1.4. Задача потребителя. Характеристики потребительского выбора

Говоря нестрого, потребитель всегда выбирает из множества доступных ему альтернатив наилучшую (одну из наилучших). Доступные альтернативы в теории потребления — это доступные потребительские наборы, т.е.

Во-вторых, это всевозможные типы институциональных ограничений. Наиболее простой тип ограничений этого типа — это так назывемое бюджетное Ограничение вальрасовского типа — требование ограничить стоимость потребительской корзины фиксированной суммой денег (бюджетом). Множество потребительских наборов, удовлетворяющих этому ограничению, называют бюджетным МНОжеСТВОМ. Таким образом, если р — вектор цен рассматриваемых благ, а — — доход потребителя, то его бюджетное множество имеет следующий вид: В(р, —) = {хеХ | ^х < —}.

Таким образом, если потребитель сталкивается лишь с бюджетным ограничением, то его выбор — наилучший потребительский набор из бюджетного множества В(р, —). По введенному ранее определению бюджетное множество В(р, —) представляет собой частный случай смт^а^мм выбора.

С учетом вышесказанного, в случае, когда предпочтения задаются функцией полезности, выбор рационального потребителя должен быть решением следующей задачи математического программирования (задачи максимизации полезности):

Задача 1 (Задача потребителя)

и(х) ^ max

.рх < — , (1-1)

х > 0. (1-2)

Соотношение (1-2) выделяет множество допустимых альтернатив, а соотношение (1-1), — бюджетное ограничение, — выделяет, совместно с (1-2), бюджетное множество потребителя.

При положительных ценах, неотрицательном доходе и непрерывных предпочтениях (функции полезности) решение задачи существует, что легко показать, используя соответствующую теорему Вейерштрасса.

ным множеством B(p, R) и множеством решений задачи потребителя представляет собой то, что выше называлось правилом выбора. Строгая выпуклость предпочтений гарантирует единственность решения; в этом случае правило выбора есть функция спроса.

\ Определение 18. Пусть решение Задачи 1 существует и единственно для всех / \ значений параметров — положительных ценах р и доходе R. Тогда определена еле- ^ ^ дующая функция, которая ставит в соответствие каждому набору цен и доходов / \ решение задачи при этих параметрах — вектор х(р, R). Будем называть ее функ- ^ \ цией спроса Маршалла. Если решение задачи при некоторых значениях па- / ^ раметров не единственно, то говорят об отображении СПрОСЭ Маршалла. /

В дальнейшем будем предполагать, если не оговорено противное, что

маршаллианский спрос является функцией и определен для всех положительных цен и доходов;

решение внутреннее: x(p, R) > 0;

предпочтения локально ненасыщаемы (поэтому решение лежит на границе бюджетного множества, т.е. выполняется закон Вальраса).

Утверждение 15 (свойства маршаллианского спроса x(p, R)) .

Отображение x(p, R) однородно нулевой степени, т. е.

x(Ap, XR) = x(p, R).

(Если цены и доходы изменятся в одно и то же число раз, то спрос не изменится.)

Если предпочтения потребителя выпуклы, то x(p, R) — выпуклое множество.

Если предпочтения потребителя локально ненасыщаемы, то x(p, R) удовлетворяет закону Вальраса, т.е. если xex(p, R), то pxc = R. (Бюджетное ограничение выполняется как равенство.)

Если предпочтения потребителя строго выпуклы, то x(p, R) — функция.

Если предпочтения потребителя непрерывны и строго выпуклы, то x(p, R) — непрерывная функция.

Доказательство:

Для доказательства однородности спроса по ценам и доходу отметим, что множество, на котором потребитель ищет лучший набор не меняется при одновременном умножении цен и доходов на некоторую положительную величину X > 0, т.е. {x е ш!+ | (Xp) x < (XR )} = {x e ж'+ | px < R }

Пусть предпочтения индивидуума выпуклы, x(p,R) не пусто и x', x'' — два элемента из множества x(p, R), т.е.

