1.6. Интегрируемость функций спроса: восстановление предпочтений

На основе модели рационального поведения, ключевым элементом которой являются предпочтения потребителя, можно построить функции спроса. 0днако сами по себе предпочтения ненаблюдаемы, и чтобы иметь возможность прогнозировать будущий спрос при изменениях цен и дохода, нам необходимо решить обратную задачу: восстановить предпочтения по наблюдаемому спросу.

Предположим, что нам известна система функций спроса xi(p,R). Для восстановления непрямой функции полезности можно прямо воспользоваться тождеством Роя

dv(p,R) , dv(p,R) x^R) = - Эр- [ 3R , рассматривая это тождество как систему дифференциальных уравнений. Если бы мы смогли решить данную систему дифференциальных уравнений, то получили бы непрямую функцию полезности. Знание непрямой функции полезности и системы функций спроса позволяет нам сопоставить каждому потребительскому набору, который может быть выбран как наилучший при некоторых ценах p и доходе R, значение полезности по следующему правилу: u(x(p,R)) = v(p,R).

Однако данное правило задает полезность не всех наборов. Так функции полезности u(x1, x2) = min(2x1 - x2, 2x2 - x1) соответствует функция спроса, для которой x1(p,R) = x2(p,R). Это не позволяет задать полезность для наборов (x1, x2), таких что x1 Ф x2.

Восстановить функцию полезности на множестве потребительских наборов, которые являются оптимальными выборами потребителя при некотрых ценах и доходах, по построенной непрямой функции полезности можно также на основе решения следующей задачи:

v^ —) ^ mfpeR^

рк < —. (#)

При этом в качестве полезности набора х выбираем значение этой задачи — * / и (х) = inf {,(р, —) | ^е М++, ^рх < —}.

В качестве дохода можно взять любое положительное число, например, — = 1. Покажем, что такая процедура корректна, т.е.

Утверждение 23. Пусть и(.) — функция полезности, а v(.,.) — соответствующая ей непрямая функция полезности. Пусть в задаче (#) вектор х — оптимальный потребительский набор при ценах р и доходе —, т.е. х = х(р', —).

Тогда вектор р' является решением задачи (#), и ,(р',—) = и(х).

Утверждение 24. Пусть u(.) — функция полезности, а ,(.,.) — соответствующая ей

*

непрямая функция полезности и пусть u (.) — построена на основе задачи (#) указанным выше способом. Тогда набор x, являющийся решением задачи потребителя

с функцией полезности u(.) при ценах p > 0 и доходе R > 0, является решением за*

дачи потребителя с функцией полезности u (.).

стью до константы интегрирования) искомую функцию v(.) в любой данной точке. Отметим также, что соответствующие интегралы будут равны изменению так называемого потребительского излишка.

Особенно простой задача восстановления предпочтений оказывается, если известно (дополнительно к квазилинейности), что функция полезности сепарабельна, т.е.

/—1

и(%1 ,..., %) = ^Ai (%i) Y %/.

i= 1

Условия первого порядка для задачи потребителя в предположении, что потребитель при рассматриваемых ценах и доходах предъявляет спрос на все блага (х(р, —) > 0), имеют вид

dsj(%j (р)) = р d%i = pi

Если цена последнего блага равна единице, то соотношение

ЭА,(%,- (р)) = d%i = 4

фактически задает обратную функцию спроса р(%г). При этом спрос на каждое благо зависит только от его цены, т.е. % (р) = % (р).

Непрямая функция полезности имеет вид

/—1 /—1

,(р, —) = ^Ai (%i(pi)) + — - ^Pi %i(pi),

г=1 г=1

Из тождества Роя получаем соотношение:

dv, ч , dv, dv, д,г- ч

^ = - др"^, —) / д—* —) = - dPi^, —) = - dP^ ,

где ,г(рг) = Ai (%i(pi)) - р %i(pi), и, следовательно,

-J dP;(*)@* = 1%г(*)@*,

P Pi

Откуда

,г(рг) - limp, ^ ,г(рг) = J%i(*)@*,

pi

или

ViCPi) = J%i(*)@* + const.

