РЫНОК СТРАХОВАНИЯ

он терпит убытки с денежным эквивалентом Ь. В ситуации 1 («нет страхового случая»), возможной с вероятностью 1 — 0, он не несет потерь. Вероятность 0

является экзогенной (отсутствует «моральная угроза»). Потребитель имеет функцию полезности фон Неймана—Моргенштерна, V.

Нейтральная к риску фирма, которая (для упрощения) обладает монопольной властью, может обеспечить страхование потребителя. За фиксированную премию р, которая должна быть уплачена во всех ситуациях, фирма возмещает сумму 5 в ситуации страхового случая. Можно рассматривать 5 в качестве страхового обслуживания. Ожидаемая полезность страхового полиса (р, 5) для потребителя составляет

| ви{1 - р-1 + *) + (1- в)и(1 - р),

\ а ожидаемая прибыль для фирмы — р — вэ.

Сначала предположим, что все (за исключением реализуемой ситуации) известно двум сторонам. Фирма предлагает страховой контракт до наступления реальной ситуации. Контракт принимается потребителем только тогда, когда он дает ему ожидаемую полезность, превышающую полезность в случае отсут- ; ствия страхового контракта. Ограничение индивидуальной рациональности мо- [ жет быть записано как

| ви(1 -р-? + з) + (1- в)и{1 -р)> ви{1 — /,) + (! — 0)и{1). (3.16)

Максимизация ожидаемой сверх контракта (р, 5) прибыли (р — 0з), при условии ограничения (3.16), подразумевает, что в = Ь. Фирма полностью возмещает убытки потребителю в ситуации страхового случая (полная страховка). Это классический результат в теории страхования. Точно так же, как эффективность требует, чтобы предельные нормы замены между товарами и потребителями были равны, правило Борха [6] гласит, что потребительские нормы замены доходов в двух вариантах ситуаций

Ц'Ц-р-Ь + з)

иу - р)

%

должны равняться нормам фирмы (1 : 1), что означает 5 = ?.287

Затем предположим, что потребитель знает свой параметр степени риска В, но фирма не знает.

Пусть и(р, 5, 9) обозначает полезность потребителя с вероятностью страхового случая 9 для контракта (р, 5). Эта потребительская предельная норма замены между страховым обслуживанием и доходом, по определению, равна

ди/дэ —(ди/др)’

Простой расчет показывает, что

д ' ди/дв дв —(ди/др) т

Это неравенство подразумевает, что когда вероятность страхового случая возрастает, потребитель в большей степени желает купить страховые услуги. Другими словами, он готов платить более высокую предельную премию за данный предельный прирост услуг. Следовательно, в нашей проблеме дискриминации потребители типа 92 («с высокой степенью риска») скорее купят страховку, чем потребители типа 9\ (с «низкой степенью риска»).

Неравенство (3.17) — это условие сортировки (или условие Спенса—Мирли- са) для страхового рынка. Оно подразумевает, что единственный способ проведения дискриминации между двумя типами покупателей — заставить потребителей с высокой степенью риска приобретать большую страховку: 52 > $1. Существует явно выраженная аналогия между этой моделью и моделью качественной дискриминации.

Хотя модель не совсем подходит к целевой функции потребителей в разделе 3.5.1, можно развить предыдущие расчеты и выводы.289 В частности, вывод 3 принимает следующий вид. Потребители с высокой степенью риска получают полную страховку («2 = Ь), в то время как потребители с низкой степенью риска получают субоптимальную страховку (5] < Ь). Как и ранее, суть

Рис. 3.8.

а — полная информация: вертикальная ось представляет доход при страховом случае (/ — р — Ь 4- в); горизонтальная ось представляет доход при отсутствии страхового случая (I — р); б — неполная информация: возможности «просеивания»; в — неполная информация: Л — мала; потребители с ииз- ким риском не покупают страховку; г — неполная информация: Л — велика; потребители с низким риском покупают субоптимальную сумму страховки.

заключается в том, что фирма хочет предотвратить потребление набора потребителей с низкой степенью риска потребителями с высокой степенью риска.290 Она сокращает услуги, предлагаемые потребителям с низкой степенью риска, чтобы отбить охоту у потребителей с высокой степенью риска от проведения персонального арбитража.

Представление оптимальных страховых контрактов следует из нескольких простых геометрических решений (см. [82] для формального доказательства). Графики строятся скорее в пространстве потребления, чем в пространстве {р, э). На рис. 3.8, а Е представляет потребительский набор в двух вариантах ситуаций в отсутствие страхования (р = з = 0). Этот набор одинаков и для одного, и для другого типа потребителей. Также представлены кривые безразличия потребителей, проходящие через Е. Кривая безразличия потребителей с низкой степенью риска всегда круче кривой безразличия потребителей с высокой степенью риска. При полной информации по поводу в монополист предлагает полную страховку на минимальном уровне, при котором потребители покупают (точка А{ для типа в{). Таким образом, выполняется ограничение индивидуальной рациональности. Отметим также, что потребители с высокой степенью риска хотели бы иметь возможность покупать полный страховой полис потребителей с низкой степенью риска.

