2. Характеристика поведения потребителей в квазилинейных экономиках

В дальнейшем сравниваются потребительские наборы, которые оказываются рыночными равновесиями при различных ор-

ганизациях рынков (совершенная конкуренция, монополия, олигополия и т.д.).

pxJz^UP) (Cib))

х* > 0.

Соответствующая задача в экономике включает дополнительное ограничение z{ > 0. (Будем обозначать эту задачу через С2(Р) )

Здесь через (ЗДр) обозначен доход потребителя при данных ценах:

= ю,+ЕУЛ(Р),

где 7ij(p) py <•(.Имеют место следующие результаты, характеризующие оптимальный выбор потребителя.

! Теорема 12.

j Предположим, что (xi: zt) — решение задачи потребите- ! ля Сх(р). Тогда ж; является решением следующей задачи I ''.('•• ') рх >1Ш\

I _ (©)

! И обратно, пусть xt - решение задачи (©), тогда сущест- j вует такое zi} что (ж;, zt) - решение задачи Сх(р).

Доказательство.

Доказательство оставляется в качестве упражнения. ¦

Это означает, что спрос потребителя на первые I благ не зависит от его дохода. Аналог этого результата верен и в случае задачи С2(р), когда допустимые потребительские наборы удовлетворяют дополнительному условию z^ 0, что показывает следующая теорема.

| Теорема 13.

j Предположим, что г>;(-) — вогнутая функция, а (ж j — решение задачи потребителя С2(р) (соответствующей

экономике ?2), такое что z{ >0. Тогда х{ является решением следующей задачи

У к _ (©)_

И обратно, пусть xt - решение задачи (©) и pxt < тогда существует такое z.t ' 0, что (ж,. ;;,) — решение задачи С2(р).

Доказательство.

Доказательство оставляется в качестве упражнения.

Предположим дополнительно, что г>;(-) — непрерывно дифференцируемая функция.

Vi'X®,) < P,

причем если xik>0, то дх

г к

zPk- Таким образом, если решение задачи потребителя внутреннее (xi > 0) и, кроме того, >0 в случае задачи С2(р)), то Vvt(xt)=p.

Другими словами, градиент функции г>;(-), вычисленный для набора благ, совпадающего с рыночным спросом потребителя, равен вектору рыночных цен этих благ. Таким образом, градиент функции гь( ) представляет собой обратную функцию спроса pt(xt) г-ro потребителя — вектор цен первых I благ, при котором потребитель предъявляет спрос именно на этот набор благ.

В классе квазилинейных экономик важную роль играет случай когда предпочтения всех потребителей, помимо свойства квазилинейности обладают свойством сепарабельности, т.е. функции полезности таких потребителей представимы в виде

н'|(г!1г"! xih zi) ~ vi(xilT--i xil) + zi ~ ~}2Vik(Xik) + Zi-

к

Если функция полезности г-го потребителя имеет такой вид, то задачу потребителя Сх(р) можно разложить на I задач — по одной на каждое благо кроме (/+1)-го:

г'г(жп,..., хи) - pkxik max

vt (с1к(Рк))

I Теорема 14.

j Если xi — решение задачи потребителя Сх(р), то ха. — j решение задачи С1к(рк). Обратно, если xik — решение за- | Дачи Cik(Pk) при к = 1, ..., I, то ж, = (хп, ..., хи) — решение j задачи С^р) при р = (ръ ..., Pl).

Доказательство.

Доказательство оставляется в качестве упражнения. ¦

Из данной теоремы следует, что функция спроса на k-е благо зависит только от цены на это благо, т.е. имеет вид xik(pk).

В этом случае (при условии дифференцируемости) необходимое условие оптимальности потребительского набора (ж;, zt) (как в случае экономики так и в случае ?% при г;>0) имеет вид:

ik

причем если xik>0, то

Это условие является также и достаточным, если vik(-) — вогнутые функции.

Из Теоремы 14 следует, что, вместо исходной задачи мы можем использовать для анализа спроса на к-е благо задачу С1к(рк). Мы будем предполагать, что функция vik(xik) дважды дифференцируема, имеет положительную производную и строго вогнута.

