8.3 Свойства равновесий Эрроу - Дебре и Парето-оптимальных состояний в экономике с риском с функциями полезности Неймана - Моргенштерна

Мы рассмотрим в данном параграфе, какие черты специфический вид функции полезности Неймана- Моргенштерна (линейность по вероятностям и постоянство элементарных функций полезности по состояниям мира) накладывают на равновесия и Парето- оптимальные состояния.

Пример 37:

Рассмотрим экономику, в которой есть одно благо (деньги), два потребителя, и два состояния мира: R (дождь), и S (солнечная погода).

Uj = 0,25 ln(xjR) + 0,75 ln(xjs), i = 1,2.

Описанная экономика представляет собой типичный пример "ящика Эджворта", только интерпретация переменных специфическая. Здесь речь идет не об обмене обычными ("физическими") благами, а об обмене рисками.

Дифференциальная характеристика Парето-оптимума имеет вид

dUi/dxiR 0,25xis dU2/dx2R 0,25x2s dUi/dxiS 0,75xiR dU2/dx2s 0,75x2R'

откуда

XISX2R = XIRX2S. В Парето-оптимуме также должны выполняться балансы:

xIR + xIs = 4,

X2R + X2S = 4.

Отсюда получаем следующее уравнение границы Парето в координатах (XiR, XIs):

xIs (4 - XiR) = XIR(4 - xIs)

или

xIs = XiR.
Следовательно, граница Парето совпадает с диагональю ящика Эджворта.

Найдем теперь равновесие. Его дифференциальная характеристика имеет вид:

dUI/dxIR = 0,25xIs = PR dUI/dxIs 0,75XiR ps,

dU2/dx2R = 0,25x2s = PR dU2/dx2s 0,75X2R ps. Равновесие удовлетворяет соотношениям для Парето-оптимальных состояний, то есть, как и предсказывает Теорема 95, равновесие лежит на границе Парето. Таким образом, в равновесии xIs = XiR .

Учитывая это соотношение, получим из дифференциальной характеристики равновесия, что отношение цен в двух состояниях мира равно

PR = 0,25 = 1

Ps 0,75 3.

Таким образом, можно выбрать PR = 1, ps = 3.

Поскольку предпочтения потребителей монотонны, то бюджетные ограничения в равновесии выходят на равенство.

PRXiR + psxIs = PR + Ps ? 3, т. е.

x1R + 3x1S = 1 + 3 ? 3 = 10. Д

Поскольку x1s = Ж1я, то x1s = Xir = 2,5. Учитывая балансы, = = 1,5.

А

X1S

X2R X2S Н

Рис. 8.1. Иллюстрация к Примеру 37

В приведенном примере в любом Парето-оптимальном состоянии (а значит, и в равновесии) потребление обоих потребителей не зависит от состояния мира. Другая его примечательная особенность состоит в том, что отношение цен для двух состояний мира оказалось пропорциональным отношению вероятностей этих состояний. Оказывается, эти закономерности верны и в более общих случаях, когда, как и в данном примере, суммарные запасы не зависят от состояний мира. Покажем это.

Определение 63:

Будем говорить, что в экономике Эрроу- Дебре отсутствует системный риск, если

Теорема 96:

Пусть в экономике Эрроу- Дебре системный риск отсутствует, предпочтения потребителей характеризуются функциями полезности Неймана- Моргенштерна с одинаковыми оценками вероятностей состояний мира и строго вогнутыми элементарными функциями полезности, заданными на выпуклых множествах допустимых наборов Xj. Тогда в любом Парето- оптимальном состоянии экономики X потребление каждого потребителя не зависит от состояния мира (т. е. отсутствует индивидуальный риск): J

= Xikt, Vi е I, Vk е K, Vs, t e S. Доказательство: Пусть в равновесии для какого-либо потребителя j данное свойство не выполнено, например, = oj-fct. Тогда допустимое состояние экономики x*, такое что

является Парето-улучшением для состояния X, что противоречит Парето-оптимальности X.

Проверим, что состояние X* является допустимым.

? x*fcs = ? ? xfct = ? № ? xifct = ? pt ? Wifct = ? Wifct.

iei iei tes tes iei tes iei iei

где в последнем равенстве мы воспользовались тем, что ^^ не зависит от состояния мира и сумма вероятностей состояний мира равна 1.

Проверим теперь, что X* является Парето-улучшением. Заметим, что для любого потребителя X* является безрисковым набором, поэтому

Ui(X**) = J2 psui(X*s) = ^ ? ps = ui(X*s)

ses ses

Для произвольного потребителя i по определению x*fcs и неравенству Йенсена

Ui(X*) = Ui(X*s) = Ui I ? ptXit I ^ ? psUi(Xis) = Ui(Xi).

\tes / ses

Для потребителя j неравенство здесь строгое. ?

Теорема 97:

Пусть в экономике Эрроу- Дебре системный риск отсутствует, и предпочтения потребителей характеризуются функциями полезности Неймана- Моргенштерна с одинаковыми оценками вероятностей состояний мира и возрастающими строго вогнутыми элементарными функциями полезности.

xiks = xikt, Vi ? I, Vk ? K, Vs, t ? .

(ii) Если, дополнительно, в равновесии потребительский набор хотя бы одного потребителя является внутренним , элементарные функции полезности дифференцируемы, то отношение цен на одно и то же "физическое" благо в двух разных состояниях мира равно отношению вероятностей этих состояний:

^ = ^, Vk ? K, Vs, t ? S. ,

Pfct pt -I

Доказательство: (i) Отсутствие индивидуального риска (Xis = Xit, Vs,t ? S) следует из первой теоремы благосостояния и Теоремы 96.

