1.5. Двойственность в модели потребителя

Выберем в качестве ( достижимое значение полезности (т.е. ( = и(х), х ^ 0) и рассмотрим следующую задачу:

Задача 2

^х — min^

и(х) > (, (2-1)

х > 0. (2-2)

Введем два понятия, связанные с этой задачей.

\ Определение 20.

Согласно определению, для каждого достижимого уровня полезности функция расходов указывает минимальный уровень расходов (дохода), обеспечивающий такой уровень полезности.

Предположим, что решение Задачи 2 единственно при всех значениях цен рассматриваемых благ. Тогда можно определить функцию спроса Хикса, соответствующую данному значению полезности (.

х Определение 21. Функция спроса Хикса h(p,U) сопоставляет заданному / \ уровню полезности U и ценам р потребительский набор, который обеспечивает ^ ^ наименьший уровень расходов.

Заметим, что из определения функций е (p,() и h(p,U) следует, что ph(p,U) = e(p,().

Кроме того, если функция полезности непрерывна, то хиксианский спрос удовлетворяет также равенству

u(h(p,U)) = (, что доказывает следующее утверждение.

Утверждение 17.

Пусть функция полезности и(.) непрерывна.

Тогда если x является решением Задачи 2 при некоторых ценах ^>0 и ( ^ и(0), то u(x) = (.

Доказательство:

Предположим противное. Пусть решение Задачи 2 удовлетворяет условию u(x) > ( > и(0).

Из соотношения u(x) > и(0) следует, что x^0, поэтому, поскольку p > 0, то px >

0.

Рассмотрим два случая: (а) ( = и(0) и (б) ( > и(0).

В ситуации (а) нулевой вектор допустим и стоит меньше, чем 5с, что противоречит оптимальности x.

Рассмотрим теперь случай (б). Так как и(.) непрерывна, то существует а<1, такое что ax допустим (u(ax) ^ (). Но этот набор ax стоит дешевле, чем x, т. е. pax = apx

Утверждение 18 (свойства функции расходов) :

Функция однородна первой степени по ценам:

е (Хр, ( = X е (p, ();

Функция е (p, () — вогнутая функция цен p.

Функция е (p, ( непрерывна.

Функция е (p, () возрастает по (.

Функция е (p, () не убывает по ценам.

Доказательство:

Первый пункт утверждения следует из того, что решения Задачи 2 (потребительский набор минимальной стоимости) при векторе цен р и векторе цен ^р совпадают.

Мы должны показать, что для двух произвольных векторов р и р при 0 < а < 1 выполняется е (ар + (1-а)р2, U) ^ а е (р1, U) + (1 - а) е (р2,и).

Пусть_х — оптимальное решение Задачи 2 при ценах ар + (1 - а)р, тогда (ар1 +

(1 - а)р2) х = е (ар + (1-а)р2, U).

ае (p,U) + (1 - а) е(р,() < (ар1 + ( 1 - а)р2)х = е (ар + (1-а)р, U).

Доказательство непрерывности оставляем читателю в качестве упражнения. Заметим только, что непрерывность следует из того, что (а) функция расходов вогнута как функция цен и (б) любая вогнутая функция непрерывна во внутренности своей области определения.

Доказательство этого пункта подобно доказательству возрастания непрямой функции полезности по доходу и оставляется в качестве самостоятельного упражнения.

Пусть р'^р и рФр. Тогда ^й(р',и) ^ ^A(pU) = е(р,и). Но е(р',и) = рй(р',и) ^

^А(р',и). Заметим, что если й(р',и) > 0, то е(р',и) > е(рЦ). ¦

Решения Задачи 1 и Задачи 2 тесно связаны между собой, что доказывает нижеследующая "теорема двойственности". Некоторые авторы называют этот результат "теоремой взаимности". Этой традиции мы и будем следовать в дальнейшем.

Утверждение 19

Пусть функция полезности локально ненасыщаема. Тогда если х является ре

*

шением Задачи 1, то х является решением Задачи 2 при U = и (х ).

Пусть функция полезности непрерывна. Тогда если х является решением За

* *

дачи 2 с_р>0, то х является решением Задачи 1 при — = ^х .

