1.4. Функция издержек и ее свойства

Итак, мы изучили основные свойства модели рационального поведения производителя. По причинам, которые станут ясны из дальнейшего, в микроэкономике утвердилась традиция описывать технологию посредством функции издержек.

Пусть, как и ранее, у — вектор выпуска, а х — вектор затрат на ее производство.

\ Определение 4. /

^ Для каждого вектора выпуска у МНОЖеСТВО требуемых Затрат V(y) — это / \ множество векторов затрат, обеспечивающих этот выпуск при данном технологи- / \ ческом множестве Z, т.е. /

Из предполагаемых свойств Z вытекают некоторые свойства множества У(у) и соответствующего отображения F(.):

1. Из выпуклости Z следует выпуклость множеств F(y):

2. Из свободы расходования для Z следует свобода расходования для множеств

V(y):

хе V(y), х' > х ^х'е V(y). Заметим, что обратное, вообще говоря, неверно.

Рисунок 10. Монотонность V(.)

Обычно предполагается монотонность отображения V(.), т. е. вложенность множеств V(.):

У <У ^V(y') с V(y).

Множества V(y), как и Z, в предположении свободного расходования можно строить по производственной функции: V(y) = {х | f (х) > у}.

Обратно, в случае однопродуктовой технологии (у е К), можно определить на основе V(.) производственную функцию следующим образом:

Ах) = max ухеПу).

Утверждение 13.

Если отображение V(.) монотонно, то соответствующая производственная функция монотонна, а если к тому же множества V(y) выпуклы, то она квазивогнута.

Доказательство:

Доказательство этого утверждения оставляется читателю в качестве упражнения.

В терминах множеств V(y) можно определить ИЗОКВЭНТЫ для данной технологии

Q(y) = { xeV(y) | х g V(y'), V y'>y }.

Это множество таких векторов затрат х, которые позволяют произвести у, но не позволяют произвести больше у.

Например, для производственной функции Кобба-Дугласа с двумя видами затрат имеем

Z={(-X\,-X2,y) | у^хАг1"}

V(y)={(XbX2) I у^Х1аХ2~а}

Q(y)={(xi,X2) | y=XiaX21_a}

Напомним, что через w мы обозначаем цены затрачиваемых ресурсов (часть общего вектора цен p, соответствующая -х).

По аналогии с Задачей 3 рассмотрим следующую задачу

Задача 4.

wx ^ min * е V(y).

\ Определение 5. ;

х ФунКЦИЯ издержек c(w,y) — значение целевой функции Задачи 4 — для ка- / \ ждого вектора цен w и выпуска у указывает минимальную величину издержек, при ^ ^ которых в соответствие с данной технологией можно произвести у.

Если технология задана производственной функцией у < Дх), то Задача 4 примет вид:

wx ^ min У = Дх).

Утверждение 14. (Свойства функции издержек c(w, у) выпуклой технологии)

c(w, j) положительно однородна первой степени по ценам факторов:

c(Xw, у) = X c(w, у).

Монотонна по ценам факторов и выпуску.

Вогнута по ценам (поточечный максимум вогнутых функций).

Непрерывна.

Доказательство:

Доказательство этого утверждения аналогично приводимым ранее и оставляется читателю в качестве упражнения.

В дальнейшем нам понадобится также понятие функции условного спроса. ^ Определение 6. /

Функция УСЛОВНОГО спроса на факторы производства x(w, у) есть оптимальное решение Задачи 4.

"///////////////////////////////////////////////////////////////////////У/

Заметим, что функция издержек и функция условного спроса на факторы производства определены для любой технологии (непустого замкнутого множества Z).

Утверждение 15. (Свойства функции x(w, у))

Функция x(w, j) однородна нулевой степени как функция цен факторов производства.

Если множество V(y) строго выпукло, то x(w, j) — однозначная непрерывная функция w.

Доказательство:

Доказательство этого утверждения аналогично приводимым ранее и оставляется читателю в качестве упражнения.

Если кроме того функция издержек дифференцируема, то верна лемма Шеп- парда:

Утверждение 16.

Пусть х — вектор условного спроса на факторы производства при ценах w , когда требуется произвести у.

Mwlii = * = X *

dwi XI(w ,У) X .

