Приложение Б. Анализ эмпирических свойств динамики функции трансакционных издержек

Как было показано выше, функция трансакционных издержек θ(t, v)допускает малопараметрическую аппроксимацию вида

Можно непосредственно показать, что статический снимок функции действительно имеет схожую форму везде, кроме дальнего хвоста (сверхбольшие объемы) и иногда небольшой области в начале книги лимитированных заявок (малые объемы в районе лучших котировок на покупку и продажу).

Для корректной постановки задачи о ликвидации портфеля важным вопросом является динамика коэффициентов a(t) и b(t). Исходя из физического смысла функции издержек, предполагаем следующее:

- a(t) и b(t) являются случайными диффузионными процессами. Это объясняется наличием на рынке большого числа участников, выставляющих/снимающих (согласно нашей интерпретации)

заявки со случайными параметрами (цена, объем) независимо друг от друга;

- a(t)и b(t)являются стацинарными процессами в силу стационарности рынка на рассматриваемом интервале времени (основное предположение всего подхода);

- a(t) и b(t) обладают непрерывными траекториями.

- a(t) и b(t) являются марковскими процессами. Если брать данные с не очень большой частотой (с поправкой на микроструктурный шум), то функция издержек будет «забывать» свое прошлое и значение в следующий момент будет зависеть в основном от значения в предыдущий. Графики автокорреляционной функции коэффициентов подтверждают это предположение.

- a(t) и b(t) являются гауссовскими процессами. Это

предположение необоснованно и требует подтверждения на реальных данных. В данном случае оно введено для простоты.

Известно, что единственным нетривиальным стационарным, марковским, гауссовским процессом является процесс Орнштейна-

1 86

Уленбека. Одним из свойств данного процесса является непрерывность траекторий. Таким образом, при сделанных предположениях процессы a(t)и b(t) обязаны быть процессами Орнштейна-Уленбека. Аналогом данного процесса в дискретном времени является процесс авторегрессии первого порядка AR(1). Таким образом, предлагается задавать динамику коэффициентов функции издержек уравнениями вида:

Было замечено, что процессы a(t) и b(t) не являются независимыми, т.е. (ξ_t ,η_t) ≠ 0. Более того, во многих случаях

корреляция рядов достигает порядка 0,7-0,9, что наводит на мысль о линейной зависимости коэффициентов, хотя бы в некотором приближении. Можно математически обосновать наличие линейной зависимости коэффициентов, а также показать, в каких случаях зависимость проявляется в большей степени.

Рис. Б.1 - Пример траектории процессов a(t) и b(t) для акций ОАО «Лу­койл».

Рис. Б.2 - Кросскорреляция a(t) и b(t) для акций ОАО «Лукойл».

Прежде чем перейти к исследованию динамики функции издержек, рассмотрим более точную с микроструктурной точки зрения параметризацию функции издержек, обобщающую (Б.1). Все полученные результаты сохраняются для обеих форм.

Для задачи рациональной ликвидации портфеля достаточно параметризации вида (Б.1), но при более детальном микроструктурном исследовании она может оказаться неподходящей. Для дальнейших рассуждений вводится функция π(t, v), равная издержкам при покупке/продаже дополнительной единицы товара при условии, что уже реализован объем v(рассматриваемые сделки происходят в один момент времени, т.е. берется статический снимок книги лимитированных заявок). Пусть, например, в момент t₀ доступны заявки на продажу, представленные в таблице Б.1.

Таблица Б.1 - Заявки на продажу.

Рыночной ценой считается $100.

π(t₀,30) = $1; π(t₀,90) = S1.7 и т.д. Данная функция связана с функцией трансакционных издержек:

Из физического смысла π(t, v)следует, что, как функция объема, она кусочно постоянна и непрерывна слева. Также очевидно, что при малых δv

цена лучшей заявки - рыночная цена > 0.

Это свойство не выполняется при параметризации функции издержек с помощью функции (Б.1):

т.е. данная параметризация не может отражать свойств функции добавочных удельных издержек π(t, v)по построению (стремится к нулю при нулевом объеме, хотя должна стремиться к положительной константе). Вследствие этого предлагается более гибкая параметризация:

в которой c(t) имеет смысл данной предельной константы:

Новая параметризация допускает также следующую интерпретацию параметров: коэффициенты a(t),b(t) отвечают за структуру цен в стакане безотносительно рыночной цены, c(t) отвечает за общий уровень цен стакана относительно рыночной цены. В самом деле, пусть p_buy (t, v) имеет смысл, аналогичный p(t, v), но в терминах не издержек, а цен: стоимость дополнительной единицы товара при условии, что уже реализовали объем v; обозначим рыночную цену ~(t). Тогда

Если за рассматриваемый интервал временистакан не

изменялся, а изменилась лишь рыночная цена, то

Расписывая формулу (Б.8) подробно, по методу неопределенных коэффициентов получим следующий результат для изменений коэффициентов:

Значит, изменяется лишь c(t), параметры a(t), b(t) неизменны,

т.к. структура стакана не менялась. К сожалению, нельзя сказать, что одни параметры влияют только на структуру, другие - исключительнона уровень, так как и структура, и рыночная цена меняются одновременно. Тем не менее, можно говорить о том, что некоторые параметры отражают преимущественно структуру, а некоторые - преимущественно цену.