1.3. Восстановление технологического множества по функции прибыли

Аналог концепции выявленных предпочтений для модели производителя имеет довольно простой вид. Пусть (р', z1) (i = 1,...,/) — последовательность наблюдений: при ценах р1 наблюдался вектор чистого выпуска z'.

Если жер\] < ргг V i, j , то последовательность наблюдений (р'У) (i = 1,...,/) не противоречит гипотезе максимизации прибыли. Технологическое множество, которое порождает такие выборы производителя, может быть построено разными способами. Рассмотрим некоторые из них.

Наиболее простым является вариант, когда технологическое множество, которое при максимизации прибыли порождает такие выборы, состоит только из точек z , т.е.

Zi={z1, z ,...,zI}.

Также можно в качестве технологического множества Z можно взять выпуклую

12 i

оболочку Z2 точек z , z ,...,z (если мы предполагаем, что технологическое множество выпукло). Если мы предполагаем выпуклость и свободу расходования, то в качестве Z можно взять разность между Z2 и к{: Z3 = Z2 - к{. Еще один вариант — пересечение полупространств, отсекаемых соответствующими гиперплоскостями:

Z4= {z Ipz <рЧ, i = 1,...,/ }.

наблюдаем^1м точкам

Все эти варианты для случая /=2 изображены на приведенных ниже рисунках. Прямые, нарисованные пунктиром, изображают цены. Отметим, что Z1 с Z2 с Z3 с Z4.

Рассмотрим некоторую функцию цен п(р). Возникают два вопроса: будет ли она функцией прибыли рационального производителя (т.е функций порожденной максимизацией прибыли на некотором технологическом множестве. И если это так, то как "восстановить" множество Z или его характеристики.

Покажем, что pz может быть вектором цен. Для этого нужно, чтобы он не имел отрицательных компонент.

Рисунок 8. Иллюстрация отделимости

Обсудим сначала вторую проблему, т.е.

Заметим, что существование вектора zeZ, такого что pz > п(р) при некоторых ценах р, противоречило бы гипотезе максимизации прибыли на Z. Объединим все вектора z не противоречащие этому условию при всех неотрицательных р в множество

Zn = 0{z I pz < n(p)} = Hz I pz < п(р) Vp > 0}.

Уместен вопрос: если мы построим по некоторому заданному производственному множеству Z функцию прибыли, а затем по ней построим множество Zn, то совпадут ли множества Z и Zn? Положительный ответ на этот вопрос позволил бы нам восстанавливать технологические множества по наблюдаемому поведению.

В общем случае Z и Zn могут не совпадать, поскольку описанный метод построения Zn порождает выпуклые множества (пересечение полупространств), удовлетворяющее свойству свободы расходования (поскольку берутся только неотрицательные цены), а технологическое множество Z может быть невыпуклым (как на Рис. 7(1) ) или не удовлетворять свойству свободы расходования (как на Рис. 7(1) и (2) ).

Утверждение 10.

Пусть технологическое множество Z замкнуто, выпукло и удовлетворяет свойству свободы расходования. Тогда оно совпадает с порождаемым им множеством Zn.

Предположим, что р<0. Рассмотрим некоторую точку z'eZ и луч z - Хе1 при Х^ О, где е1 — орт (г-я компонента равна 1, а остальные — нули). Этот луч целиком лежит во множестве Z, так как Z удовлетворяет свойству свободы расходования. Величина pz' - Xpi неограничена сверху. Это противоречит тому, что рz > pz Vze Z. Мы пришли к противоречию, поэтомур ^ 0.

Из того, что р > 0 и рz >pz V z eZ, следует, что piz > п(р). Значит, z Ниже на рисунке приведены, примеры ситуаций, когда при нарушении предположений теоремы, ее утверждение (Zn с Z) неверно и, тем самым, невозможно восстановить Z на основе функции прибыли.

Эти точки нельзя

Эти точки нельзя отделить гиперплоскостью с неотрицательным наклоном

Не выполнено условие выпуклости Рисунок 9.

