6.1 Характеристика Парето-оптимальных состояний в квазилинейных экономиках

Квазилинейностью предпочтений потребителей объясняется ряд особых свойств рассматриваемой экономики. В частности, анализировать Парето-оптимальные состояния в квазилинейной экономике можно с помощью следующей задачи оптимизации:

Е vj(xi) - Е cj(yj) ^ max

.ei jeJ '

Е x.fc < Е yjk Vk = 1,---,l, (W)

.ei jeJ

x.

Другими словами, верна следующая теорема, дающая полное описание границы Парето экономики EQ .

Теорема 78:

Состояние {(X1, Z1), o o o, (Xm, zm), (y 1, Г1), o o o, (yn, fn)} является Парето-оптимальным состоянием в квазилинейной экономике EQ тогда и только тогда, когда

(x Ь^^ ^ y L,ooo, y n )
является решением задачи (W),

= cj (yj)

и

Еz. = Е - cj (yj )o

.ei .ei J

Доказательство: (^) Докажем сначала, что если {(x1, z1), o o o, (xm, Zm), (y 1, f1), o o o, (yn, fn)} - Парето-оптимальное состояние в квазилинейной экономике EQ , то набор (x1, o o o, xm, y 1, o o o, yn) является решением задачи (W).

Напомним, что Парето-оптимальное состояние при любом io ? I является решением следующей задачи условной максимизации:

v.o (x.o) + z.o ^ max Vj(xj) + z. ^ Vj(xj) + Zj Vi = io

Ex.fc ^ Eyjk Vk = 1, o o o ,l,

.ei jeJ

Еz + Е rj < Е

jei jeJ jei

rj ^ cj (yj) Vj ? J,

x. ^ 0 Vi ? I, yj- ^ 0 Vj ? J-

Как несложно показать, в этой задаче первое, третье и четвертое неравенства можно заменить на равенства, не изменяя множество решений задачи. Выражая из этих равенств Zj и rj и исключая их из оставшихся неравенств, видим, что данная задача сводится к задаче (W).

(^) Обратно, пусть (Xi,...,Xm,y i,...,yn) является решением задачи (W). Рассмотрим произвольные fj, удовлетворяющие балансам

Е = Е - Е fj, w

iei iei jeJ где fj = Cj (yj) Vj. Легко увидеть, что состояние

S = {(Xi, fi), . . . , (Xm, fm), (У1, fi), . . . , (yra, fn)}

является допустимым состоянием экономики EQ . Докажем, что оно Парето-оптимально.

S = {(Xi, fi), . . . , (Xm, fm), (У1, fi), . . . , (У", fn)}, такое что для всех потребителей (i e /)

Vi(Xi) + fi ^ Vi(Xi) + fi, и существует, по крайней мере, один потребитель io, для которого выполнено

vio (Xio ) + fio > vio (Xio ) + fio.

Складывая эти неравенства, получаем

EVi(Xi) + E fi ^E^i(Xi)^E fi. (**)

ieI ieI ieI ieI

Поскольку S - допустимое состояние, то

Е fi + Е fj = Е Wi

ieI jeJ ieI

и

fj ^ cj (yj ^ j e J,

откуда

Е fi ^ Е Wi - Е Cj(yj). (***)

ieI ieI jeJ Складывая (*), (**) и (***), получаем

Е vi(Xi) - Е Cj(yj) > Е Vi(Xi) - Е Cj(yj).

ieI jeJ ieI jeJ

Поскольку (XI,..., Xm, yI,..., yn) является допустимым в задаче (W), то это означает, что существование состояния S противоречит оптимальности (XI,..., Xm, yI,..., yn) в задаче (W). I

Первая часть доказанной теоремы для экономики E+ в общем случае неверна (см. нижеприведенный пример). Вторая часть верна при дополнительном предположении о том, что совокупные начальные запасы достаточно велики.

Как видно из вышеприведенной теоремы, задача поиска Парето-оптимума для экономики EQ эквивалентна задаче (W). В то же время множество допустимых состояний для экономики E+ является подмножеством множества допустимых состояний для экономики EQ . Поэтому не исключена ситуация, в которой Парето-оптимум экономики E+ не является Парето-опти- мумом экономики EQ и, следовательно, не будет решением задачи (W).

Несложно придумать пример экономики E+ и Парето-оптимума этой экономики, так чтобы в этом Парето-оптимуме ограничение Zi ^ 0 оказалось существенным для одного из потребителей, и при снятии этого ограничения можно было бы увеличить полезность одного из потребителей, не уменьшая полезность остальных. Читатель может сконструировать такой пример самостоятельно.