Рассмотрим условия существования решения задачи С1к(рк). (Заметим, что из Теоремы 14 следует, что решение исходной задачи Сх(р) в случае сепарабельной функции полезности существует тогда и только тогда, когда существуют решения задач Cu-Ы при любом к= 1,..., I.)

Введем обозначения

sup ^>0

и

Мдип,(хц

dxik

Легко видеть, что при любом рк, таком что р< рк< р, решение задачи С1к(рк) существует. Действительно в силу непрерывности функции dvik(xik)/дхл, существует xik, такое что

Эх,

Это xik должно быть решением задачи потребителя при ценах рк.

Кроме того, при ценах рк< р задача С1к(рк) не имеет решения. Покажем это. Пусть при рк< р существует решение xik(pk) > 0. Тогда должно выполняться необходимое условие оптимума (условие первого порядка)

f)'-., (г, (;,,))

^ik

Откуда в силу того, что рк< р имеем

di'jxjp,,)) f)r,(r ,)

< 1П1х,„>0 OX.-i, v/X.i, Рассмотрим теперь значение функции ' * в точке xik(pk) +

ikA дх.,

dl'n

е. В силу убывания функции

dvjxjpt)+e) ()r Л г, (/>,)) Э '' ¦ dxik

при любом е >0. Откуда получаем

+?) ()г.,(.г.,(,,,)) dVjk(xik)

Ss 1Ш ^,>0 — р-

Так как xik(pk) + е > 0, мы получили противоречие с определением инфимума. Тем самым предположив существование решения задачи С1к(рк) прир,^ р мы пришли к противоречию, а значит полностью обосновали что при рк< р задача С1к(рк) не имеет решения.

Покажем теперь, что xik(pk) —> 0 при рк —> Рассмотрим для этого два случая: р = °° и р <

Пусть р = оо. При рк > р, по доказанному ранее решение xik(pk) задачи С1к(рк) существует, причем оно будет внутренним (xik(pk) > 0), так как любое значение рк > р по непрерывности функции —г-1—'-может быть реализовано при соответствующем подборе xik.

oxik

Это означает что условие первого порядка в этой задаче выпол-

Эг'ь (ж,,.(»,.))

нено как равенство г:—1—= рк при рк > р, и определяет функ-

"хк

цию спроса х1к(рк) при рк>р.

Рассмотрим теперь последовательность {pl}, такую что

lim„^ pl = оо.

Выделим из последовательности {pl} возрастающую подпоследовательность {pl'}.

спроса {жд} по правилу —= pi. Так как lim , pi = оо, то в

"Хгк

силу строгой вогнутости функции полезности имеем, что последовательность объемов спроса {x"i} убывает, причем ж«+1< жд. Как мы отметили выше при рк > р решение задачи С1к(рк) является внутренним и, таким образом, ж« > О V ns, но каждая убывающая и ограниченная снизу последовательность имеет предел. Пусть xik — предел этой последовательности объемов спроса и xik>0. Тогда, как нетрудно заметить, подпоследовательность {pi} имеет (в силу

di'ii.fe.). „ dvik(xik) непрерывности —"s ) конечный предел — , что противо-

речит ее построению. Получив противоречие, мы доказали, тем самым, что xik= 0 и тем самым, что жik(pk) —> 0 при рк —>

Пусть теперь р < Тогда в силу убывания функции

dvik(xik)/дхи. имеет место равенство

р = lim ^ ' = 11ИХ () г Тогда при любой цене рк > р выполнено Рк-

0)

Эж

г к Отсюда следует, что при рк > р спрос на данное благо равен нулю, т.е. жik(pk) = 0, поскольку в силу вогнутости целевой функции это необходимое условие оптимальности является также и достаточным. Отметим, что так как функция полезности в задаче С1к(рк) является строго вогнутой, то xik(pk) =0 — единственное решение этой задачи. Тем самым мы доказали, что в общем случае Жгк{рк) 0 при рк ОО.