* *

px < R = p x . Такой набор x может найтись только при x ^0, поскольку в против*

ном случае x — единственное допустимое решение Задачи 1. Тогда, поскольку

*

^>0, то px >0. В силу непрерывности отношения предпочтения найдется а такое,

чтоpx > apx' и U(OX') ^ u(x ). Это противоречит оптимальности x в Задаче 2. ¦

Из доказанной теоремы следует, что в случае, когда предпочтения локально не- насыщаемы и непрерывны, справедливы следующие четыре тождества, которые по сути дела являются соотношениями двойственности для Задач 1 и 2:

v(p, e(p, ()) = (*

e(p, v(p, R)) = R*

x(p, R) = h (p, v(p, R))*

h(p, () = x(p, еО), ()).

Последнее из тождеств, является, по-видимому, самым важным в эмпирических исследованиях потребительского поведения, поскольку связывает наблюдаемый маршаллианский спрос с ненаблюдаемым хиксианским.

В ситуации, когда /=2, маршаллианский спрос — наилучший набор (точка) на данной бюджетной прямой.

Когда хиксианский и маршаллианский спрос не совпадают? В качестве примера можно привести предпочтения с "толстой" кривой безразличия (такие кривые безразличия появятся, например, если взять в качестве функции полезности целую часть какой-нибудь "нормальной" функции полезности). Хиксианский спрос всегда будет лежать (случай двух благ) на левой нижней границе "толстой" кривой безразличия. На рисунке эта граница изображена темной линией. Маршаллианский же спрос может лежать внутри "толстой" кривой безразличия.

хиксианский спрос

Рисунок 4. «Толстая» кривая безразличия

Причина несовпадения заключается в том, что "толстая" кривая безразличия означает отсутствие локальной ненасыщаемости. Таким образом, для того, чтобы гарантировать выполнение равенства >Др,и) = %(р, е(р,Ц)), нужно требовать наличие локальной ненасыщаемости.

Предположим дополнительно, что функции е(р,Ц), v^,—), >(р,и), ) — дифференцируемые функции (т.е соответствующая функция полезности и(.), представляющая данные предпочтения, дважды непрерывно дифференцируема). Тогда выполняются три важных свойства: лемма Шепарда, тождество Роя и уравнение Слуцкого.

Связь между функциями расходов и (хиксианского) спроса описывается леммой Шепарда.

Доказательство:

Учитывая значение этого результата для теории потребления, укажем несколько его обоснований

1. По определению функции расходов е (р,Ц) = р "(р,Ц) VpU. Продифференцировав это тождество по pi, получим соотношение:

де(р,Ц) Э>,(р,и)

Эр = + ^ p Эр ¦

Остается показать, что второе слагаемое равно нулю.

Последнее утверждение стоит проинтерпретировать. Хотя при изменении цен рассматриваемых благ потребитель меняет свое поведение, предпочитая, вообще говоря, другой потребительский набор, при расчете изменения расходов на приобретение нового набора в первом приближении можно не учитывать этого изменение спроса потребителя. Другими словами, новые расходы в первом приближении рассчитываются так, как если бы оптимальный выбор остался неизменным, т.е.

Докажем это утверждение.

Так как h(p,U) — решение Задачи 2, то по теореме Куна-Таккера существует множитель Лагранжа X ограничения (2-1) задачи такой, что

р = X э|

(Напомним, что, как обычно, мы предполагаем, что решение внутреннее.)

n Y 3h,(p,U) . Y Эи Э h,(p,U) 0тсюда Y р эр = X Эр .

В соответствие с определением функции h(.) выполняется тождество и (h(p,U)) = U. Продифференцировав его по р, получим требуемое соотношение Эи д h,(p,U)

• = 0.

Эх,- d р

Другое доказательство этого факта состоит в построении касательной для графика функции расходов.

Обозначимp-i = (р,...,р-1,р+1,...,р). При этом (pi,рг) = p.

*

Пусть p — некоторая точка. Зафиксируем все цены, кроме цены "-го блага p-i =

Ф ___ Ф Ф Ф

p -i . Покажем, что прямая pihi(p ,U) Y YPj hj(p ,U) касается графика функции

Ф Ф Ф Ф

е (р, p -г-,и) в точке р i. Действительно, набор h(p ,U) при ценах p требует минимальных расходов на приобретение из наборов, обеспечивающих полезность U.

