11.8 Механизм Гровса-Кларка

??

В этом параграфе мы продолжим анализировать долевое финансирование общественного блага и механизмы коллективного выбора уровня общественного блага.

Оказывается, что в частном случае, когда целевые функции квазилинейны, можно построить процедуру, корректно выявляющую предпочтения и функцию спроса на общественное благо.

Вначале мы предложим традиционный анализ механизма Гровса- Кларка, отступив от равновесного подхода, которого мы последовательно придерживались до сих пор. А именно, будем предполагать, что рассматриваемое сообщество непосредственно контролирует производство общественного блага. Потребители, соответственно, принимая решение о потреблении общественного блага в объеме x, должны, в соответствие с используемой технологией, затратить c(x) единиц частного блага, а не величину px - его стоимость, соответствующую рыночной цене p.

Позже мы вернемся к предположению о конкурентном производстве общественных благ и покажем, как можно вписать процедуру Гровса - Кларка в рамки равновесной модели, рассмотренной в предыдущем параграфе.

Механизм Гровса - Кларка

Априорно устанавливаются доли финансирования общественного блага S'(x) для каждого возможного объема потребления общественного блага x ( Y)i^i Si(x) = 1 Vx Е X).

Потребители сообщают функции По замыслу процедуры функции но, вообще говоря, могут не совпадать с ними. Потребители в принципе могут манипулировать этими оценками с целью увеличения своего благосостояния; задача предлагаемого механизма как раз и состоит в том, чтобы побуждать потребителей сообщать истинные оценки.

Предполагается, конечно, что Ф- включает v-(x) - S'(x)c(x).

а также вычисляется максимальное значение суммарной чистой объявленной полезности, которая получается без учета мнения i-го потребителя:

V(i) =maxYl ^j(x).

j=i

(3) Определяется налог Кларка на каждого потребителя за изменение коллективного выбора, равный убыткам остальных потребителей, рассчитанный на основе функций Ti = V(i) - E ^j(x).

j=i

Очевидно, что этот налог неотрицателен.

(2) Выбирается уровень блага, максимизирующий суммарную чистую объявленную полезность:

В результате данной процедуры полезность i -го потребителя с точностью до константы определяется величиной

vj (x) - 5j(x)c(x) - Tj.

В данной модели предполагается, что каждый потребитель максимизирует эту величину, выбирая сообщаемую функцию ^j(-). При этом потребитель учитывает влияние этого выбора на выбранный объем общественного блага x и на величину налога Кларка Tj, которую он должен в результате выплатить. Однако предполагается, что потребитель не учитывает влияние выбора ^j(-) на величину трансфертов, распределяющих налог Кларка. Мы будем предполагать, что это происходит по той причине, что таких трансфертов обратно рассматриваемым потребителям попросту не существует: налог Кларка выплачивается в частном благе и не перераспределяется, а должен быть изъят из данной экономики.

Можно заметить, что приведенное описание механизма Гровса- Кларка не является полным. Это, прежде всего, относится, к выбору уровня общественного блага. Во-первых, поскольку не задано никаких ограничений на функции ^j(-), то величины argmaxx J^iei ^i(x), V(j), значение которых фигурирует в спецификации механизма Гровса- Кларка, не обязательно существуют. Во-вторых, величина x не задана однозначно (максимум не обязательно достигается в единственной точке), поэтому истинные чистые полезности потребителей не заданы однозначно.

Поэтому специфицируем механизм Гровса - Кларка более детально, указав формальное представление данного механизма в виде класса игр. Чтобы задать механизм Гровса- Кларка как игру, нам следует указать соответствующие множество игроков, множество их стратегий и функции выигрышей.

Множество игроков игры, соответствующей данному механизму, совпадает с множеством потребителей

Стратегии каждого игрока - это сообщаемые им оценки (?). В случае, когда множество возможных вариантов производства общественного блага не является конечным, множества возможных стратегий Фj должны удовлетворять ограничениям, гарантирующим существование максимума суммы оценок, фигурирующих в описании механизма Гровса- Кларка.