Рис. 3.8,6 показывает, как два типа потребителей могут разделиться, когда монополисту неизвестна в. Например, если В — это набор, предназначенный потребителям с низкой степенью риска, то любое распределение для потребителей с высокой степенью риска должно находиться в области (должно предпочитаться набору В потребителями типа в2, но не должно заставлять потребителей типа в\ отказываться от набора В). И наоборот, если В — количество, предназначенное для потребителей типа 02» набор для потребителей типа в\ должен принадлежать области Я]. \

Рис. 3.8, в изображает оптимальное распределение, когда рынок состоит в основном из потребителей с высокой степенью риска. Потребители с высокой степенью риска получают полную страховку, но не извлекают никакого чистого излишка из покупки страхового полиса (точка с2); их полезность в случае полной информации такая же, какую они могли бы получить при отсутствии страховки.

Когда доля потребителей с низкой степенью риска меньше, компромисс действует противоположным образом (рис. 3.8, г). Монополист предпочитает продавать потребителям двух типов. Потребители с низкой степенью риска, которые выбирают , не получают чистого излишка от возможности страхования; потребители с высокой степенью риска, выбирая ?)2, получают. Чистый излишек потребителей с высокой степенью риска — это минимальный излишек, соответствующий их невыбору И\.

В обоих случаях потребители с высокой степенью риска застрахованы эффективно (т. е. полностью) и потребители с низкой степенью риска застрахованы субоптимально. Предположим для упрощения, что постоянные предельные затраты с и имеется единственный потребитель, тогда оптимальный двухставочный тариф составляет р = с и А = /0? [/*(<7) — с]с?д. Альтернативно монополист может назначить полностью нелинейный тариф:

Цч) = /о’ х. Эти результаты показаны на рис. 3.9.

Упражнение 3.2

Пусть ^ = а — Ь(р+ 1х) обозначает функцию спроса, где р в данном случае — цена фоб для потребителя, находящегося на расстоянии х. 1.

При неединых ценах фоб производитель максимизирует

(р — с)(а — Ьр— Ых)

I для всех х. Это дает цену с доставкой порядка

. . а с

Р(*Ж*=-+- + Т.

Отметим, что здесь 50% транспортных затрат включено в цену. 2.

При единой цене фоб, р, производитель максимизирует

п/(р) В2(р) Л?}р)

Рис. 3.10.

При дискриминации цена с доставкой выше для х < 1/2 и ниже для х > 1/2. Следовательно, единое ценообразование включает перекрестное субсидирование удаленными потребителями близкорасположенных. 3.

Единая цена фоб ведет к сокращению рынка, так как цена с доставкой для потребителя, находящегося на расстоянии х = 1, более высокая.

Упражнение 3.3

Обслуживание двух типов потребителей дает

(О - с)2

П2 =

40

как видно в тексте. Обслуживание только потребителей с высоким уровнем спроса (при монопольной цене (с + #2)/2) дает

П' = (1 - А)

П2 - Щ растет с Л. (Предупреждение: 0 зависит от Л). Для А = 1

П2 - П' = П2 > О

и для Л = О

П2 - П'2 < 0.

Следовательно, П2 > П2 только в том случае, если Л «достаточно велика». Альтернативно, если 0\ > (с + 02)/2, монопольное ценообразование для типа 02 обеспечивает потребление потребителями типа в1.

Упражнение 3.4

Рис. 3.10 описывает ситуацию. Предположим, что монополист предлагает наряду с линейным тарифом Т(Ч) — рч двухставочный тариф Т(^) = А + РЯ* где

с <р < р

и _

рИ2(р) = А + р02{р).

Второе условие говорит, что потребители типа 02 могут позволить себе первоначальный набор при двухставочном тарифе.

Из рис. 3.10 ясно, что потребители типа 0Х придерживаются своего старого образца потребления (т. е. они используют линейный тариф). Положение потребителей типа в2 улучшается, так как множество их возможностей (нижняя огибающая линейного и двухставочного тарифов) улучшается. Они увеличивают потребление при

П2(р) - 02(р).

Монополист доволен этим увеличением потребления, так как его маржа прибыли для этих дополнительных единиц составляет (р — с) > 0.

Более формально — прирост прибыли монополиста от потребителей типа в2

есть

(1 - А)[Л + (р - с)?)2(р) - (р ~ с)й2(р)] = (1 - Л)(р - с)[?>2(р) - Б2(р)] > 0.

Картина в значительной степени изменяется, когда спросы потребителей взаимосвязаны (как в случае, когда потребители и фирмы конкурируют на одном товарном рынке). Покупки, производимые потребителями с низким спросом, могут быть сокращены за счет скидок, предлагаемых потребителям с высоким спросом, и не может существовать нелинейный тариф, Парето- предпочтительный относительно единой цены (как было показано в [49]).

Упражнение 3.5 1.

