7.3.1 Задачи
^ 372. Потребитель имеет элементарную функцию полезности u(x) = ^fx. Он получает доход 9 с вероятностью 2/3 и доход 25 с вероятностью 2/3. Найти плату за риск. ^ 373. Индивидуум имеет функцию полезности типа Неймана- Моргенштерна.
Элементарная функция полезности строго возрастает и зависит только от одного аргумента (денег). Лотерея $3 и $5 с вероятностями 1/2 и 1/2 и лотерея $3 и $9 с вероятностями 2/3 и 1/3 для него эквивалентны. Может ли быть верным, что этот индивидуум(а) рискофоб;
(б) нейтрален к риску;
(в) рискофил?
^ 374. Пусть есть одно благо (деньги), элементарная функция полезности потребителя имеет вид u(x) = yfx, а начальный запас (гарантированная сумма) денег равен $9. Существует лотерейный билет, который может выиграть $0 с вероятностью 0,5 (если выпадет "орел") и $7 с вероятностью 0,5 ("решка"). Рассмотрите три альтернативные ситуации:
За какую сумму x потребитель купил бы такой билет?
За какую сумму y потребитель согласился бы сам эмитировать (продать) такой лотерейный билет (можно считать, что его гарантированный запас состоит из 9-ти билетов по $1 выигрывающих в состоянии мира "орел" и 9-ти по $1 на "решку")?
Если потребителю подарят такой билет, за какую сумму z он бы его продал?
^ 375. Рискофоб с элементарной функцией полезности (функцией Бернулли) вида u(x) = - 1/x имеет $900 и лотерейный билет, который дает $900 с вероятностью 1/2 и $0 с вероятностью 1/2. За сколько он продал бы этот билет?
^ 376. Богатство потребителя равно 100 д. е. Элементарная функция полезности равна квадратному корню из дохода. Лотерейный билет дает выигрыш 0 д. е. с вероятностью п и 20 д. е. с вероятностью (1 - п). Цена билета равна 5 д. е. При каких вероятностях потребитель
купит билет?
продаст билет (сам его эмитирует)?
продаст билет, если ему его подарят?
(Решать не обязательно, достаточно составить неравенство)
^ 377.
Рассмотрим следующую игру: если игрок называет число a, то получает дополнительно к имеющейся у него сумме и сумму a с вероятностью 1/3 и (-a) с вероятностью 2/3. Какое число назовет игрок, предпочтения которого описываются функцией полезности Неймана - Моргенштерна с элементарной функцией полезности u(-) ? (a) u(x) = д/x; (b) u(x) = - e-"x; (c) u(x) = - X; (d) u(x) = lnx; (e) u(x) = ax - bx2; (f) u(x) = a^/x + bx.^ 378. Пусть рискофоб, предпочтения которого описываются функцией полезности Неймана- Моргенштерна с элементарной функцией полезности u(x) = \fx, владеет суммой денег и рублей и лотерейным билетом, выигрывающим a рублей с вероятностью 1/2. Покажите, что при уменьшении a до нуля цена, за которую он готов продать этот лотерейный билет, стремиться к величине ожидаемого (для данного рискофоба) выигрыша по этому билету.
^ 379. Индивидуум, чьи предпочтения на лотереях описываются функцией полезности Неймана- Моргенштерна с элементарной функцией полезности u(x) = л/x, располагает суммой денег и рублей. Ему предлагают приобрести лотерейный билет, выигрывающий a рублей с вероятностью 1/2. Пусть p - максимальная цена, которую он готов уплатить за лотерейный билет.
Чему равна p при и = 9 и a = 16 ?
Покажите, что p . . .
растет при увеличении величины выигрыша a;
растет при увеличении суммы денег и;
не может превышать величину a/4 рублей.
^ 380. Нейтральный к риску фермер может посеять капусту на берегу реки и получить доход $1000, но рискует потерять весь урожай при наводнении. Он может посеять вдали от берега, где урожайность на 20% меньше, но нет риска. Фермер оценивает вероятность наводнения в 0,1. Как он поступит без дополнительной информации? Сколько бы он отдал за точную информацию о наводнении?
^ 381. Золотоискатель с запасом $900, полезностью типа Неймана- Моргенштерна и функцией Бернулли вида u(x) = \fx решает, купить ли по цене $300 золотоносный участок, где с равной вероятностью ожидает выигрыш в $900 или ничего.
За сколько он купил бы у геолога соответствующий прогноз, если положительный прогноз означает, что с вероятностью 0,75 золото есть, а отрицательный - что с вероятность 0,75 золота нет?