или

Vc(w*, j) = x* ,

Доказательство:

*

Введем функцию "(w) = c(w, j) - wx .

По определению функции издержек функция "(w) достигает максимума в точке

*

w:

"(w) < 0. "(w*) = 0.

Если функция издержек дифференцируема, то " тоже дифференцируема. Если точка оптимума внутренняя (w*>0), то по условию первого порядка максимума градиент ее должен быть равен нулю:

V"(w*) = 0 ^ Vc(w*, j) = х*.

Построим по функции издержек c(w, j) при некотором фиксированном объеме производства следующее множество:

Vc(y):={x | wx > c(w, j) Vw^0}.

При любом векторе выпуска у это множество является выпуклым по построению. Так как цены неотрицательны, то выполняется также следующее свойство, которое можно называть свойством свободы расходования ресурсов:

Vc(y) = V (у) + ()

т.е. если x принадлежит множеству Vc(y) и x' ^ x, то x' также принадлежит множеству Fc(y).

Ясно, что множество требуемых затрат V(y) и Vc(y) могут не совпадать, если само исходное множество допустимых затрат V(y) не является выпуклым или монотонным.

Утверждение 17.

Пусть V(y) выпуклое и монотонное (удовлетворяющее свойству (*)) множество. Тогда V(y) = Vc (у).

Доказательство:

Доказательство этого утверждения оставляется читателю в качестве упражнения. ¦

Отметим, что даже если множества V(y) и Vc(y) не совпадают друг с другом, это различие не существенно с точки зрения описания поведения производителя, поскольку Vc(y) порождает ту же самую функцию издержек, что и V(y).

Утверждение 18.

Пусть c (w,y) — решение задачи wx^min* * xe Vc (у).

Тогда c*(w,y)=c(w, j).

Доказательство:

Доказательство этого утверждения оставляется читателю в качестве упражнения.

¦

Заметим, что два эти утверждения — аналоги соответствующих результатов относительно связи Zи Z , я(р) и п*(р).

Это утверждение обосновывает возможность получения некоторого множества допустимых затрат Vc(y), порождающего функцию издержек c(w,y). Но совпадение Vc(y) и V(y) возможно только в том случае, когда V(y) удовлетворяет предположениям выпуклости и монотонности.

В заключение укажем на связь между двумя типами кривых: изоквантами в пространстве возможных издержек, определяемыми уравнениями типа f(x) = у при разных у и изокостами в пространстве возможных цен, определяемыми формулами типа c(w,y)=const.

Для наглядности рассмотрим случай двух производственных факторов. Тогда при монотонной технологии можно рассматривать изокванту как функцию x2(xi), а изокосту — как функцию W2(w1). Эти зависимости задаются соответствующими соотношениями, определяющими их как неявные функции.

Из определения изокосты имеем

c(w\+dw\, W2+dW2, У) = c(wi, W2, у) или

Тогда

*

dw2 dwi xi

dwi dc X2*W,y) X2

Аналогично получим соотношение для изокванты

dm.

dx2 dxi w1

dxi df (v) W2'

dx2

Эти соотношения двойственности показывают, что чем больше кривизна изокосты, тем меньше кривизна изокванты, и наоборот' Действительно, на графиках видно, что если две точки, v и v одного графика далеки друг от друга, а их касательные близки (малая кривизна, то есть сильная взаимозаменяемость затрат в производстве), то в двойственном графике соответствующие точки w, w будут характеризоваться, наоборот, близким положением, но сильно отличающимися касательными'

Рисунок 12

При полной взаимозаменяемости затрат любой структуре затрат соответствует одна и та же структура цен (см' рис ниже)' Таким образом, структура цен не определяет однозначно структуру затрат' W i X 1 X1

Множество производных Кривая спроса

X 1 Xi

В любой точке отрезка

производная одна и та же одной точке

Рисунок 13

И наоборот, если затраты жестко взаимодополняемы, то цены, при которых эти затраты минимизирую издержки, определяются неоднозначно.

W 2

W 2

W 1

W 1 W1

Рисунок 14. Ситуация, обратная предыдущей

Еще один «нерегулярный» случай— невыпуклость IRS — иллюстрирует нижеследующий рисунок.

При разных векторах цен w один и тот же x.