Pi

Интеграл в последнем соотношении есть по определению потребительский излишек:

CSi(pi) = J%i(*) d*.

Pi

Отсюда

/—1 /—1 ,(р, —) = ? Vi(pi) Y — = ? CSi(pi) Y — Y const.

г=1 г=1

Можно восстановить также непосредственно прямую функцию полезности, проинтегрировав уравнения условий первого порядка задачи потребителя dsifc- (р-)) = dx- = p

Действительно,

Si (xi) = jp-(*)@* Y Ai(0).

0

Интеграл в этом соотношении является альтернативной формой определения потребительского излишка, поэтому

Si (xi) = CSi(xi) Y Si(0)

и

i-i

u(x1 ,..., xi) = E CSi(xi) Y xi Y const.

В общем случае на основе системы функций спроса естественно восстанавливать так называемую денежную полезность д (q, x).

х Определение 22. Денежная полезность Ii(q, х) — это доход, который тре- / \ буется, чтобы при ценах q потребитель мог бы иметь уровень полезности и(х), т.е. ^

Утверждение 25. Денежная полезность ^(q, x) является функцией полезности,

т.е

[i(q, x) > ^(q, j) о u(x) > u(y).

Доказательство:

По определению д (q, x) = e(q, u(x)). Поэтому утверждение является следствием

возрастания функции расходов по полезности (см. Утверждение 18 (5)). ¦

По аналогии с данным понятием вводится так называемая денежная непрямая полезность.

J Определение 23. Денежная непрямая полезность |±(q-,p,R) — это до- ?

х ход, который требуется, чтобы при ценах q потребитель мог бы иметь тот же уро- ^ \ вень полезности, что и при ценахр, располагая доходом R, т.е. х

Утверждение 26. Денежная непрямая полезность д (q; p,R) является непрямой функции полезности для денежной функции полезности д (q, x).

Доказательство:

По определению денежной непрямой полезности д р —) = ,(р,—)). Кроме того, д (!, х) = =(!, м(х)). Поскольку ,(р,—) = м(х(р,—)), то д (!, х(р,—)) = д (!; р —).

Поскольку д (!; р —) = =(!, ,(р,—)), то верно соотношение

э^ш _ э*^^ _ >(!, ^ =

= %,Мы воспользовались здесь тем, что

др =

и

"(р, () = х(р, е(р, ()). Тем самым мы получили систему дифференциальных уравнений относительно непрямой функции полезности д р —):

^^^ = Xfc д (!* р —)).

К ней следует добавить граничные условия д (р* р —) = —.

Из теории дифференциальных уравнений в частных производных известно, что эта система имеет (локальное) решение тогда и только тогда, когда система функций спроса такова, что матрица

(dqidqjJ'j

симметрична. Это условие, как несложно показать, эквивалентно условию симметричности матрицы коэффициентов замены

'дх Y Эх_ ^ др- + д— XjM .

Если у нас есть некоторая система функций спроса, то мы можем получить решение данных уравнений. Однако, можем ли мы быть уверены в том, что система функций спроса совместима с моделью рационального поведения потребителя, т.е., что существует функция полезности, максимизация которой порождает данную систему функций?

Необходимые условия того, что данная система функций спроса порождена моделью рационального поведения, нам известны:

Система функций спроса X, (р,—) однородна нулевой степени.

Система функций спроса X, (р,—) удовлетворяет закону Вальраса (р, х( р ,—))=— (если предпочтения потребителя локально неасыщаемы).

Матрица коэффициентов замены

чдр + д— X>),J .

является симметричной и отрицательно полуопределенной.

Оказывается, что эти условия являются и достаточными, т.е.