Пусть х — решение задачи потребителя, и закон Вальраса не выполнен, т.е. рс < —. Тогда по свойству локальной ненасыщаемости в любой окрестности точки х должен существовать набор х, такой, что х > х. Если выбрать достаточно малую окрестность, то х будет удовлетворять бюджетному ограничению (рхх < —), что противоречит оптимальности набора х.

Пусть предпочтения индивидуума строго выпуклы и х', х'' — два различных элемента из множества х(р, —), т.е. х', х'' е х( р —). Рассмотрим потребительский набор х = ах' + (1 - а) х'' (0 < а < 1). Так как х', х'' е х(р —), то х' @ х''. По определению строгой выпуклости предпочтений имеем, что х > х' @ х''. Кроме того набор хс допустим в задаче потребителя. В силу этих свойств получаем, что набор хс допустим и, лучше наборов х' и х'', а это противоречит их оптимальности. Поэтому решение единственно, то есть х( р, —) — (однозначная) функция. (Отметим еще раз, что существование следует из непрерывности функции полезности).

Докажем непрерывность функции спроса. Рассмотрим последовательность {рп, —П}Г=i—> {р, —}, где (р, —)> 0, и последовательность {х„}Г=1 решений задачи потребителя при ценахрп и доходах —п (т.е. хп = х(рп, — п)), такую что {х„}„ =1— х.

Посколькурп хп п, то переходя к пределу при п — получаем, что р х .

Нам нужно показать, что х = х(р, —), т.е. х является оптимальным выбором потребителя при ценах р и доходе —. Предположим, что это не так, и существует такой набор х, что

и(х) > и(х) и рх < —.

Так как доход положителен, то существует потребительский набор хс такой, что и(х) > и(х) иXх < —. (Если х ^ 0 и ХФ0, то можно подобрать ? ^Ф 0, так что х -ее I \ . По непрерывности функции полезности найдется достаточно малая величина ?, такая что и(х - е) > и(х).

Далее, найдется достаточно большое N такое, что при n>N выполнено рп х < —п. Пусть это не так, т.е. существует такая возрастающая бесконечная последовательность натуральных чисел п^, что р„к х ^ —„t V&. Тогда, перейдя к пределу, мы получили бы р х ^ —, что противоречит выбору х.

Для каждого п, такого что рп хс < —п в силу оптимальности хп мы должны иметь и(хп) > и(х). Так как функция полезности непрерывна, то, переходя к пределу, получаем и(х) ^ и(х). Тем самым мы пришли к противоречию. Это означает, что набор х оптимален при ценах р и доходе —, т.е. х = х(р, —X). Таким образом, доказана непрерывность функции спроса х( р,—) по ценам и доходу.

Замечание. В общем случае можно показать, что отображение спроса имеет замкнутый график, используя, с незначительными изменениями предложенную схему доказательства.

Одним из ключевых понятий теории потребителя является понятие непрямой функции полезности. Ниже мы даем его определения и основные свойства.

Определение 19. Непрямая функция полезности v(p, R) = u(x(p,R)) есть значение целевой функции Задачи 1 при ценах p и доходе R в точке оптимума.

Утверждение 16 (свойства непрямой функции полезности v(p, R))

Пусть предпочтения потребителя представляются непрерывной функцией полезности u(x). Тогда

v(p, R ) однородна нулевой степени: v(Xp, XR) = v(p, R).

v(.) не убывает по доходу (v(p, R ') ^ v(p, R) при R '>R), причем строго возрастает по доходу, если предпочтения локально ненасыщаемы (v(p, R ') > v(p, R) при R '>R).

v(.) не возрастает по ценам (v(p, R) < v(p', R) приp > p').

Функция v(p, R) непрерывна на множестве строго положительных цен и неотрицательных доходов, т. е. при (p, R) е К^+хК+.