3. Тесты и задачи для самостоятельного решения

1/2 3/4

Функция c(y,w)= у (w1w2) является функцией издержек для некоторой технологии

Да

Нет

Недостаточно информации

1/2

Функция c(y,w)= (у + 1/y)(w1w2) является функцией издержек для некоторой технологии

Да

Нет

Недостаточно информации

1/2

Функция c(y,w)= y(w1 - (w1w2) + w2) является функцией издержек для некоторой технологии

Да

Нет

Недостаточно информации

Функция c(y,w)= y(w1 + w2) является функцией издержек для некоторой технологии

Да

Нет

Недостаточно информации

Функция c(y,w)= у min{w1, w2J является функцией издержек для некоторой технологии

Да

Нет

Недостаточно информации

Функция c(y,w)= у(а w1 + b w2) является функцией издержек для некоторой технологии

При положительных коэффициентах а и b

Если а равно b

При любых коэффициентах а и b данная функция не является функцией издержек для некоторой технологии

Функция c(y,w)= у min{a wi, b w2J является функцией издержек для некоторой технологии

При положительных коэффициентах а и b

Если а равно b

При любых коэффициентах а и b данная функция не является функцией издержек для некоторой технологии

Функция c(y,w)= у w\ w2 является функцией издержек для некоторой технологии

Если сумма а+b меньше или равна единицы

При положительных коэффициентах а и b и если сумма а+b меньше или равна единице

При положительных коэффициентах а и b и если сумма а+b больше единицы

Множество требуемых ресурсов на производство объема у задается неравенством

ах1 + bx2 > у при а^О. Какой вид имеет соответствующая производственная функция?

Найдите функции издержек для следующих производственных функций:

а. f (ж) = П XI', а > 0.

п

б. f (ж) = X а1ХР

i=i

в. / (ж) = min{x- /а.}

п

г. f (ж) = X ал-.

i=i

Предположим, что предприятие имеет строго вогнутую производственную функцию Дж). Рассмотрим следующие две задачи:

wж ^ min X Дж) ^ max X

У* < Лж) < c*

Докажите следующие два утверждения:

**

Пусть ж является решением первой задачи. Тогда ж является решением второй задачи при c = жк .

**

Пусть ж является решением второй задачи. Тогда ж является решением пер

**

вой задачи при у = !"(ж ).

Предположим, что предприятие со строго вогнутой производственной функцией f(x) имеет функцию издержек c(w, у). Докажите, что оптимальный объем производство в следующих двух задачах совпадает

руу - wx ^ max УгХ руу - c(w,y) ^ max х

У < fix)

Доказать, что если функция издержек выпукла, то производителю выгоднее производить продукцию, чем закрыться (производить нулевой объем).

Докажите Утверждение 13.

Докажите Утверждение 14.

Докажите Утверждение 15.

Докажите Утверждение 17.

Докажите Утверждение 18.

Пусть функция издержек строго вогнута, и, кроме того, С(0) = 0. Докажите, что данная функция издержек была порождена производственной функцией, которая в точках оптимального выбора производителя характеризуется возрастающей отдачей от масштаба.

Для технологии, описываемой производственной функцией f(x) = ха, вычислите функцию издержек. Покажите, что функция издержек однородна по цене фактора производства и выпукла по выпуску (у).

Показать, что если производственная функция квазивогнута и обладает постоянной отдачей от масштаба, то функция предельных издержек не убывает по выпуску.

Множество требуемых ресурсов на производство объема у задается неравенством

ах1 + Ьх2 ^ у при а,Ь>0. Постройте функцию издержек.

Покажите, что издержки фирмы возрастут, если цены на все выпускаемые ею продукты увеличатся пропорционально.

Предположим, что производственная функция строго вогнута. Покажите, что функция издержек выпукла и строго выпукла, если хотя бы один фактор производства является переменным (т.е. в краткосрочном, среднесрочном и долгосрочном периоде).

Фирма имеет п заводов, издержки производства на которых описываются сле-

2

дующими функциями ^(у) = aiу , z=1,...,n. Определите функцию издержек фирмы.

Фирма имеет два завода, издержки производства на которых описываются следующими функциями ^(у) = ау2 , c2(x) = ву. Определите функцию издержек фирмы.