Предположим, что рассматриваемая система функций спроса удовлетворяет этим условиям (мы будем предполагать также дифференцируемость x' (p,R)). Рассмотрим, какие свойства функции д (q; p, R), являющейся решением системы дифференциальных уравнений,

^^^ = xi(q, д (q; p, R)) (##)

с граничными условиями

д (p; p, R ) = R . следуют из этих свойств x (p,R).

Функция д (q; p, R) дифференцируема по q.

Функция д (q; p, R) однородна первой степени по q (поскольку производная функции положительно однородна степени п тогда и только тогда, когда сама функция однородна степени п Y 1).

Функция д (q; p, R) не убывает по q.

Функция д (q; p, R) вогнута по q.

Предположим дополнительно, что решение д (q; p, R) рассматриваемой системы единственно.

Тогда Vq, q' верно соотношение

д (q; p, R) = д (q; p', R) ^ д (q'; p, R) = д (q'; p', R). Поскольку д (q; p, R) непрерывна по q, то это гарантирует выполнение Vq, q' следующего соотношения

д (q; p, R) > д (q; p', R) д (q'; p, R) > д (q'; p', R).

д д (!* ) + ^д (q* )(q'- !).

Поскольку д (q*р,—) однородна первой степени по q то по формуле Эйлера

У?д (q* )q = д (q* )l поэтому для любого q

д (q* ) < V^ (q*)q'. В силу того, что У?д (q*р—) ^ 0, имеем У?д (q*р—) е С(р, —). Отсюда следует, что ттд;еГ(Лд) !Х < У?д (q*Р—)q = д (q*Р,—). Таким образом, получили требуемое равенство д (q* Р,—) = min^e г(р,д) !Х. (2) Из определения множеств C(.) следует, что если д (q* /, — )>д (q* р, —) Vq^O, то С(р, —) с С(р', —).

Приведенное утверждение позволяет построить предпочтения на множестве всех потребительских наборов, реализуемых как спрос. Нестрогое отношение предпочтения задается по следующему правилу:

х(р, —) : х(р', —) о С(р, —) с С(р', —).

Для произвольной точки х е М+ построить функцию полезности по полученной из рассматриваемой системы дифференциальных уравнений (##) функции д (q* р —) можно на основе решения задачи (#), которая в данном случае приобретает следующий вид:

д (q* р —) ^ inf ре

^х < —. (###)

Построенная функция полезности

* / и (.) = inf {д (q* р —) I ^е М++, ^х < — }

будет соответствовать наблюдаемому спросу, на основе которого она получена, что

следует из следующего утверждения.

Утверждение 28. Пусть функция спроса х(р, —) дифференцируема, однородна нулевой степени, удовлетворяет закону Вальраса, матрица коэффициентов замены является симметричной и отрицательно полуопределенной и решение системы (##) единственно, т.е.

д (q* р —) = д (q* р', —) о д (q' * р —) = д (q' * р', —), Vq, q' >>0.

*

Тогда, если и (.) построена на основе задачи (###) при некотором векторе q>O, то

спрос х(р, —) Vp > O, — > 0, является решением задачи потребителя с функцией по*

лезности и (.).

При q = p, используя закон Вальраса, имеем, что

q x(p, R) > д (q'; p, R) V p, q'. Поскольку R = д (p'; p, R), то неравенство p'x(p, R) < R можно переписать в виде p'x(p, R) < д (p'; p, R). С другой стороны, по только что доказанному, p'x(p, R) > д (p'; p, R). Поэтому при p'x(p, R) < R имеем д (p'; p, R) < д (p'; p, R). Поскольку система (##) имеет единственное решение и это решение непрерывно, то отсюда следует, что д (q; p, R) > д (q; p, R).

Используя u (x(p, R)) = д (q; p, R), несложно показать, что u (x(p, R)) > u (x) для

любого набора x, такого что px < R. ¦

Приведенные выше необходимые и достаточные условия интергрируемости позволяют для заданной явно системы функций спроса определить, совместима ли она с моделью рационального поведения потребителя. В ситуации, когда нам доступно лишь конечное число значений функции спроса, полученных на основе наблюдений за фактическим поведения потребителя, проверить совместимость этих наблюдений с моделью рационального поведения позволяет так называемая концепция выявленных предпочтений. Основные ее положения приводятся в следующем параграфе.