Поскольку условие x G argmaxx ^i(x) неоднозначно определяет объем общественного блага, а, следовательно, и возможные выигрыши участников, то для полноты спецификации игры мы должны указать правило выбора объема общественного блага x = G({^j(-)}j), такое что

G({^i(-)}i) G argmax? ^j(x).

x iei

Выигрыш i-го потребителя тогда рассчитывается по указанным выше формулам при x =

G({^i(-)}i).

Теорема 122:

Истинная функция чистой полезности

^i(x) = vj(x) - 5j(x)c(x) -

доминирующая стратегия для каждого потребителя в любой из игр, соответствующих механизму Гровса- Кларка. J

Доказательство: Пусть x - уровень общественного блага, который будет выбран, если потребитель сообщит истинную чистую полезность, т. е. назовет ^j(x) = vj(x) - 5j(x)c(x), а x -

уровень общественного блага, который будет выбран, если потребитель сообщит некоторую другую возможную функцию ф'(^) Е Ф' .

В первом случае его выигрыш будет равен

Vi(x) - Si(x)c(x) - V(i) +J2 Vj (x),

j=i

во втором случае -

Vi(x) - Si(x)c(x) - V(i) +E Vj (x).

j=i

Заметим, что значение V(-) не зависит от выбора потребителя i ив обоих случаях одинаково.

Первая величина не может быть меньше второй, поскольку по определению величины x она выбирается так, что для любого x выполнено

Vi(x) + Е Vj(x) > Vi(x)+ Е Vj(x), j=i j=i

где Vi(x) = V'(x) - S'(x)c(x), в том числе, это выполнено для x = х. I

Заметим, что равновесие в доминирующих стратегиях является также равновесием в смысле Нэша.

Таким образом, механизм Гровса- Кларка оказывается неманипулируемым в том смысле, что потребители не заинтересованы искажать объявляемые оценки с целью повлиять на выбор объема общественного блага в благоприятном для себя направлении. Заметим, что тот же механизм без налогов Кларка является манипулируемым.

Теорема 123:

Если все потребители сообщили истинные функции чистой полезности, т. е.

Vi(x) = Vi(x) - Si(x)c(x).

то уровень потребления общественного блага, определенный посредством механизма Гров- са- Кларка, Парето-оптимален, то есть максимизирует общественное благосостояние W(у) =

Ei ei Vi(y) - c(y). J

Доказательство этого факта очевидно. Достаточно заметить, что если все потребители сообщили истинные функции чистой полезности, то W(у) =Y)iei V'(V).

Итак, естественно ожидать, что при использовании этой процедуры будет выбран оптимальный уровень общественного блага. Однако состояние такой экономики окажется неоптимальным в случае, когда хотя бы один потребитель выплачивает налог Кларка, поскольку такие налоги - чистые потери для данной экономики частного блага в размере, равной сумме налогов Кларка. При этом мы следуем интерпретации, что налоги изымаются, но не перераспределяются. (Если предположить, что налоги идут потребителям, которые не участвуют в процедуре и включить этих потребителей в вычисление благосостояния, то оптимум в смысле Парето все же будет иметь место.)

В некоторых случаях, однако, можно гарантировать, что налоги Кларка равны нулю. Для случая бесконечно делимого общественного блага эти ситуации характеризует следующая теорема.

Теорема 124:

Пусть

функции полезности и функция издержек дифференцируемы;

О функции полезности вогнуты, а функция издержек выпукла;

О доли финансирования общественного блага не зависят от объема его потребления и равны

= V'i(x) ' Ej еi Vj(x),

где x - Парето-оптимальный объем общественного блага;

О все потребители сообщили истинные функции чистой полезности, т. е.

Vi(x) = Vi(x) - S'c(x).

Тогда налоги Кларка равны нулю. J

Доказательство: Покажем сначала, что максимум функций

V'(x)= V'(x) - Y^j c(x),

достигается при x = x. Действительно производная функции Vi(x) в точке x = х равна нулю:

Vi(x) = Vi(x) - Y^xJ.(?) ci(?) = 0.