В отсутствие связанных продаж монополист может либо продавать двум типам потребителей и извлекать излишек ТОЛЬКО у потребителей с НИЗКИМ СПрО' сом (прибыль 5х(с)), либо продавать только потребителям с высоким спросом (прибыль (1 - А)52(с)). 2.

Для этих количественных оценок при запрещении 5,

(с)<(1- А)52(с).

Совокупное благосостояние равно

(1-А)52(С).

При связанных продажах производитель предпочитает продавать двум типам потребителей, так как

$г(р) + (р - с)0{р) > (1 - А)52(с),

где р — оптимальная цена, рассчитанная в тексте (р = 7/6), благосостояние равно

ASVM + (1 - X)S2(p) + {p~ c)D{p) > (1 - A)S2(C), так как S2(p) > Si(p)-

Упражнение 3.6291

Фирма «Chicken Delight» утверждала, что связка была мотивирована соображениями контроля качества. Не было, однако, принуждения к покупке цыпленка, наиболее вероятная цель — контроль качества; кроме того, повторные продажи много значили для пользующихся привилегией торговцев, так что их стимул покупать использованные пакеты был слабым.

Предположим, что такой торговец (franchisee) может обслуживать любой из двух типов потребителей определенного района. Первый тип включает потребителей единичных обедов с достаточно высокой отправной ценой; второй тип включает семьи, покупающие большие заказы с меньшей отправной ценой (так как более распространено приготовление пищи дома). Фирма «Chicken Delight», возможно, хотела извлечь дополнительную прибыль от льгот по обслуживанию первого типа потребителей района. (Альтернативно она могла ввести льготные ставки применительно к данному пункту, но такая «дискриминация» между различными продавцами часто считается нелегальной). «Chicken Delight» могла использовать для ценовой дискриминации относительную цену сумок и пакетиков.

В пользу гипотезы ценовой дискриминации отметим, что «единичные обеды на порционной основе оценивались выше, чем крупные заказы», и что «подразумеваемая лицензионная плата типичного магазина „Chicken Delight", продающего в основном единичные обеды, была значительно выше, чем магазина, продающего в основном крупные заказы» [32, р. 11].

Упражнение 3.7 1.

Обозначим

в = -г,

V{qJ) = 1 ~ 1)2 + Од,

9V _ дв 9 ’ д2У , „ двдд

9V . й -^ = 1~ч = в-

Также обозначим F(B) = 1 — G(—В) и /(0) = д(—В) для В на [—оо,0]. 2.

p(q) = 1 — q + В в результате потребительской оптимизации. Кроме того, уравнение (3.14') дает

1 - FW

p(q) - с+ —1-і.

І” 3.

Используя предыдущие два уравнения и конкретный вид функции, получаем

р(я) = 1 - я-Ъ Р(я) = С +і/а.

Исключение Ї дает

р(?)=(гЬ)с+(гЬ)(1_<,)-

Следовательно, р(д) убывающая по 9.

Упражнение 3.8 1.

Эффективное количество ДЛЯ потребителей с ВЫСОКИМ спросом 9 = 2, так как предельная полезность второй единицы составляет

02(У(2)-К(1)) = |>.С=Л.

Для потребителей с низким спросом 9=1 (вторая единица фактически дает нулевой общественный излишек). Простой товарный набор включает предложение только набора из двух единиц по цене $2^(2) = 7/2. Это дает прибыль, равную

(1-А) (1-І) =2(1-А)-

Для обслуживания двух типов потребителей монополист назначает Т( 1) = = 01^(1) = 1 и Т(2) так, чтобы удовлетворить

в2У(2)-Т{2) = 02У(1)-Т(\).

Таким образом, Т(2) = 5/2. Общая прибыль составляет

АН)+(1-А)0НИ+(1-а)-

Следовательно, простой товарный набор предпочтительнее смешанного при условии

2(1 — А) > ^ + (1 — А),

или 4/5 > А. 2.

Если монополист выбирает вариант 2, он получает 2(1 — А) (если он не назначает низкую цену, чтобы обслуживать потребителей с низким спросом, но эта политика, которая дает 1/4, не влияет на наш результат). Если монополист выбирает вариант 1, он делает выбор между четырьмя ценами р за единицу,

Если р =: 3/4, покупатели с низким спросом покупают две единицы, но, поскольку р = с, монополист не получает прибыли. Если р = 2, лишь покупатель с высокой оценкой покупает, но все же только одну единицу. Прибыль соста-

вляет

которая явно доминирует прибыль для варианта 2. Если р = 3/2, покупают только потребители с высокой оценкой, и они покупают две единицы. Прибыль составляет

которая также доминирует. Следовательно, вариант 2 выбирается только при условии

о/-, лч А 1-Л

или 6/7 > А.

Упражнение 3.10

Продавая фильм 1 отдельно, монополист получает максимум 2*3 = 6. Продавая фильм 2 отдельно, он получает максимум 2-1 = 2. Следовательно, общая прибыль составляет 8. Соединяя в набор два фильма, он получает 2 - 5 = = 10, так как общая готовность платить за каждую единицу равна 5.