(ii) Для потребителя i , набор которого является внутренним, выполнена дифференциальная характеристика

^(Xis) = ^, Vk ? K, Vs, t ? S,

Ptuifc (Xit) Pfct

Как только что доказано, в равновесии Xis = Xit, откуда и следует требуемое соотношение. ?

Если в экономике есть системный риск, то приведенные свойства не выполняются. Однако, равновесия и в этом случае обладают некоторыми общими свойствами. В частности, если благо одно, состояний мира два и потребителя два, то граница Парето проходит в промежутке между двумя биссектрисами соответствующего ящика Эджворта (который в этом случае

будет неквадратным), т. е. потребление в относительно "скудном" состоянии мира должно быть относительно низким. То же самое верно и для равновесия, которое по первой теореме благосостояния должно лежать на границе Парето. Кроме того, цена для более "скудного" состояния относительно выше. Действительно, в равновесии выполняется

PRU (Хгд) _ PR _ ! 2 PS Ц (XiS) PS ' ' '

Если приравнять друг к другу предельные нормы замещения двух потребителей, учитывая балансы, то вероятности сократятся:

u'i(xifi) _ U2(WER - XIR) ui(Xis) U^WeS - Xis) '

Пусть WeR < WeS . Докажем, что XiR < Xis. Если бы было выполнено XiR ^ Xis, то U'i(XiR) ^ u'i(Xis), поскольку предельная полезность для рискофоба - убывающая функция. Отсюда следует, что

U2)(WER - XIR) ^ u2(WES - Xis)'

и что WeR - XiR ^ WeS - Xis.

Доказанное верно и для границы Парето, поскольку дифференциальные характеристики равновесий и Парето-оптимальных состояний совпадают.

Кроме того, из XiR < Xis и дифференциальной характеристики решения задачи потребителя следует, что

PR < PRui(XiR) _ PR PS PS ui(Xis) PS'

Рис. 8.2. Парето-граница и равновесие в условиях системного риска

Рассмотрим теперь на примере свойства равновесия в случае, когда один из потребителей нейтрален к риску.

Пример 38:

Пусть функции полезности потребителей имеют вид:

UI(xI) _ PRXIR + psXIs'

U2(X2) _ PR ln(X2R) + PS ln(X2S)o Первый из потребителей здесь нейтрален к риску, а второй - рискофоб.

Дифференциальная характеристика границы Парето имеет следующий вид:

=

X2R ,

откуда = X2R. Это соотношение выполнено только на внутренней части границы Парето. Оно означает, что соответствующая часть границы является биссектрисой положительного ортанта системы координат 2-го потребителя. Это же свойство должно выполняться и для любого внутреннего равновесия. Содержательно это означает, что нейтральный к риску 1-й потребитель полностью застрахует 2-го потребителя-рискофоба.

В предположении о допустимости неотрицательных (для второго потребителя - положительных) количеств благ, граница Парето "загибается" в месте пересечения с одной из осей координат 1-го потребителя. Д

Рис. 8.3. Парето-граница в случае, когда первый потребитель нейтрален к риску

Гипотезы pis разных участников i торговли о вероятностях состояний мира s ? S не обязаны совпадать. Это не мешает торговле, а иногда и создает условия для нее. Пример этого получим, изменив параметры экономики, рассмотренной в Примере 37.

Пример 39 ((Пари)):

Пусть функции полезности потребителей имеют вид:

Ui(xI ) = 0,25 ln(xIR) + 0,75 ln(xIs), U2 (X2 ) = 0,75ln(x2R) +0,25ln(x2s).

Первый потребитель считает второе событие в три раза вероятнее первого; второй - наоборот. Начальные запасы одинаковые для обоих: ( = (2, 2). Равновесие в этой модели единственно, равновесные цены, соответствующие разным состояниям природы, совпадают между собой: PR = Ps. Равновесные распределения: XiR = X2s = 1; XIs = X2R = 3. Данный пример можно интерпретировать в том смысле, что потребители, имея разные представления о вероятностях состояний мира, заключают между собой пари. Несмотря на то, что отсутствует риск с точки зрения начальных запасов, обмен будет происходить (равновесие не совпадает с точкой начальных запасов), в результате чего в равновесии потребители сталкиваются с индивидуальным риском.

Отношение цен блага в двух состояниях мира будет лежать в промежутке между отношениями вероятностей:

0,25 1 0,75 0,75 < 1 < 0,25,

т. е.

PiR < PR < P2R Pis Ps P2S' Уравнение субъективной границы Парето здесь будет иметь вид

9XIr X1S = .

1 + 2XiR
Таким образом, субъективная Парето-граница (ее внутренняя часть) проходит выше диагонали-биссектрисы.

В этой модели условием (субъективно) взаимовыгодной торговой сделки является различие в оценках вероятностей реализации различных состояний мира. В то же время, поскольку первоначальное состояние вне зависимости от истинных вероятностей состояний мира (объективно) Парето-оптимально (так как нет системного риска, и начальные запасы лежат на диагонали ящика Эджворта), этот обмен ведет к ухудшению реального благосостояния по крайней мере одного потребителя. Таким образом, на этом примере очевидно различие между "субъективным" и "объективным" определениями границы Парето. Д

Рис. 8.4. Иллюстрация к Примеру 39