик Эджворта"). Рассмотрим экономику обмена, состоящую из двух потребителей и двух благ. Потребители имеют функции полезности типа Кобба Дугласа: и\ = 1пж} + Зшжі и и2 = ЗІПЖ2 + ІПЖ2 Начальные запасы благ у них одинаковы и равны
Рис. 1: Ящик Эджворта
32
1
1 2 З Щ\
Проверив, что условия ТБ1, ТБ2 выполнены, найдем предельные нормы замещения первого блага на второе для внутренних точек Парето: й\(х)/й\(х) = х\/(3х\) и й\(х)/и^(х) = Зж|/ Ж2 В Паретооптимуме нормы равны друг другу, что дает уравнение х\х\ = 9ж}ж|. Должны также выполняться материальные балансы х\ + Ж2 =4 и х\ + х\ =4. Получаем уравнение Паретограницы: х\ = 9ж}/(1 + 2ж}).
В равновесии предельная норма замещения для каждого потребителя должна быть равна отношению цен. Учитывая бюджеты и материальные балансы, получим равновесие х\ = (1 3) Жо = (3 1) р = (1 1)
Ядро в этой экономике — это те точки Паретограницы, в которых функция полезности ни одного из участников не ниже, чем в точке начальных запасов. Таким образом, крайние
21
точки ядра должны удовлетворять соотношениям: и\ = In ж} + Slnsf > иі(2, 2) = 4 In 2, «2 = >и2(2,2) = 41п2 и х\ = 9ж}/(1 + 2ж})