При любых других ценах он допустим, но, вообще говоря, не минимизирует рас*

ходы. При ценах (pi,p -г) минимум расходов достигается на потребительской кор*

зине h(pi, p -г-,Ц). Другими словами, справедливо соотношение, которое и устанавливает требуемый результат о касании:

е (pi,p -i,U) = pihipi,p -i,U) Y Ypj hj(pi,p -i, U) Сказанное иллюстрирует нижеприведенный график.

jpihi(p ,U) Y Yy* PJ* h7(p*,U).

r

(расходы)

e (pi,p -i,U)

1) Из леммы Шепарда следует, что по функции расходов всегда можно построить функцию (хиксианского) спроса.

Утверждение 21 (Тождество Роя)

др. ' Э— %г(р,—).

Доказательство:

Для доказательства этого тождества воспользуемся одним из перечисленных

выше тождеств:

для любогор > 0 выполняется соотношение: v(р е (р,и)) = U

Продифференцируем это тождество по р:

dv dv Эе

Эр-(р, е (р,и)) + Э— (р е (р,и)) эр-(р,и) = 0.

Эе

По

лемме Шепарда Эр (р,и) = >-(р,и), следовательно dv dv

Эр-(р,е(р, U)) + d— (р е (р,и))>-(р,и) = 0. Возьмем U ^(р,—).

Воспользуемся тождествами h (р;у(р,—)) = ж (р,—) и е(р, v(^,—)) = —. Из них следует, что верно соотношение dv dv _ "dp(p,—) / Э— (р,—)=%-(р,—).

Утверждение 22 (Уравнение Слуцкого)

Эх. ЭЛ. Эх.

Эр,- Эр,- Э—

Э>- Эх-

Эр, — эффект замены, "Э— х,- — эффект дохода.

Доказательство:

Для доказательства воспользуемся следующим тождеством:

е(р,Ц)) = h(p,U). Продифференцируем это тождество по р:

Эх. „ „ Эх; , , Лч Эе , Л ЭЛ. ,

"Эр- (р е( Y Э— (р е(р',и)) Эр (=эр- (^

Воспользуемся леммой Шепарда (f,^ = >Др,и).

dPj

Если U = v(^,—), то е(р,и) = —, >,(р,и) = х- (р, —).

Следовательно,

Эх ¦ Эх ¦ Э>¦

Эр- (р, —) Y "Э— —) х- (р —) = Эр (р v()).

Устанавливая эти соотношения, мы предполагали, что функции v(^,—) и е(р,и) непрерывно дифференцируемы. Теперь усилим это требование, предположив, что функция расходов дважды непрерывно дифференцируема. Тогда в силу теоремы Юнга (Young) ее смешаные вторые производные совпадают, т.е. j?e, Л Э2е „

эр;эр-!р,U)=эр-эр;(р,U).

Дифференцируя тождество Шепарда, получаем

ЭЛ. „ Л Э>, „ эр (P,U)="эр (^

Используя этот результат и уравнение Слуцкого, имеем Эх. Эх. Эх, Эх,

Эр (р —)+"dZ ( р —) х, ( р —) = эр (р —)+"dZ ( Р —) х. (р —).

Таким образом, мы показали симметричность матрицы Якоби функции расходов, т.е. матрицы, коэффициент а- которой рассчитывается по следующей формуле: Э2е ЭЛ. Эх. Эх. Эр-Эр Эр, Эр, Э— х,

Эту матрицу называют также матрицей коэффициентов замены. Таким образом, матрица коэффициентов замены функции расходов потребителя, выборы которого описываются моделью рационального поведения, всегда симметрична.

Кроме того, поскольку функция расходов е(р,Ц) — вогнутая функция цен, то матрица коэффициентов замены является отрицательно полуопределенной.

Это важные характеристики спроса, порожденного моделью рационального поведения. Они являются не только необходимыми (как мы только что установили), но и достаточными (как покажем далее) условиями того, что некоторая функция цен и уровней полезности является функцией расходов рационального потребителя. Согласно уравнению Слуцкого эти характеристики могут быть выражены в терминах первых частных производных маршаллианского спроса, которые, как предполагается, являются непосредственно наблюдаемыми, что дает возможность проверять согласованность наблюдаемого потребительского поведения с моделью рационального поведения и восстанавливать предпочтения потребителя на основе его рыночного поведения (выборов).