Функция v(p, R) квазивыпукла.

Доказательство:

Однородность нулевой степени следует из определения непрямой функции полезности и однородности нулевой степени функции спроса x(p, R) (см. Утверждение 15).

Покажем, что v(p, R) не убывает по R. Рассмотрим непрямую функцию полезности при двух разных уровнях дохода R ' и R, таких что R '>R. Поскольку при R '>R бюджетное множество {x е м! | px < R' } содержит бюджетное множество {x е м! | px < R }, а непрямая функция полезности по определению есть максимум функции полезности на бюджетном множестве, то v(p, R ') ^ v(p, R).

Предположим, что предпочтения локально ненасыщаемы. Если бы при R '>R мы имели v(p, R ') = v(p, R), то наборы из x(p, R) принадлежали бы x(p, R'), но для них не выполнялся бы закон Вальраса. Значит, должно выполняться строгое неравенство v(p, R ') > v(p, R), т.е. при локальной ненасыщаемости непрямая функция полезности возрастает по доходу.

Доказательство невозрастания непрямой функции полезности v(p, R) по ценам p можно провести по той же схеме. Заметим, что при локальной ненасыщаемости предпочтений, если p >p', то v(p, R) < v(p', R).

Непрерывность следует из определения непрямой функции полезности и непрерывности функции x(p, R), которую мы доказали в Утверждении 15 в предположении строгой выпуклости предпочтений. Доказательство в общем случае оставляем читателю.

Мы хотим показать, что

v(api + (1 - а)р2, aRi + (1 - o)R2) < max {v(pi, Ri), v(p2, R2)}.

Пусть x — решение Задачи 1 при ценах p = а^1 + (1 - а)р2 и доходе R = oR 1 + (1 - a)R2,

Сначала докажем, что х — допустимое решение Задачи 1 при ценах р и доходе —1, либо при ценахр и доходе —2.

Пусть х не является допустимым решением Задачи 1 ни при цене р1 и доходе —1, ни при ценер2 и доходе —2. Тогда^х > —1 ирх > —2.

Отсюда следует, что ар х + (1 - а)р2х > а—1 + (1 - а)—2, что противоречит тому, что х — допустимое решение при ценах р и доходе —. Таким образом, либо ^х < —1, либо рх < —2.

Предположим, например, что ^х < —1.

Из того, что "У(рь —1) есть по определению значение целевой функции на оптимальном решении Задачи 1 при ценах р и доходах —1, следует, что у(р1,—1) ^ и(х), так как х — допустимое решение этой задачи. Тем более должно выполняться и требуемое соотношение

и(х) = v( ар + (1 - а)р , а—1 + (1 - а)—2) < max {v(p, —1), v( —2)}.

Если дополнительно предположить, что и является дифференцируемой функцией, то для характеристики решений Задачи 1 можно применить теорему Куна- Таккера:

Пусть х — решение Задачи 1. При —>0 условие Слейтера выполнено. Из теоремы Куна-Таккера следует, что найдется множитель Лагранжа X ^ 0, такой, что функция Лагранжа 3(х, X) = и(х) + X (— - ^х) Задачи 1 имеет в точке (хД) производную по х;, не превышающую ноль. Другими словами, мы имеем необходимое условие оптимальности:

du _ ^

дх;(х,Х) < X p

В случае же внутреннего решения (х>0) это условие принимает вид:

Iй; ( х,Х) = X pi.

Можно показать, что двойственная оценка бюджетного ограничения Задачи 1 X представляет собой (в случае внутреннего решения) производную непрямой функ-

- Iv

ции полезности по доходу, т.е. X = |—(р, —).

