4.4.2 Функция издержек

По аналогии с Задачей 3 рассмотрим следующую задачу Задача 4.

wr ^ min

r

r e V(y).

Обозначим множество цен факторов, на котором существует решение Задачи 4 при объеме выпуска y, через W (y).

Определение 41:

Функция издержек c(w, y) - это значение целевой функции Задачи 4; для каждого вектора выпуска y и вектора цен факторов w e W(y) она указывает минимальную величину издержек, при которых в соответствии с данной технологией можно произвести y.

Рис.

Если технологическое множество задано производственной функцией y ^ f (r), то Задача 4 примет вид:

wr ^ min

r

y < f(r).

Функция издержек обладает следующими свойствами.

Теорема 57 ((Свойства функции издержек c(w, y) выпуклой технологии)):

Функция издержек c(w, у)

положительно однородна первой степени по ценам факторов:

c(Aw,у) = Ac(w,у) Уу, yw е W(у);

монотонна по ценам факторов и выпуску при ????;

вогнута по ценам на любом выпуклом подмножестве множества W(у);

непрерывна по ценам на внутренности множества W(у), int W(у). J

Доказательство: Доказательство свойств (1), (3) и (4) аналогично приводимым ранее и оставляется читателю в качестве упражнения.

Докажем только монотонность функции издержек.

w' w ^ c(w',у) > c(w,у) yw, w' е W(у).

Пусть r > 0 - оптимальные затраты при ценах факторов w и выпуске у, т. е. wr = c(w, у). Из w' w, следует, что c(w, у) = wr < w'r ^ c(w', у). ?

В дальнейшем нам понадобится также понятие функции условного спроса. Определение 42:

Функция условного спроса на факторы производства r(w, у) есть оптимальное решение Задачи 4 при выпуске у и ценах факторов w.

Заметим, что функция издержек и функция условного спроса на факторы производства определены для любого непустого замкнутого технологического множества Y.

Теорема 58 ((Свойства функции условного спроса на факторы)):

Функция условного спроса на факторы производства r(w, у) однородна нулевой степени как функция цен факторов производства w.

Если множество V(у) строго выпукло, то r(w, у) - однозначная непрерывная функция w. J

Доказательство: Доказательство этого утверждения аналогично приводимым ранее и оставляется читателю в качестве упражнения. ?

Если, кроме того, функция издержек дифференцируема, то верна следующая лемма Шепарда, связывающая издержки и функцию условного спроса на факторы.

Теорема 59:

Пусть функция издержек дифференцируема по ценам факторов при объеме производства у .

Тогда для всех w е int W (у) выполнено

dc(w, у)

о = ri(w, у)

dwi

или

Vw c(w, у) = r(w, у). J

Доказательство: Зафиксируем цены факторов на уровне w е int W(у). Введем функцию на W (у):

Y (w) = c(w, у) - wr(w, у).

По определению функции издержек и функции условного спроса Y(W) достигает максимума, равного нулю, в точке w:

Y(w) ^ 0 и Y(w) = 0.

Если функция издержек дифференцируема по ценам факторов, то функция Y(') тоже дифференцируема.

VY (w) = Vw c(w, у) - r(w, у) = 0. ?

Как было указано выше, использование функции издержек позволяет рассматривать максимизацию прибыли как двухэтапную процедуру. На первом этапе по данной технологии и соответствующему множеству требуемых затрат строится функция издержек. На втором этапе решается задача выбора объема производства, максимизирующего прибыль, которая в этом случае рассчитывается как разница между выручкой и издержками:

ру - c(w, у) ^ min .

o

Здесь через р мы обозначили цены продукции, а через Yo - те объемы производства, которые допустимы при данном технологическом множестве (существуют затраты, которые вместе с у составляют допустимую технологию):

Yo = { у | 3r : (-r, у) е Y } .

Это один из вариантов записи задачи производителя. Если функция издержек дифференцируема, и решение рассматриваемой задачи, у, является внутренним (т. е. у е int Yo), то оно характеризуется следующим условием первого порядка:

dc(w, у)

-о = Pk Ук,

dyk

или, в векторной записи,

Vyc(w, У) = р.

Таким образом, оптимальный выпуск характеризуется тем, что предельные издержки равны цене.

На основе решения рассматриваемой задачи можно построить функцию (отображение) предложения. Она указывает оптимальный объем выпуска y как функцию цен продукции p и цен факторов w .

Обычно функции издержек используют в моделях частного равновесия (моделях квазилинейных экономик).