Гесты и задачи для самостоятельного решения

1. Если спрос на товар обладает отрицательным эффектом дохода, то этот товар является

нормальным

малоценным

товаром Гиффена

товар является малоценным тогда и только тогда, когда он — товар Гиффена

товар Гиффена является малоценным товаром

малоценный товар является товаром Гиффена

Какое из нижеприведенных утверждений неверно

в экономике с двумя товарами первый товар субститут второго, но второй не субститут первого

существует предпочтения потребителя, при которых он при любых ценах и доходах потребляет только первый товар

в экономике с двумя товарами оба товара являются товарами Гиффена

Эффект замены отсутствует в случае, если

функция полезности квазилинейна

функция полезности вогнута

блага комплементарные

Эффект дохода отсутствует в случае, если функция полезности

квазилинейна

вогнута

линейна

В экономике 2 товара. Известно, что в матрице замены a11 = -2 и a22 = -1. В этом случае элемент a21 равен

-3

-1.5

не достаточно данных для ответа

Какие из нижеприведенных формул верны?

pDR h(p,R) = 1

pDR x(p,R) = 1

h(p, и) DRX(P,R) = 1

Какое из нижеприведенных определений взаимозаменяемых (взаимодополняемых) благ не ведет к парадоксам следующего типа: благо 1 является субститутом блага 2, однако обратное неверно?

dxt-

благо " называется субститутом блага j если "{р] 0

dhi

благо " называется субститутом блага j если "{р > 0

оба вышеприведенных определения ведут к парадоксам указанного типа

9. Какими из нижеперечисленных свойств обладает функция расходов?

однородна нулевой степени по ценам ¦ однородна нулевой степени по ценам и доходам

3) неубывает по ценам ¦ 1, 2 ¦ 2

3

Какими из нижеперечисленных свойств обладает функция расходов?

выпукла по ценам

строго убывает по уровню полезности и не возрастает по ценам

однородна первой степени по доходу

Какими из нижеперечисленных свойств обладает хиксианский спрос?

однородна нулевой степени по доходу

однородна нулевой степени по ценам

возрастает по ценам и не убывает по доходу

Матрица Якоби хиксианского спроса

положительно полуопределена

симметрична

вырождена

Лемма Шепарда устанавливает связь между...

хиксианским спросом и функцией затрат;

хиксианским и маршалианским спросом;

маршалианским спросом и непрямой функцией полезности.

Тождество Роя устанавливает связь между

хиксианским спросом и функцией затрат;

маршаллианским спросом и непрямой функцией полезности;

хиксианским и маршаллианским спросом.

Уравнение Слуцкого устанавливает связь между ...

хиксианским спросом и функцией затрат;

маршаллианским спросом и непрямой функцией полезности;

хиксианским и маршаллианским спросом.

Какое из нижеприведенных выражений верно

dv , „ч , dv ,

h(p,u)=- _dp(p,R) / "dR(p,R);

/л dh

еф,и) = - dpp,u);

h(p,u) = - d|p(p,u). ¦ dh dx dh T

{р {р dvv dh dx dh T

^ = d— Y ^ x dh dx dx T

¦ ^ = ^ Y d— x

Пусть функция полезности непрерывна, локально ненасыщаема, строго вогнута. Функция хиксианского спроса "(р,М) непрерывно дифференцируема. Какие из нижеприведенных свойств справедливы при этих предположениях?

2

Dph = Dp е(р,и)

Dph — отрицательно полуопределена

Dph — симметрична ¦ 1

¦ 1,2

1,2,3

Если функция полезности имеет вид Гормана, то функция затрат имеет вид

е(р,и) = с(р) + и

е(р,и) = с(р) и + @(р)

е(р,и) = с(р) + @(и)

Если функция полезности однородна первой степени, то ...

функция хиксианского спроса и функция затрат однородны первой степени по уровню полезности

функция хиксианского спроса однородна нулевой степени по уровню полезности

маршалианский спрос однороден нулевой степени по доходу

Целевой функционал взаимной задачи — это...

полезность индивидуума

расходы индивидуума

потребительский излишек

Теорема взаимности устанавливает взаимосвязь между...

решениями задач максимизации полезности и минимизации затрат

хиксианским спросом и непрямой функцией полезности

маршалианским спросом и непрямой функцией полезности

Для выполнения теоремы взаимности функция полезности должна быть...