Замечание. Квазивыпуклость по доходу дифференцируемой непрямой функции полезности и ее строгая монотонность по доходу (которая следует из локальной ненасышаемости предпочтений) гарантируют положительность двойственной оценки ограничения всюду, за исключением не более чем счетного множества точек ее области определения. Таким образом, даже выпуклость предпочтений и их локальная ненасышаемость не гарантируют, вообще говоря, положительность оценки ограничений (положительность предельной полезности дохода при некоторых его уровнях). В ситуации же, когда существует вогнутая функция полезности, представляющая локально ненасыщаемые предпочтения, при любом уровне дохода его предельная полезность всегда положительна.

В большей части следующего ниже материала, который составляет ядро неоклассической теории поведения потребителей, мы, не вполне последовательны и уклоняемся от программы построения теории на основе только свойств предпочтений, часто считая некоторые свойства функций полезности заданными априорно, а не выводя их из характеристик лежащих в их основе предпочтений.

Тесты и задачи для самостоятельного решения

Если функция полезности однородна первой степени, то при увеличении дохода в 2 раза полезность индивидуума

возрастет меньше чем в 2 раза

возрастет в 2 раза

упадет меньше чем в 2 раза

Если функция полезности однородна степени то при увеличении дохода в т раз полезность индивидуума

возрастет в раз

к

возрастет в т раз

возрастет в т раз

Оптимальный выбор потребителя всегда лежит на бюджетной линии если предпочтения

локально ненасыщаемы

выпуклы

вогнуты

Задача потребителя всегда имеет решение, если

цены и доход строго положительны, а функция полезности монотонна

цены строго положительны и функция полезности непрерывна

функция полезности непрерывна

Задача потребителя имеет единственное решение, если

функция полезности вогнута и квазилинейна

функция полезности квазивогнута

функция полезности строго вогнута

Если функция полезности потребителя строго вогнута, то

решение задачи потребителя единственно

все товары потребляются в положительных количествах

предельная полезность денег равна 0

Если предпочтения выпуклы и решение задачи максимизации полезности неединственное, то множество оптимальных решений

может состять из конечного числа точек

не всегда замкнуто

всегда выпукло

8. Спрос потребителя удовлетворяет закону спроса всегда

для нормальных благ

для малоценных благ

для товаров Гиффена

Пусть функция полезности локально ненасыщаема и непрерывна. Какие из нижеприведенных свойств функции спроса выполняются при этих предположениях.

спрос однороден нулевой степени по ценам и доходу

выполняется закон Вальраса

решение задачи единственное

решение внутреннее ¦ 1, 2

1, 2, 3

2, 3

Пусть функция полезности порождена локально ненасыщаемыми, непрерывными предпочтениями. Какие из нижеприведенных свойств характеризуют непрямую функцию полезности.

однородность нулевой степени по ценам

невозрастание по ценам

непрерывность по ценам и доходам

2, 3

1, 2 ¦ 1, 3

11. Непрямая функция полезности

квазивогнута по ценам и доходу

выпукла по ценам и доходу

квазивыпукла по ценам и доходу

Если функция полезности однородна первой степени, то ...

непрямая функция полезности имеет вид a(p)R

непрямая функция полезности имеет вид a(p) +R

непрямая функция полезности имеет вид a(p)R + b(p), b(p)>0

Если функция полезности квазилинейна, то при достаточно большом доходе непрямая функция полезности имеет вид:

a(p)R

a(p)R + b(p)

a(pR) + b(p)R

Если функция полезности потребителя квазилинейна, то непрямая функция полезности

квазивыпукла

линейна

имеет вид Гормана

Какие из нижеприведенных формул верны?

8йх(р,—)р + 8х(р,—)— = 0

8х(р,—)— 9 8йх(р,—)р = 0

8х(р,—9 8йх(р,—)— = 0

Какие из нижеприведенных формул верны?

) Y х(р,—)г = 0Т

) + v(p—f = 0Т

^Dv,—) + х(р,—f = 0Т

Функция спроса потребителя положительно однородна первой степени по доходу и удовлетворяет закону Вальраса. Тогда...