Но даже если в Парето-оптимуме экономики E+ все ограничения Zi ^ 0 выполняются как строгие неравенства, снятие данных ограничений может позволить осуществить Парето-улуч- шение.

Пример 33:

Рассмотрим экономику с одним потребителем (m = 1), одним производителем (n = 1) и двумя благами (1+1 =2). Для упрощения обозначений индексы будем опускать. Предпочтения потребителя заданы функцией v(x) = 5x3 - 9x2 + 6,9x, а технологическое множество фирмы - функцией издержек c(x) = x4. Обе функции являются возрастающими при x ^ 0, поэтому y = x, r = c(x) и z+r = и, так что поиск Парето-оптимума сводится к максимизации функции

v(x) - c(x)

при ограничениях x ^ 0 и c(x) ^ и. Здесь ограничение c(x) ^ и соответствует ограничению z ^ 0. Можно переписать последнее ограничение в виде x ^ с-1 (и). 0,025

-0,025 -0,05 -0,075 -0,1 0,125

Рис. 6.1. Пример существенности ограничения неотрицательности линейного члена

Пусть и = 1, при этом с-1 (и) = 1. Как видно на Рис. 6.1 функция v(x) - c(x) имеет два локальных максимума: xI ^ 0,83473 и x2 ~ 1,6988. Только второй из этих максимумов является глобальным. Парето-оптимум экономики E+ достигается при x = xI, поскольку максимизация идет на отрезке [0,1]. В то же время Парето-оптимум экономики EQ и, следовательно, решение задачи (W) достигается при x = x2. А

В этом примере ключевым моментом является то, что функция v(-) не является вогнутой. Можно было построить подобный пример иначе: так, чтобы функция v(-) была вогнутой, но функция издержек не была выпуклой. Таким образом, для доказательства аналога первой части предыдущей теоремы в "выпуклой" экономике E+ следует потребовать, чтобы все функции Vi(^) были вогнутыми, а функции Cj (yj) - выпуклыми. Аналогом этой теоремы для случая экономики E+ является следующая теорема.

Теорема 79:

1) Предположим, что функции Vi(-) вогнуты, а функции издержек Cj(?) выпуклы, и пусть

S = {(XI, ZI), . . . , (xm, Zm), (y 1, fI), . . . , (yra, fra)} -

Парето-оптимальное состояние в квазилинейной экономике E+, причем Zi > 0 Vi. Тогда набор (XI,..., xm, yI,..., yn) является решением задачи (W).

2) Обратно, пусть (Xi,..., Xm, yi,..., yn) является решением задачи (W), причем

Е Wi - Е cj (yj) ^

ieI jeJ

Тогда для произвольных fi,..., fm ^ °, удовлетворяющих балансам

Е fi = Е Wi- cj(y j)

ieI ieI

набор {(Xi, fi),..., (Xm, fm), (yi, Ci(yi)),..., (yn, cn(yn))} является Парето-оптимальным состоянием квазилинейной экономике E+. J

Доказательство: 1) Доказательство опирается на следующее вспомогательное утверждение: если S - Парето-оптимум в экономике E+, удовлетворяющий условиям теоремы, то он также является Парето-оптимумом в соответствующей экономике EQ .

Докажем это вспомогательное утверждение от противного. Пусть в соответствующей экономике EQ существует допустимое состояние

S = {(Xi, fi), . . . , (Xm, fm), (yi, fi), . . . , (УП, fn)},

которое доминирует по Парето состояние S. Рассмотрим выпуклую комбинацию этих двух состояний:

S(a) = aS + (1 - a)S, a e [°, 1].

Существует достаточно малое a > 0, такое что S(a) является допустимым в экономике E+ . Однако при a > 0 состояние S(a) представляет собой Парето-улучшение в экономике E+ по сравнению с Sf , что противоречит предположению теоремы.

Подробное изложение доказательства оставляется в качестве упражнения. 2) Доказательство оставляется в качестве упражнения. I

Приведенные выше результаты позволяют нам в случае квазилинейной экономики использовать задачу (W) для анализа Парето-оптимальных состояний.

