4.4.3 Восстановление множества требуемых затрат

Построим по функции издержек c(w, y) при некотором фиксированном объеме производства следующее множество:

Vc(y) = { r | wr ^ c(w, y) Vw ^ 0 } .

При любом векторе выпуска y это множество является выпуклым по построению.

Vc(y) = Vc(y) + R+, (Ш)

т. е. если r принадлежит множеству VC(y) и r' ^ r, то r' также принадлежит множеству Vc(y).

Ясно, что множество требуемых затрат V(y) и рассматриваемое нами сножество VC(y) могут не совпадать, если само исходное множество V(y) не является выпуклым или монотонным???. Теорема 60:

Пусть V(y) выпуклое и удовлетворяющее свойству свободы расходования (Ш) множество. Тогда V(y) = Vc(y). J

Доказательство: Доказательство этого утверждения оставляется читателю в качестве упражнения. ?

Отметим, что даже если множества V(y) и VC(y) не совпадают друг с другом, это различие несущественно с точки зрения описания поведения производителя, поскольку VC(y) порождает ту же самую функцию издержек, что и V (y).

Теорема 61:

Пусть c*(w, y) - решение задачи

wr ^ min

r

r e Vc(y).

Тогда c*(w, y) = c(w, y). J

Доказательство: Доказательство этого утверждения оставляется читателю в качестве упражнения. ?

Заметим, что два эти утверждения - аналоги соответствующих результатов относительно связи Y и Yn, n(p) и n*(p).

Это утверждение обосновывает возможность получения некоторого множества допустимых затрат VC(y), порождающего функцию издержек c(w, y). Но совпадение VC(y) и V(y) возможно только в том случае, когда V(y) удовлетворяет предположениям выпуклости и монотонности. Практический способ восстановления V(?) читатель может сконструировать сам.