предпочтения гомотетичны

функция спроса удовлетворяет аксиоме выявленных предпочтений

эластичность спроса по доходу равна 1

Если предпочтение гомотетично, то

эластичность спроса по доходу равна 1

эффект дохода отсутствует

потребительский излишек совпадает с компенсирующей вариацией

Пусть в экономике 2 товара. Функция полезности потребителя квазилинейна и первое благо входит в нее линейно. Тогда...

предпочтения потребителя гомотетичны

нарушаются кардинальные свойства функции полезности

эластичность спроса по доходу на первый товар обратно пропорциональна доли дохода затрачиваемой на этот товар

20. Доля средств, расходуемых потребителем на приобретение каждого блага — постоянная (и положительная) доля совокупных расходов потребителя. Максимизацией функции полезности какого класса можно породить такой тип потребительского поведения?

Квазилинейной;

Леонтьевской (ситуация комплементарности благ);

Функцией полезности Кобба-Дугласа

Спрос потребителя на любое благо зависит лишь от относительной цены данного блага и совокупных потребительских расходов. Максимизацией функции полезности какого класса можно породить такой тип потребительского поведения?

Квазилинейной;

Леонтьевской (ситуация комплементарности благ);

Функцией полезности Кобба-Дугласа

Спрос потребителя на первые п-1 благ зависит лишь от относительной цены этих благ. Максимизацией функции полезности какого класса можно породить такой тип потребительского поведения?

Квазилинейной;

Квазилинейной и сепарабельной

Функцией полезности Кобба-Дугласа

Спрос потребителя на первые п -1 благо не зависит от (совокупных) потребительских расходов. Максимизацией функции полезности какого класса можно породить такой тип потребительского поведения?

Квазилинейной;

Сепарабельной

Квазилинейной и сепарабельной

Спрос потребителя на первые п -1 благо зависит лишь от цены данного блага. Максимизацией функции полезности какого класса можно породить такой тип потребительского поведения?

Квазилинейной;

Сепарабельной

Квазилинейной и сепарабельной

Структура спроса потребителя постоянна (отношение величины покупок j блага к величине 1 блага, у=1,..., п). Максимизацией функции полезности какого класса можно породить такой тип потребительского поведения?

Леонтьевской (ситуация комплементарности благ);

Линейной (ситуация вполне заменимых благ).

Функцией полезности Кобба-Дугласа

Пусть функция полезности потребителя имеет вид u(x) = (a%1r + b%2r)lr. Если г ^ 0, то

функция полезности имеет вид u(x)=%1a %2b

функция полезности имеет вид u(x)=%1a + %2b

функция полезности имеет вид u(x)=a%1 + b%2

Пусть функция полезности потребителя имеет вид u(x) = (a%1r + b%2r)lr. Если г ^ 1, то

функция полезности имеет вид u(x)=%1a %2b

функция полезности имеет вид и(х)=%1а + %2Ь

функция полезности имеет вид и(х)=а%1 + 7%2

Пусть функция полезности потребителя имеет вид и(х) = (а%1г + 7%2г)1г. Если г — - то

функция полезности имеет Леонтьевский тип

функция полезности имеет вид функции Кобба-Дугласа

функция полезности линейна

Какая из нижеприведенных функций выступая в качестве функции полезности

дает всегда граничные решения

%1 + %2

22 ¦ %1 + %2

¦ %1 %2

Пусть функция полезности участника имеет вид и(х)= %1 + 1п(%2). Цена первого товара 1, а цена второго товара 2. Потребитель будет потреблять оба товара в положительных количествах, начиная с дохода

1.5

1 ¦ 2

Покажите, что для (выпуклых, локально ненасыщаемых) предпочтений непрямая функция имеет мультипликативную форму а(р)— в том и только том случае, когда (прямая) функция полезности является положительно однородной первой степени.

Покажите, что если функция полезности аддитивно сепарабельна и строго монотонна, то в экономике не будет взаимодополняемых товаров

Покажите, что строгой выпуклости предпочтений недостаточно для справедливости предыдущего утверждения (приведите соответствующий пример).