В ситуации, когда функции Vi(-) строго вогнуты, а функции Cj(?) выпуклы, решение задачи (W) единственно, поэтому два Парето-оптимальных состояния в экономике EQ (в экономике E+, если fi и fi положительны)

{(Xi, fi), . . . , (Xm, fm), (yi, fi), . . . , (УП, fn)},

{(Xi, fi), . . . , (Xm, fm), (Уi, fi), . . . , (Уп, fn)},

могут различаться лишь объемами потребления (l + 1) -го блага. Другими словами, Xi = Xi Vi e 1 и yj = yj Vj e J.

Поэтому, как несложно заметить, в случае экономики EQ граница Парето представляет собой гиперплоскость вида (читателю предлагается доказать этот результат самостоятельно)

= const.

ieI

В экономике E+ граница Парето может "загибаться" из-за того, что некоторые из ограничений fi ^ 0 являются существенными, что иллюстрирует следующий пример.

Mu2

6 8 10

Рис. 6.2. Парето-граница в экономике типа E+

0

2

4

14 12 10 8 6 4 2 0

Пример 34:

На Рис. 6.3. изображена Парето-граница в экономике типа E+ со следующими параметрами: 2 блага (l + 1 = 2), 2 потребителя, с функциями полезности

uI = 2^X1 + zI и U2 = 4^X2 + Z2,

и один производитель с функцией издержек

c(y) = У.

Начальные запасы 2-го блага равны 10.

Несложно проверить, что решение задачи (W) дает xI = 1 и X2 =4. Однако это решение описывает точки границы Парето только при uI ? [2, 7]. Парето-граница при этом имеет вид

u2 = 15 - u1.

При uI ? [0, 2] Парето-граница имеет вид

1. ui u2 = 14 - -4.

При uI ? [7,11] Парето-граница имеет вид Д

u2 = 4\/11 - ui. В случае двух благ можно привести графическую иллюстрацию Парето границы экономики типа E+ на основе диаграммы Эджворта (см. Рис. 6.3). Жирная линия представляет собой границу Парето.

Так как в достаточно широком классе случаев решения задачи (W) описывают Парето-гра- ницу, то целевую функцию задачи (W) можно использовать для решения вопроса о принадлежности некоторого допустимого состояния к Парето-границе. В связи с этим, естественно рассматривать функцию

W(x, y) = ? - ? cj(У^)

iei jeJ

в качестве индикатора благосостояния. Основанием для этого является следующая теорема.

Пусть

S = {(Xi, fi), ..., (Xm, гт), (yi, fi),..., (yra, fn)},

S = {(Xi, zi), . . . , (Xm, Zm), (yi, fi), . . . , (Уп, fn)} - допустимые состояния экономики EQ (E+). Тогда выполнена следующая теорема.

Рис. 6.3. Парето-граница экономики типа E+ на основе диаграммы Эджворта Теорема 80:

1) Если каждый из потребителей в состоянии S имеет не меньшую полезность, чем в состоянии S, т. е.

Vi(xi) + f ^ Vi(xi) + Zi Vi,

и4

E fi + E cj(yj) = E ^ iei

iei jeJ то

W(x, y) ^ W(x, y),

причем если существует потребитель io, такой что

vio (xio ) + fio > vio (xio ) + fio

(т. е. состояние S доминирует S по Парето), то

W(x,y) > W(x,y).

2) Для экономики EQ выполнено и обратное: если для состояний S и S верно W(x, y) > W(x, y), то можно подобрать fi,..., f^, такие, что состояние экономики

l(xi , f1), . . . , (xm, fm,), будет допустимым, причем

Vi(xi) + f > Vi(xi) + fi Vi. J

Доказательство: Доказательство оставляется в качестве упражнения. ?

Первая часть данного утверждения говорит о том, что любое Парето-улучшение сопровождается ростом индикатора W(?). Смысл второй части приведенного утверждения состоит в том, что если W(x, y) > W(x, y), то можно в состоянии S произвести такие трансферты (перераспределить деньги), что новое состояние будет строго доминировать состояние S

4Это условие будет, например, выполнено в общем равновесии.

по Парето. Заметим, что некоторые Zi при этом могут оказаться отрицательными, поэтому вторая часть утверждения неприменима к экономике E+.

В Парето-оптимуме квазилинейной экономики индикатор благосостояния достигает максимума. Пусть W - это максимальное значение. Разность между W и уровнем индикатора W(S) в некотором состоянии S называется чистыми потерями благосостояния:

DL = W - W (S).

Сравнение уровней благосостояния в анализируемом состоянии и в идеальной ситуации позволяет количественно оценить, насколько далеко данное неэффективное состояние от границы Парето, и сколько экономика в целом теряет вследствие неэффективности.