Тесты и задачи для самостоятельного решения

Для каждого потребительского набора x и вектора цен p определим функцию m(p, x) как минимальную стоимость потребительского набора, полезность которого не ниже, чем полезность набора x, т.е. как значение следующей задачи:

pz ^ min z u(z) > u(x).

Покажите, что при каждом (положительном) векторе цен p полученная характеристика потребительских наборов представляет собой функцию полезности для соответствующих предпочтений. Дайте графическую интерпретацию процесса ее построения.

Пусть функция u(.) — функция полезности, представляющая строго выпуклые и строго монотонные предпочтения, ,(.) — соответствующая непрямая функция полезности. Покажите, что если u (.) построена на основе задачи (#), то u (x) = u(x) V xeKt+.

Указание: Используйте теорему отделимости (см. доказательство утверждения о восстановлении технологического множества по функции прибыли). Множество 3 (x) = {у |

yy x } можно отделить от точки x. Поскольку предпочтения строго монотонны, то нормаль p к отделяющей гиперплоскости — вектор с положительными коэффициентами. Тогда p — решение задачи (#).

и(х) = U , если 3 U, ^>0, такие что х = Vp е(р, U). и(х) = -го в противном случае Покажите, что е(р, U) — функция затрат для функции полезности и(.).

Пусть функция и(.) — функция полезности, представляющая строго выпуклые и строго монотонные предпочтения, а е(р, U) — соответствующая ей функция затрат, >(р, U) — хиксианская функция спроса, а х(р, —) — маршаллианская функция спроса. Определим множество

Л = {х | 3 U,^>>0: х = Vp е(р, U)}, и функцию и (.) по формуле

и(х) = U , если хе Л, и(х) = -го в противном случае. Пусть е (р, U) — функция затрат, > (р, U) — хиксианская функция спроса, а

*

х (р, —) — маршаллианская функция спроса, соответствующие функции полезности

и*(.).

Покажите, что

*

и (х) = и(х) , хе Л, е*(р, U) = е(р, U), >**(р, U) = >(р, U), х*(р, —) = х(р, —).

Пусть функция е(р, U) дифференцируема, однородна первой степени, не убывает и вогнута по р. Тогда

е(р, U) = min^u) .рх,

где

C(U) = {х^0 |U) V^0}.

Пусть и(х) — функция полезности. Вычислите для нее непрямую функцию полезности, решите задачу (#) и вычислите "восстановленную" функцию полезности

*

и (х). Совпадает ли она с исходной функцией полезности? Решите задачу для следующих функций полезности:

/

а) и(х) = Е a In хк * б) и(х) = min к ак хк*

4=1

в) и(х) = min(2x1 - х2, 2х2 - х1)* г) и(х) = Цх^х2 + хз.

Для функций полезности предыдущей задачи найдите денежную функцию полезности и непрямую денежную функцию полезности.

Для функций полезности предыдущей задачи найдите спрос, восстановите непрямую денежную функцию полезности, решив уравнения (##) и постройте "вос-

*

становленную" функцию полезности и (х) в соответствии с задачей (###). Правильно ли восстановлены исходные предпочтения? Найдите спрос, соответствующий

*

функции полезности и (х). Совпадает ли он с исходным спросом?

9. Предположим, что на рынке обращаются три товара и цена третьего товара равна 1. Функции спроса на первый и второй товар имеют вид x1(p, R) = 6 Y 71р Y р Y @1 рр, x2(p, R) = а2 Y 72р Y с2 р Y @2р р,. Найдите функцию спроса на третий товар в предположении выполнения закона Вальраса. Функция полезности какого вида могла бы породить этот спрос? Какие ограничения на параметры гарантируют, что это функция спроса рационального потребителя?