4.4.1 Множество требуемых затрат

Определение 40:

Для каждого вектора выпуска y множество требуемых затрат V(y) - это множество векторов затрат, обеспечивающих этот выпуск при данном технологическом множестве Y, т.

V(y) = { r | (-r, y) e Y } .

Из предполагаемых свойств Y вытекают некоторые свойства множества V (y) и соответствующего отображения V(?):

Из выпуклости Y следует выпуклость множеств V (y):

Из свободы расходования для Y следует свобода расходования для множеств V(y) :

r e V(y), r' ^ r ^ r' e V(y).

Заметим, что обратное, вообще говоря, неверно.

Обычно предполагается монотонность отображения V(?), т. е. вложенность множеств V(y):

y < y' ^ V(y') С V(y).

Множества V(y), как и Y, в предположении свободного расходования можно строить по производственной функции:

V(y) = { r | f (r) ^ y } .

Обратно, в случае однопродуктовой технологии (y e R) можно определить на основе V(?) производственную функцию следующим образом:

f (r) = max y.

y: r€V(y)

Рис. 4.11. Монотонность V(?)

Теорема 56:

Если отображение V(?) монотонно, то соответствующая производственная функция монотонна, а если к тому же множества V(y) выпуклы, то она квазивогнута. J

Доказательство: Доказательство этого утверждения оставляется читателю в качестве упражнения. ?

В терминах множеств V(y) можно определить изокванты для данной технологии

Q(y) = { r e V(y) | r e V(y'), Vy' > y } .

Это множество таких векторов затрат r, которые позволяют произвести y, но не позволяют произвести больше y. Таким образом, изокванта Q(y) - это граница множества V(y).

Например, для производственной функции Кобба- Дугласа с двумя видами затрат имеем

Y = { (-rI, - r2,y) | y < r1r1-a } , V(y) = { (Г1,Г2) | y < rari-a } , Q(y) = { (r I,r2) | У = r?r2-A } .

Напомним, что через w мы обозначили цены затрачиваемых ресурсов (часть общего вектора цен p, соответствующая -r).