Покажите, что если функция полезности является однородной первой степени, то непрямая функция полезности ,(р,—) имеет вид ,(р,— ) = а(р) + 7(р)—.

Покажите, что если функция полезности является квазилинейной, то непрямая функция полезности ,(р,—) имеет вид ,(р,— ) = а(р) + 7(р)— для тех значений р и —, при которых оптимальный потребительский набор содержит все блага (в положительных количествах).

В экономике с тремя благами потребитель имеет положительный доход — > 0 и его функции спроса на первое и второе благо равны

%1 = 100 - 5 Р + в ^ +8 w, 1 р Рр р

%2 = а + в р + у ^ +8 W, 2 Рр 'р Р

где а, в, Y, 8 ^ 0.

(а) Объясните, как можно рассчитать спрос не третье благо (вычисления делать не надо).

(б) Являются ли функции спроса для %1 и %2 однородными требуемой степени?

(в) Какие ограничения на параметры а, в, Y, 8 должны выполняться, чтобы данные функции спроса могли быть порождены задачей максимизации полезности.

(г) Используя результаты пункта (в) для фиксированного значения спроса на 3-й товар изобразите кривые безразличия в пространстве (%1, %2).

(д) Что можно сказать о свойствах функции полезности этого потребителя? (Используйте результаты пункта (г).)

Предположим, что функция полезности потребителя зависит лишь от двух благ потребления С и досуга 3, а доход формируется из трудового w(3o - 3) и (экзогенно заданного) нетрудового дохода т. Здесь w — ставка заработной платы и 3o — его общий бюджет (фонд) времени. Покажите на примерах, что даже в том случае, когда досуг (и потребление) — нормальное благо, предложение труда (разность между общим бюджетом времени и спросом на досуг) может убывать при росте ставки заработной платы. Объясните невыполнение "закона спроса" в данной ситуации.

Покажите, что если предпочтения потребителя гомотетичны, то отношение функций спроса на любые два товара не зависит от уровня дохода.

Покажите, что если предпочтения потребителя гомотетичны, то функции спроса удовлетворяют соотношению

d%(p,R) = d*,(p,R) dp dp .

Функция полезности потребителя зависит от потребления некоторого блага % и потребления остальных благ (вектора z) и однородна первой степени. Докажите, что при фиксированных ценах на остальные блага (вектор q) предпочтения потребителя на парах (%, &), где & — сумма денег затрачиваемая на покупку набора z, представимы однородной первой степени "полунепрямой" функцией полезности ((%,&).

Во вводных курсах микроэкономики обычно вводят следующее определение благ-заменителей и комплементарных благ (в терминах функций спроса Маршалла):

д%2

«Благо 1 называется субститутом блага 2, если ^р- < 0». «Благо 1 называется комплементарным для блага 2, если dp > 0».

Покажите, что такое определение ведет к парадоксам. Например, возможна ситуация, когда благо 1 является субститутом блага 2, а обратное неверно. Покажите также, что, аналогичные определения в терминах функции спроса Хикса (приведите их) свободны от парадоксов такого типа.

Покажите, что любой товар Гиффена является малоценным. Справедливо ли обратное?

С какими типами благ мы имеем дело в случае следующих функций полезности:

Кобба-Дугласа, - CES, -Леонтьева,

линейной, - квазилинейной,

аддитивной.

Могут ли все блага быть малоценнными, если предпочтения локально ненасы- щаемы?

Пусть полезность потребителя зависит от двух благ, и первое благо является дискретным (доступные уровни его потребления — целые числа а потребитель имеет квазилинейные предпочтения. При каких ценах на благо 1 потребитель предъявляет спрос на него на уровне 1, 2, ...?

Покажите, что если функция полезности квазилинейна, то непрямая функция полезности — выпуклая функция цен.