7.4 Задача потребителя при риске

В экономике с неопределенностью естественно ожидать заключения контрактов, условных по состояниям мира. Соответственно, блага следует рассматривать как условные по состояниям мира - контингентные (условно-случайные) блага.

Если ничто не препятствует заключению контрактов условных по состояниям мира (т. е. купле-продаже контингентных благ), то можно предположить, что любое контингентное благо можно обменять на любое другое контингентное благо. Иными словами, можно предположить, что любое благо k1 в любом состоянии мира S1 можно поменять (прямо или косвенно) на любое благо k2 в любом состоянии мира S2. Это предположение о полноте рынков контингентных благ.

Следует отметить, что предположение о полноте рынков контингентных благ является достаточно ограничительным и, как правило, не позволяет адекватно моделировать реальные рынки с риском. Тем не менее, модели, основанные на этом предположении, оказывается полезными при анализе реальных феноменов и понимании причин фиаско рынка при наличии неопределенности.

Другое предположение, которое мы сделаем - это предположение о свободной конкуренции на рынках контингентных благ. С точки зрения задачи потребителя - это стандартное предположение о том, что потребитель считает цены данными. Через pks мы будем обозначать рыночную цену контингентного блага (k, s) (это цена контракта на поставку единицы блага k в ситуации, если реализуется состояние мира s, т. е. цена соответствующего актива Эрроу).

Эти предположения позволяют записать задачу потребителя:

Ui(xi) = ? Ui(xis) ^ max ses Xi

? E pfcsxifcs ^X! pfes^fes,

sesfceK sesfceK

xis e Xi Vs e S.

По сути, задача потребителя имеет тот же вид, что и в классической модели, только индекс блага становится двойным, и суммирование в бюджетном ограничении идет по двум индексам - k и s .

dUi/dxik 1si pfcisi

, Vk1,k2 e K, Vs1,s2 e S.

dUi/dxik 2s2 pfc2s2

С учетом того, что целевая функция имеет специфический вид (Неймана- Моргенштер- на), дифференциальную характеристику можно переписать в терминах элементарной функции

полезности:

Psluifci (xisl) pfcisi W) т т^ w ^ a

ГЪ ) = --, VkI,k2 ? K, VsI, s2 ? S,

ps2 uifc2 (xis2 ) pfc2 S2

где uifc(?) - производная элементарной функции полезности по k-му благу. Проиллюстрируем введенные понятия простым примером.

Пример 36 ((Задача страхования имущества)):

Предположим, что потребитель имеет имущество стоимостью Ui , которое в случае состояния мира 1 (при отсутствии пожара) сохранится, а в случае пожара - состояния мира 2 - окажется равным U2 (U2 < UI). На (совершенном) рынке страховых услуг этот потребитель может приобрести страховой контракт (7, y), где - 7 ? [0,1] - цена контракта, а y - страховая сумма. То есть если потребитель застрахуется на сумму y, то он вне зависимости от состояния мира заплатит 7у и получит y в случае пожара. Таким образом, при отсутствии пожара доход потребителя будет равен

xI = UI - 7y, если же пожар произойдет, то доход составит

x2 = U2 + y - 7y.

Таким образом, мы имеем одно благо - деньги, и два состояния мира (отсутствие и наличие страхового случая).

Бюджетное ограничение того вида, что выше (в терминах контингентных потребительских наборов), можем получить, исключив y:

(1 - Y)Xi + 7x2^(1 - 7)UI + 7U2.

Покупая страховой контракт, потребитель тем самым меняет благо 'деньги в состоянии 1' на благо 'деньги в состоянии 2' в отношении

pi/p2 = (1 - 7)/7.

Предположим далее, что потребитель имеет функцию полезности типа Неймана - Морген- штерна

U = (1 - p)u(xi) + pu(x2),

такую что производная элементарной функции полезности u'(-) положительна и строго убывает (т.

dU/dxi (1 - p)u'(xi) 1 - 7 dU/dx2 pu'(x2) Y

Опираясь на то, что u'(-) - убывающая функция, можно сделать выводы об оптимальном решении потребителя в зависимости от соотношения вероятности пожара р и цены страховки 7. При 7 = р (актуарно справедливая цена страховки) имеем

u'(xi) = u'(x2).

Таким образом, в этом случае потребитель застрахуется на такую сумму, что xI = x2, то есть на всю сумму потенциального ущерба:

y = UI - U2.

Рис. 7.5. Иллюстрация различных соотношений между ценой и вероятностью в задаче страхования имущества

Нетрудно проверить, что если цена будет высокой (Y > Р), то он застрахуется так, что

u'(xI) < u'(x2),

откуда xI > x2. То есть страховая сумму будет меньше величины ущерба. Наоборот, при Y < Р страховая сумма будет превосходить величину ущерба. ?? Нет ссылки на рисунок

В предположении, что потребитель является рискофобом, этот результат обобщить на случай, когда элементарная функция полезности недифференцируема.

Будем рассматривать доход потребителя как случайную величину X, которая принимает значение xI с вероятностью (1 - р), и x2 с вероятностью р.

Тогда при y = Р ожидаемый доход E X равен (1 - y)wi + YWI, то есть не зависит от суммы страховки y. Рискофоб предпочитает среди таких лотерей ту, которая не связана с риском, то есть дает один и тот же доход вне зависимости от состояния мира. А к такой лотерее приводит страхование на полную сумму потерь.

При Y > Р (Y < Р) с ростом страховой суммы y величина ожидаемого дохода E X уменьшается (увеличивается). Поэтому потребителю не выгодно выбирать y больше (меньше) величины ущерба. Действительно, если он застрахуется на величину ущерба, то риск будет отсутствовать, а ожидаемый доход E X будет выше. Таким образом, если y > Р, то y ^ WI - W2, а если Y < Р, то y ^ WI - W2. Строгие неравенства можно гарантировать только при диффе- ренцируемости. Если функция полезности недифференцируема, то при y = Р оптимальным может быть страхование на полную сумму ущерба (y = WI - W2). А