Поскольку Vi(^) - вогнутая функция, c(^) - выпуклая функция, а доли финансирования общественного блага не зависят от объема его потребления, то, значит, необходимые условия оптимальности здесь являются достаточными. Следовательно, при x = x функция достигает максимального значения, то есть

x ? argmax V-i(x).

x

Отсюда следует, что

x ? argmaxУ^ V'(x).

x

i i

Более того, несложно понять, что для любого x ? argmaxx^iei Vi(x) имеет место равенство Vi(x) = Vi(x) , и поэтому

V(i) = Е Vj(x) = Е Vj(x).

j=i j=i

Простое вычисление показывает, что тi = 0 Vi. I

Имеет место и обратное утверждение о том, что если налоги Кларка оказались равными нулю, то это говорит о том, что доли финансирования были пропорциональны предельным полезностям. Теорема 125: Пусть

функции полезности и функция издержек дифференцируемы;

доли финансирования общественного блага не зависят от объема;

все потребители сообщили истинные функции чистой полезности, т. е.

Vi(x) = Vi(x) - Sic(x);

был выбран уровень общественного блага x, такой что

x ? int X(1); ? налоги Кларка равны нулю. Тогда выполнено соотношение

vj (x)

5j =

Ejei vj(x)'

Доказательство: Равенство всех налогов Кларка нулю означает, что

mxax ? pj(x) = ? ^j(x) Vi. j=i

j=i Это означает, что

? pj(x) = 0 Vi.

j=i

С другой стороны, из того, что x определяется из условия

x G argmax ? pi(x) следует, что

Таким образом,

т. е.

x jeI

? pj(x) = 0.

jeI

pj(x) = 0 Vi. vj (x) = 5ic'(x) Vi 5j = vM Vi.

cj(x) vjj(x)

или

5j =

i.

Ejei vj(x)

А это означает, что В "достаточно большой" экономике влияние отдельного потребителя на результат работы механизма Гровса- Кларка незначителен, соответственно, можно ожидать, что в такой экономике размер налогов Кларка мал.

Проиллюстрируем это утверждение на примере, показав, что размер налогов Кларка убывает в "достаточно больших" экономиках, являющихся t-репликами исходной.

Чтобы исследовать влияние изменений только размера экономики на величину налога Кларка и элиминировать влияние изменений оценок общественного блага при росте числа потребителей, определим реплику следующим образом.

Будем называть экономику t-репликой исходной экономики, если в ней list??? - существует технология, позволяющая производить x единиц общественного блага, затратив tc(x) единиц частного;

- имеется t - 1 "двойник" для каждого потребителя исходной экономики и таким образом t потребителей каждого типа. Соответственно, доля каждого из них в финансировании общественного блага равна 5j/t. Поэтому чистая полезность x единиц общественного блага у каждого такого потребителя есть величина

Pi(x) = vj(x) - 5j(x)c(x)

Пример 57:

Пусть опять

vj(x) = 2aj ln x,c(y) = y2,

1/m. В данном случае

и потребители финансируют общественное благо поровну, т. е. истинная оценка i-го потребителя равна

vi(x) - c(x)/m = 2ai ln x - x2/m.

Если все потребители сообщат свои истинные оценки, то выбранный уровень общественного блага окажется равным

x = argmax? pi(x) = argmax?(2ai ln x - x2/m), ie/ ie/

откуда x

= argmax I 2 ? ai lnx - x2 ) = /? ai = Vma = y. jeI

jeI Далее, m - 1

2

x

m

V(i) = max? Pj (x) = max I 2 ? aj ln x -

j=j

j=j откуда m

V(j) = ? aj ln

m1

? a j ) - ? a j

j=i

j=i / j=i ma - aj

= (ma - ai) ln m - (ma - ai)

m-1

Поскольку m1

? jeI

aj

aj

m

jeI

? Pj(x) = ? aj ln ( ?

j=i

j=i = (ma - ai) ln(ma) - (m - 1)a,

то налог Кларка для i-го потребителя равен

Ti = V(i) - ? Pj(x) =

j=i

= (ma - ai)(ln(m - ai/a) - ln(m - 1)) + ai - a.

