11.2 Квазилинейная экономика с общественными благами

Особенно простым анализ экономики с общественными благами становится при квазилинейности функций полезности. Это соответствует анализу частного равновесия, который проводится в начальных курсах микроэкономики.

Будем предполагать, что в экономике два блага, одно из которых общественное, а другое - частное, причем

X(1) С R+ и X\2) = R Vi, а предпочтения потребителей описываются квазилинейными функциями полезности:

Ui(X,Zi) = Vi(X) + Zi,

где X - объем потребления общественного блага (он равен объему производства y), а Zi - объем потребления частного блага (который можно интерпретировать как объем потребления всей совокупности частных благ).

Производственные возможности экономики описываются функцией издержек c(y), (обратной к производственной функции), которая показывает минимальное количество частного блага, r, необходимое для производства y единиц общественного блага.

В дальнейшем будем различать два случая. Первый- ситуация, когда общественное благо может производится и потребляться в любом количестве, является безгранично делимым, ("непрерывный" случай), функции полезности и издержек - дифференцируемы. Второй - ситуация, когда производитель и (или) потребитель может выбирать лишь из конечного числа

вариантов, как правило двух ("производить - не производить", "потреблять - не потреблять"). Этот случай будем называть "дискретным".

Рассмотрим сначала непрерывный случай. Для него уравнение Самуэльсона имеет вид:

vi(x) = c'(x).

iei

Это соотношение можно установить независимо на основе характеристики Парето-опти- мальных состояний квазилинейной экономики. Действительно, как было установлено ранее, Парето-оптимальное состояние квазилинейной экономики полностью характеризуется задачей максимизации индикатора благосостояния.

W(x) = У^ vi(x) - c(x) ^ max.

iei

Таким образом, в этой экономике Парето-оптимальные состояния характеризуются объемом производства общественного блага, максимизирующим благосостояние, x. Этот объем естественно назвать Парето-оптимальным объемом общественного блага. Если предельные полезности г^(x) неотрицательны и не возрастают, причем хотя бы у одного потребителя они убывают, а предельные издержки c'(y) положительны и не убывают, то такой объем будет единственным.

Для Парето-оптимального объема общественного блага выполняется соотношение:

vi (x) < c'(x),

iei

причем, если общественное благо производится, т. е. y > 0, то

vi(x) =c/(x),

iei

В дальнейшем мы будем считать, что x > 0.

Заметим, что в случае, когда первое благо - частное, условия Парето-оптимальности его производства и потребления имеют вид (случай, когда xi > 0 Vi):

vi (xi) = c'(y), Vi^xi = y.

iei

Указанное различие можно проиллюстрировать следующим примером. Сравним, как принимаются решения в случае приобретения одного и того же блага (например, телевизора) в личное (частное благо) и коллективное пользование (общественное благо). В первом случае телевизор приобретается только в том случае, если цена не выше оценки телевизора для покупателя. Если же телевизор устанавливается в холле студенческого общежития, то решение о его приобретении должно приниматься уже на основе сравнения его цены и суммы оценок этого блага всеми студентами, живущими в общежитии.

Этот пример уместнее проанализировать в контексте второй ситуации, поскольку рассматриваемое благо (телевизор) либо производится (и приобретается), т. е. x = 1 (при соответствующем выборе единиц измерения), либо нет, т. е. x = 0.

Будем предполагать без потери общности, что Vi(0) = 0, c(0) = 0, и обозначим Vi(1) = Vi и c(1) = c. Тогда

W (0) = 0 и W (1) = Y Vi - c.

iei

Поэтому x = 0, если J2iei Vi < c и x = 1, если J2iei Vi > c. В случае, когда J2iei Vi = c, задача имеет два решения, поэтому оптимальным является любое решение относительно объема производства общественного блага.

11.3.

^ 490. В квазилинейной экономике с общественным благом имеются два потребителя с функциями полезности вида:

u1 = av(x) + z1 и u2 = bv(x) + z2 (a,b> 0).

Производная v'(x) положительна и убывает. Единственный производитель имеет функцию издержек вида c(y) = 2y.

При a = a', b = b' в Парето-оптимальном состоянии уровень общественного блага равен х'. При a = ka', b = kb' (к > 0) в Парето-оптимальном состоянии уровень общественного блага равен х'', где х'' > х'. Предполагаем, что обе рассматриваемые Парето-оптимальные точки внутренние.

Можно ли утверждать, что к > 1 или к < 1 ? Обоснуйте свое утверждение.

^ 491. В квазилинейной экономике с общественным благом имеются два потребителя с функциями полезности вида Uj = Vj (х) + Zj. Производные vj (х) положительны и убывают. Единственный производитель имеет функцию издержек вида c(y) = ay.

При a = a' в Парето-оптимальном состоянии уровень общественного блага равен х'. При a = ol' (ol' > a') в Парето-оптимальном состоянии уровень общественного блага равен х". Предполагаем, что обе рассматриваемые Парето-оптимальные точки внутренние. Можно ли утверждать, что х" > х' или х" < х' ? Обоснуйте свое утверждение.