Не выполнено условие свободы расходования

Таким образом, мы показали, что при определенных условиях множества Z и Zn совпадают. В общем случае это неверно и выполняется лишь включение Z с Zn. Максимизация прибыли на Zn порождает некоторую функцию прибыли п*(р). Возникает вопрос о том, как связаны функции п(р) и п*(р).

Покажем, что эти функции совпадают даже в том случае, когда Z и Zn не совпадают, т.е. Zn порождает ту же самую функцию прибыли.

Утверждение 11.

Пусть п(р) — функция прибыли, построенная на основе технологического множества Z, а п*(р) — функция прибыли, построенная на основе множества Zn. Тогда п(р) = п*(р).

Предположим, что для некоторого p оказалось, что n(p) < n*(p). По определению n*(p) существует z е Zn такое, что pz = n*(p), и, следовательно, pz > n(p). Но существование такого z е Zn противоречит определению множества Zn (как множества

тех z, для которых прибыль pz не больше, чем n(p)).

¦

Обсудим теперь первую проблему: как для данной функции n(p) и функции z(p), определить, являются ли они функцией прибыли и функцией предложения рационального производителя?

Понятно, что необходимыми требованиями к функции прибыли являются ее выпуклость, однородность первой степени и непрерывность. Оказывается, что эти условия являются и достаточными для того, чтобы произвольная функция n(p) была функцией прибыли для некоторого технологического множества. В качестве такого множества можно взять рассмотренное выше множество

Zn = {z I pz < n(p) Vp ^ 0}.

Следующий набор утверждений формализует сказанное выше:

Если функция n(p) удовлетворяет набору необходимых условий для функции прибыли, то построенная на ее основе функция z(p) удовлетворяет набору необходимых условий для функции предложения производителя.

Если функция z(p) удовлетворяет набору необходимых условий для функции предложения производителя, то построенная на ее основе функция n(p) удовлетворяет набору необходимых условий для функции прибыли.

Если функция n(p) удовлетворяет набору необходимых условий для функции прибыли, то существует технологическое множество, порождающее n(p) как функцию прибыли.

Перечислим упомянутые необходимые условия. Для удобства доказательства потребуем дополнительно, что n(p) является дважды непрерывно дифференцируемой, а z(p) — непрерывно дифференцируемой.

Условия на функцию n(p):

(А1) положительная однородность первой степени;

(А2) выпуклость;

(АЗ) п(.) дважды непрерывно дифференцируема (более сильное условие, чем требуется).

Условия на функцию z(p):

(В1) положительно однородна нулевой степени,

(В2) матрица производных М = {Эzj/Эpk} существует и непрерывна, положительно полуопределена и симметрична.

Сформулируем приведенный выше набор неформальных утверждений как теорему.

Утверждение 12.

Пусть

/ л dn(p) zk(p) = dp ,

где функция n(p) удовлетворяет условиям (А1), (А2), (АЗ).

Тогда z(p) = (zi(p),...,z/(p)) удовлетворяет условиям (В1), (В2) налагаемым на функцию спроса-предложения производителя.

Пусть функция z(p) удовлетворяет условиям (В1), (В2).

Тогда функция n(p) = pz(p) удовлетворяет условиям (А1), (А2), (АЗ).

Пусть функция n(p) удовлетворяет условиям (А1), (А2), (АЗ).

Доказательство:

(А1)-(АЗ) ^ (В1)-(В2).

Поскольку функция n(p) однородна первой степени, то ее производная z(p) однородна нулевой степени.

Непрерывная дифференцируемость z(p) следует из дважды непрерывной диффе- ренцируемости функции n(p).

Матрица вторых производных любой дважды непрерывно дифференцируемой функции симметрична. Применяя это свойство к функции n(p) имеем,

Э2п = Э2п дрдр dpdp/

Матрица вторых производных функции n(p) есть матрица первых производных функции z(p). Поэтому

dzL_ dzk дрк др/

Положительная полуопределенность матрицы вторых производных (то есть х MX ^ 0, Vxe М") — необходимый (и достаточный) признак выпуклости любой дважды дифференцируемой функции.