Покажем, что если реплицировать эту экономику, то налоги Кларка в ней стремятся к нулю. В t-й реплике будет mt потребителей, которых удобно нумеровать двумя индексами - i и t, где индекс i означает, что этот потребитель совпадает с i-м потребителем исходной экономики, т. е. ajt = aj. Функция издержек в t-й реплике будет иметь вид

c[t](y) = tc(y) = ty2.

Пусть опять потребители сообщают истинные оценки, равные

Pit (x) = vit(x) - c[t] (x) / (mt) = 2ai ln x - x2/m.

Сумма этих оценок равна

? ? Pit(x) = ? ?(2aj ln x - x2/m) = t I 2 ? aj ln x - x2 t ie/ t ie/ \ ie/

= 2tma ln x - tx2.

Отсюда ,[t] =

xrj = argmax ? ? Pit(x) = Vma t jeI

то есть выбираемый уровень общественного блага остается таким же, как в исходной экономике. С другой стороны, для потребителя is

V(is) = mxax I ? ? Pjt(x) - ? Pis(x) ) = \ t je/??? ie/ J

tm - 1 2 x2

= max ^2 (tma - ai) ln x - tma - aj

= (tma - ai) ln m - (tma - ai),

tm - 1

и

? ? Pjt(x) - ? Pis(x) = t ie/ ie/

= (tma - ai) ln(ma) - (tm - 1)a,

откуда получаем налог Кларка

Tis = V(is) - ? ? Pjt(x) + ? ^is(x) =

t ie/ ie/

= (tma - ai )(ln(1 - ai/(atm)) - ln(1 - 1/tm)) + ai - a.

Переходя к пределу при t ^ то получим Tj ^ 0. Для этого надо воспользоваться тем, что n ln(1 + 1/n) ^ 1 при n ^ то. Д

Рассмотрим частный случай, когда x принимает два значения, 0 и 1 и доли постоянны. Считаем, что Vj(0) =0 Vi G I и c(0) = 0. Величина Vj = Vj(1)- Vj(0) = Vj(1) представляет собой резервную цену - максимальную цену, которую потребитель i готов заплатить за данное благо, с = c(1) - издержки на производство общественного блага. Чистая полезность для i -го потребителя при x = 1 равна

Vj(1) - 5jc(1) = Vj - йс,

а при x = 0 равна нулю (Vj(0) - 5jc(0) = 0).

Обозначим через pi объявленные чистые полезности Pi(1) (считая, что действует ограничение pi(0) = 0).

Согласно механизму Гровса-Кларка y = 1, если Eie/ Pi(1) > Eie/ Pi(0), т.е. если Eie/ Pi > 0, и y = 0, если J2ie/ Pi < 0. Заметим, что в случае, когда J2ie/ Pi = 0, потребителям безразлично, производить ли общественное благо. Для определенности будем считать, что в этом случае y = 1 .

Если y = 1, а без i -го потребителя был бы выбран объем y = 0, то V(j) =0 и налог Кларка равен

Ti = ? Pj(0) - ? Pj(1) = V(i)- ? Pj = - ? Pj.

j=i j=i j=i j=i

Если же y = 0, а без i-го потребителя был бы выбран объем y = 1, то

V(i) = Е ^з(i) = Е ^з > 0.

j=i j=i

и налог Кларка равен

Ti = Е Vj(1) - Е Vj(0) = у{{)- 0 = е Vj.

j=i j=i j=i

Выигрыш i-го потребителя равен

Vi - biC - Ti,

если будет принято решение о покупке телевизора и 0 в противном случае.

В Таблице 11.1 представлены возможные варианты равновесия с точки зрения s-го потребителя.