квазивогнута

квазивогнута и локально ненасыщаема

локально ненасыщаема

h(p,u) = v(p,=(p,u))

x(p,R) = h(p,v(p,R))

=(p,v(P,R)) = R

Какое из нижеприведенных выражений верно

v(p,R) = h(px(p,R))

V{P,=(P,u)) = u

=(p,U) = v^,"^^))

Пусть функция полезности индивидуума имеет вид

x^%2, если x^%2 < 1 u(x) = ] 1, если 1 < x^%2 < 2 x^%2 - 1, если x^x2 ^ 2 Найдите маршалианский и хиксианский спрос. Как при ценах (1, 1) будут выглядеть

кривые Энгеля,

кривые хиксианского спроса в зависимости от полезности?

Покажите, что при росте цен рассматриваемых благ на величину Ap прирост потребления хиксианского спроса Ah удовлетворяет соотношению

Ap Ah < 0.

Предположим, что строго выпуклые строго монотонные предпочтения предста- вимы сепарабельной функцией полезности, причем предельная полезность любого продукта как угодно мала при достаточно больших объемах его потребления. Покажите, что

вальрасовский и хиксианский спрос данного потребителя любой продукт не органичен (т.е. при достаточно низкой цене на продукт спрос на него оказывается выше любой наперед заданной величины;

система функций хиксианского спроса удовлетворяет условию валовой заменимости.

Какова функция затрат и какой тип предпочтений имеет потребитель, если его непрямая функция полезности имеет вид

v(p, r) = А(Р) R .

R R

Покажите, что функция V(PB Р2, R) = ~ + ~ удовлетворяет всем свойствам непрямой функции полезности и вычислите на ее основе функцию затрат и функции спроса (маршалианского и хиксианского).

Найдите непрямые функции полезности и функции затрат для пяти типов предпочтений, задаваемых следующими функциями полезности:

а. Функцией полезности Кобба-Дугласа

u(x) = П x"', ai > 0.

б. Вогнутой аддитивной функцией полезности

п

К*) = ^

i=1

в. Функцией Леонтьева (блага комплементарны)

м(х) $ min{%' /fl.}

г. Линейной функцией (блага вполне заменимы)

п

!(*) = ^

i=1

д. Квазилинейной функцией

п—1

И(*) = ^ aj(%j) + %N.

i=1

Покажите, что для предпочтений предыдущего упражнения непрямая функция полезности и функция расходов взаимно обратны.

Вычислите функцию спроса Маршала и Хикса для функций полезности из упражнения 31 и покажите, что выполняются следующие соотношения

v(p, е(р,()) =

е(р, v (р,—)) = —*

*(р,—) = " (p,v(p,—))*

"(р,() = *(р, е(р,()).

где *(p,—) - функция спроса Маршала, й(р,() - функция спроса Хикса на благо, е(р,() - функция затрат, v (р,—) - непрямая функция полезности.

Проверьте путем прямого вычисления, справедливы ли для функций упражнения 31 тождество Роя и лемма Шепарда, связывающие функцию спроса Хикса и функцию затрат, а также соотношение связывающее непрямую функцию полезности и множитель Лагранжа для задачи потребителя.

Используя теорему об огибающей (см. Математическое приложение) докажите, что

Эе(р, и) >i(p !) = dp .

Используя теорему об огибающей докажите, что др—— ) — значение множителя Лагранжа задачи потребителя.

Пусть А — матрица коэффициентов замены с элементами

д%(р, —) , Э%(р, —) % = Эр + э— —).

Докажите, что = 0.

38. Пусть выполнен закон Вальраса и функция спроса однородна нулевой степени. Пусть, кроме того, в экономике обращается только два товара. Докажите симмет-

ричность матрицы Слуцкого, не делая предположения о максимизации полезности потребителем.

Покажите, что если блага комплементарны, то эффект замены отсутствует, а если предпочтения квазилинейны (для спроса на благо, уровень полезности которого нелинейно зависит от потребления этого блага) то отсутствует эффект дохода.

Вычислите коэффициенты замены для следующих функций полезности:

Кобба-Дугласа, - CES, -Леонтьева,

линейной, - квазилинейной,

аддитивной.

Матрица замены при ценах р = 1, р = 2, р =6 имеет вид -10 ? ?

? -4 ? 3 ? ?

Найдите пропущенные элементы. Может ли эта матрица быть матрицей замены рационального потребителя?