(В1)-(В2) ^ (А1)-(АЗ).

Продифференцируем n(p) = pz(p) = Еpкzк(p) по р:

dn(p) ' dz-(p) ' dzk(p)

dp = zk(p+Еpi дрк = zk(p A 5 p dPi.

Второе равенство - следствие симметричности производных функции z(p). Так как z(p) — положительно однородна нулевой степени, то по закону Эйлера

Таким образом,

Е dzk(p) п Е р др- = 0.

dn(p) ( ,

др = ^

Далее воспроизводим доказательство пункта (1) в обратном порядке.

(3)

Обозначим

z(p) = VX„).

Так как п(р) — однородная первой степени функция и z(p) — ее градиент, то по закону Эйлера

п(р) = pz(p).

Посколькуpz(p) = п(р), то в точке z(p) при данных ценах р величина pz(p) всегда не меньше, чем pz в любой точке z e Zn. Если мы докажем, что при любых ценах р ^ 0 точка z(p) принадлежит множеству Zn = {z | р'z ^ п(р' V р/ ^ 0J, то тем самым мы докажем, что п(р) есть функция прибыли, соответствующая технологическому множеству Zn.

То есть нам требуется показать, чтоp'z(p) < п(р' Vр,р'> 0. График всякой выпуклой непрерывно дифференцируемой функция у(х) лежит выше своей касательной, т.е. выполняется соотношение: у(х' ^ у(х) + V у(х) (х' - Л;). Так как п(р) — выпуклая непрерывно дифференцируемая функция, то

п(р' > п(р) + Vn(p) (р'-р). Поскольку Vn(p) = z(p) и pz(p) = п(р), получаем требуемое для доказательства утверждения соотношение

Пр' > п(р) + z(p) (р'-р) = z(p)р'

¦

Тесты и задачи для самостоятельного решения

Известно, что при ценах (1, 2) производитель выбрал вектор выпуска (1, -1), а при ценах (2, 1) — вектор выпуска (-1, 1). Совместимо ли это с максимизацией прибыли?

Известно, что при ценах (3, 2) производитель выбрал вектор выпуска (2, -1), а при ценах (2, 3) — вектор выпуска (1, -2). Совместимо ли это с максимизацией прибыли?

Известно, что при ценах (1, 4) производитель выбрал вектор выпуска (-4, 3), при ценах (1, 1) — вектор выпуска (0, 0), а при ценах (2, 1) — вектор выпуска (3, -4). Можно ли гарантировать, что вектор выпуска (-1, 2) не принадлежит множеству допустимых технологий?

Известно, что при ценах (1, 4) производитель выбрал вектор выпуска (-4, 3), при ценах (1, 1) — вектор выпуска (0, 0), а при ценах (2, 1) — вектор выпуска (3, -4). Можно ли гарантировать, что вектор выпуска (-9, 4) не принадлежит множеству допустимых технологий?

Сформулируйте аксиому выявленных предпочтений для модели производителя. Докажите, что если технологическое множество описывается строго вогнутой производственной функцией, то выбор производителя удовлетворяет аксиоме выявленных предпочтений.

Покажите, что выполняется соотношение Ару Ay - Aw Ах ^ 0.

Известно, что спрос потребителя удовлетворяет закону спроса только в случае благ, не являющихся товарами Гиффена, а спрос на факторы производства удовлетворяет закону спроса всегда. Какие особенно моделей рационального поведения производителя и потребителя предопределяют такие особенности их поведения?

Пусть функция прибыли производителя имеет вид

n(p) = Mlnр - О + pi.

Проверьте, что эта функция удовлетворяет свойствам функции прибыли. Восстановите по функции прибыли соответствующее ей технологическое множество.

Пусть функция прибыли производителя имеет вид

n(py,w) = ру~ ("W"")1-" - w" (руа)~

Проверьте, что эта функция удовлетворяет свойствам функции прибыли. Найдите функцию спроса. Восстановите по функции прибыли соответствующее ей технологическое множество.