Таблица 11.1. Случай Выбор Налог Кларка (TS) Выигрыш s-го потребителя Ei ei Vj > 0 и Ei=s Vi > 0 x = 1,x(s) = 1 0 Vs - bsC Ei ej Vj > 0 и Ei=s Vi <0 x = 1,x(s) = 0 - Ei=s Vi Vs - bsC + Ei=s Vi Ei ej Vj < 0 и Ei=s Vi ^ 0 x = 0,x(s) = 1 Ei=S Vi - Ei=s Vi Eiei Vj < 0 и Ei=s Vi <0 x = 0,x(s) = 0 0 0 Пример 58 ((расчет налога Кларка)):

Покупка телевизора ценой 6000 руб. тремя соседями по комнате при равных долях финансирования, bi = 1/3. ?? См. Табл.?? Д

Таблица 11.2. ??? i Взнос потребителя, biC Оценка полезности телевизора Полезность телевизора за вычетом взноса, Налог Кларка, Ti потребителем, Vi Vi = Vi - biC 1 2000 1000 -1000 0 2 2000 2000 0 0 3 2000 5000 3000 1000 Для рассматриваемой экономики с дискретным общественным благом можно формально доказать, что при реплицировании экономики налоги Кларка становятся равными нулю.

Теорема 126:

Рассмотрим механизм Гровса- Кларка в случае дискретного общественного блага (x принимает два значения, 0 и 1 ). Предположим, что потребители называют свои истинные чистые полезности, и что ^^j Vi = c. Тогда каковы бы ни были доли bi, найдется номер реплики t такой, что для всех репликах t ^ t, налоги Кларка равны нулю. J

Доказательство: Пусть потребитель s платит налог Кларка. Тогда выполняется одно из усло

вий:

(1) ? Pi ^ 0 и ? Pi < 0

ie/ i=s

или

(2) ]Г Pi < 0 и ]Т Pi ^ 0,

ie/ i=s

где Pj = Vj - 5jC. Рассмотрим первый случай (анализ второго оставляем читателю). Поскольку по предположению Еie/ Pi = Еie/ V -с = 0, это означает, что Еie/ Pi > 0 и величина Ps отрицательная. Поэтому найдется ts такое, что ts Eie/ Pi - P" > 0. Это означает, что налог Кларка для любого потребителя типа i в реплике t > ts равен нулю. Справедливость утверждения следует тогда из того факта, что число потребителей в исходной экономике конечно. ?

Заметим, что если предположение Еie/ V = с не выполняется, это утверждение оказывается неверным. Действительно, в этом случае потребитель s , для которого выполняется соотношение Еie/ Pi = 0 и Еj=s Pi < 0 (и любой его двойник) в любой реплике платит налог, равный величине -Ps.

Рассмотрим теперь механизм Гровса - Кларка в контексте модели общего равновесия.

Если общественное благо приобретается на рынке в условиях совершенной конкуренции, то в процедуре Гровса- Кларка надо c(x) заменить на px. Будем предполагать, в отличие от рассмотренного выше подхода, что налоги Кларка собираются в денежном выражении, и что в равновесии налог Кларка перераспределяется между потребителями посредством трансфертов. При этом трансферты фиксированы априорно и решения потребителей не влияют на их величину (точнее, потребители не учитывают это влияние).

Если G({Pi(-)}j) - функция коллективного выбора, соответствующая механизму Гровса - Кларка, то спрос на общественное благо определяется на основе задач потребителя, которые в данном случае имеют следующий вид:

Vj(x) - 5j(x)px - Tj(Pi(-),..., Pm(')) ^ max

x = G(Pi(.),...,Pm(0), (11.7)

Pi(') G $i.

Данная задача, фактически, является частным случаем задачи потребителя (11.6). Отличие заключается только в том, что мы, пользуясь квазилинейностью функции полезности, подставили бюджетное ограничение в целевую функцию.

Предложение общественного блага определяется на основе задачи производителя:

py - c(y) ^ max (11.8)

Равновесие с долевым финансированием и механизмом Гровса - Кларка - это равновесие с долевым финансированием и коллективным выбором на основе механизма G({Pi(-)}j). Конкретизируем это определение для рассматриваемого случая.

Определение 81:

Равновесие с долевым финансированием и механизмом Гровса - Кларка есть набор (p , x,y, {Pi(*)}j), такой что

x = y;

объем потребления общественного блага x и оценка Pi(-) являются решениями задачи потребителя (11.7);

объем производства общественного блага y является решением задачи производителя (11.8) при цене p.

Для этого типа равновесия мы можем доказать аналог второй теоремы благосостояния. Теорема 127:

Предположим, что в квазилинейной экономике с общественными благами функция издержек дифференцируема, и предельные издержки не убывают.

Пусть x - Парето-оптимальный объем общественного блага, и Vi(x) = Vi(x) - bi(x)px. Тогда (e'(x),x,x, {Vi()}i) - равновесие с долевым финансированием и механизмом Гровса- Кларка. J

Доказательство: Очевидно, что x и Vi() - решение задачи потребителя. Доказательство, практически совпадает с доказательством Теоремы 122. Кроме того, поскольку C(у) не убывает, то x - решение задачи производителя при p = C'(X) . I

Мы не можем гарантировать справедливость первой теоремы благосостояния для любого такого равновесия. Однако можно выделить класс равновесий, для которых этот результат имеет место. Это равновесия, в которых оценка Vi(^) любого потребителя i максимизирует его полезность при любых оценках, сообщаемых другими потребителями, то есть является аналогом равновесия в доминирующих стратегиях. Выполнение условий предыдущей теоремы гарантирует существование таких равновесий.

11.8.1 Задачи

^ 516. Отметьте верные из нижеприведенных утверждений, и заполните пробел. Если предпочтения потребителей , тогда механизм Гровса - Кларка приводит

к Парето-оптимальному состоянию экономики;

к Парето-оптимальному состоянию экономики, если начальные запасы всех потребителями строго положительны;

к Парето-оптимальному состоянию экономики при отсутствии ключевых участников;

к Парето-оптимальному состоянию экономики, если налоги Кларка ненулевые;

к Парето-оптимальному состоянию экономики, если налоги Кларка ненулевые;

к тому, что участники объявляют истинные предпочтения.

Все вышеприведенные утверждения неверны.

^ 517. В процедуре Гровса- Кларка налоги Кларка ...

а) идут на финансирование общественного блага;

б) распределяются пропорционально между участниками;

в) передаются участникам, пострадавшим от выбора того, с кого взят налог;

г) не передаются ни кому из участников.

^ 518. Укажите, какие из свойств функций полезности (вогнутость, квазилинейность, непрерывность, дифференцируемость, локальная ненасыщаемость) и другие дополнительные характеристики механизма Гровса- Кларка являются достаточными и/или необходимыми для того, чтобы этот механизм

был применим: ...

корректно выявлял предпочтения: ...

обеспечивал эффективный уровень общественного блага: ...

обеспечивал Парето-эффективное для голосующих состояние: ...

^ 519. Три соседа по дому решают, приобрести ли в складчину спутниковую антенну. В продаже имеются антенны двух типов - дорогие (ценой 3000 руб.) и дешевые (ценой 1200 руб.). Каждый из соседей определил лично для себя ценность антенны. Денежные выражения этих ценностей помещены в таблице:???////////

Чтобы каждый из соседей правдиво сообщил свою оценку, используется механизм Гровса - Кларка, с равными долями финансирования. Какой из вариантов будет выбран: не покупать

Имя Полезность дорогой антенны, руб. Полезность дешевой антенны, руб. A 500 150 B 900 450 C 2000 550 антенну, купить дешевую, купить дорогую? Укажите численные значения результирующих налогов Кларка. Какой вариант будет выбран при голосовании по правилу простого большинства? Какой выбор является Парето-оптимальным?