4.1 Экономика с общественными благами
30
wk.
наличным количеством блага k в экономике в целом (^j yk + wk ) выражается неравенством xk < Y.J ykj
Иными словами, когда один из участников потребляет такое благо, то количество этого блага доступное другим участникам не убывает.
Будем называть это свойство неконкурентностью совместного потребления (англ, nonrivalness).Самым распространенным видом благ коллективного потребления является информация: изобретения, литературные произведения, аудио и видеозаписи, компьютерные программы и т.п. Типичные примеры также оборона и телетрансляция; моя полезность не убывает от того, что ктото еще включил приемник.
Многие блага имеют характер смешанный, промежуточный между благами коллективного и частного потребления. В качестве примера можно указать транспортную инфраструктуру (дороги, мосты), потребительские свойства которой ухудшаются по мере нарастания перегруженности. В общем случае материальный полубаланс для іто потребителя можно записать в виде xk < фi(Y,jУj + wk, ж^), где х^ — вектор объемов потребления блага другими (не і), а фі — некоторая функция. Блага коллективного и частного потребления будут тогда крайними частными случаями этой функции с фі(.) = Y.J yk + wk и фі(.) = Y.J ykj + wk — Y.j^i xk соответственно. Рассмотрением крайних случаев мы и ограничимся.
Определение 4.1.2 Благо коллективного потребления k называют общественным благом, когда физические или организационные условия не позволяют устранить никого из участников сообщества I от потребления этого блага, то есть количество xk доступное для потребления любым участником одинаково: xk = Y.J ykj + wk.23
Практически чистым общественным благом можно считать оборону.
Обычно неисключаемость (nonexcludability) имеет не абсолютный, физический характер, а просто исключение требует достаточно больших издержек. Более того, иногда один и тот же вид благ коллективного пользования, например телевизионные программы, дороги, может потребляться то в коммерческой форме (например, исключение организовано в виде шлагбаума на дороге, и с каждого проезжающего взимается плата), то в общественной — быть доступным для использования любым желающим.Неконкурентность часто приводит к образованию естественной монополии собственника блага (если фирма построила дорогу, вряд ли другая станет строить параллельную), и создает проблему выбора различных уровней оплаты и выбора объема блага (мы коснемся этого при анализе монополий). Тем более, и неисключаемость создает сходную проблему, которую называют проблемой финансирования общественного блага, ей и посвящен этот раздел.24 Поскольку общественные блага можно
23Для более тонкого разграничения типов благ можно (мы не будем этого делать) ввести еще одну переменную — то количество общественного блага, которое реально потребляется участником. Оно может быть меньше имеющегося в распоряжении количества. Мы же будем предполагать неубывание целевых функций по этой переменной, поэтому разница между имеющимся и потребляемым не важна.
24Важно понимать, что для обычных благ (частного потребления) неисключаемость (невозможность не допустить к потреблению) создает еще более серьезную проблему; количество общественного блага по крайней мере не уменьшается от того, что его потребляет ктото другой. Напротив, отсутствие охраны законом и/или моралью прав собственности, например, на урожай огородов быстро приводит к их исчезновению. Таким образом, мы наблюдаем существование только тех частных благ, права собственности на которые удается гарантировать (исключаемые блага).
31
считать частным случаем экстерналий (а именно: влияние производителя на потребителей) то проблема финансирования о.б. родственна проблеме нахождения налогов Пигу.
Обозначим Kpriv множество частных благ, а КриЬ — множество общественных благ.
Для простоты предположим, что каждое общественное благо потребляется только потребителями, а предприятия могут общественные блага только производить. Поскольку мы не различаем доступное для потребления и потребляемое, то можно считать, что в потребительские функции прямо входит общий имеющийся объем общественного блага х\ = Y.J ykj (k Є Криь) (начальные запасы общественных благ будем считать нулевыми). Итак, рассматриваемая нами экономика описывается следующей оптимизационной задачей получения Паретооптимальной точки (ж,у):[Vl Є / =>• щ(х}) = тахщ(х}) : (44)
i) > Ui(xi), і Є / \ {і} ; (45)
> о, з є J ; (46)
Х
г < Е У] + Е W^ kE KP™ ; (47)
*> kEKpvbj ІЄІ]. (48)
з
Последнее равенство выражает материальные балансы общественных благ, и только оно отличает эту ситуацию от классического рынка.
Чтобы вывести диференциальную характеристику любой точки Парето оптимума, используем попрежнему предположения ВЫПУКЛ, ГРАД, включающие дифференцируемость всех функций. Пусть, далее, целевые функции Ui возрастают хоть по одному частному и по всем общественным благам.
Соответствующий Лагранжиан имеет вид (здесь А := 1):
Е
k?Kpriv j
+ Е ЛЕ?/"^) (49)
Исключив из необходимых условий экстремума (проверив, что теорема КунаТаккера применима) множители Лагранжа (не равные нулю, как и в теореме благосостояния), получим диф. характеристику оптимума:
Е ^ (х, у}/й^ (х, у) = ff (y)/ff2 (у) (Vj Є J, fc! Є К^ь, k2 Є Kpriv) (50)
І
й^(х,у)/й^(х,у) = ff(y)/ff(y) (Vi Є /, j Є J,k,,k2 Є Kpriv) (51)
Первое из соотношений здесь называют уравнением Самуэльсона25. Оно говорит, что сумма предельных норм замещения общественного блага на частное в потреблении равна норме замещения общественного блага на частное в производстве.
25Samuelson, P.A. (1954) "The Pure Theory of Public Expenditure," Review ol Economics and Statistics, 350356.
32
(I) В дальнейшем будем рассматривать более простой случай, когда общественное благо одно (первое), фирма одна, причем f(y) = д(у2,...,у1) — у1, а начальные запасы всех благ нулевые.
Тогда экономика (44) с общественным благом примет вид:(х,у)єР [Vi Є І =>• щ(х{) = тахщ(х{) : (52)
ХІУ
Ui(xi] > Ui(xi), г Є 1\{г}
v1} і f= I f531
..^ у і j 6 ^Z t ^v^vJ^
(54)
4.2 Равновесие (псевдоравновесие) Линдала
Чтобы определить для экономики с общественным благом (52) состояние, аналогичное равновесию классической экономики, нужно ввести индивидуальные потребительские цены на общественное благо q = (ft)i?/ Є !Rn, причем их сумма должна равняться цене производства этого блага: Sift = р1 Индивидуальным ценам соответствуют индивидуальные заявки х\ на общественное благо.
Задачи индивидуальной рациональности потребителя и производителя имеют вид
І
хг > 0, щх + $>я < &• } (55)
i k=2
{ рустах у1 < д(у2,...,у1) }. (56)
max
у
Определение 4.2.1 Назовет равновесием (псевдоравновесием) Линдала26 такое допустимое, в смысле (53)— (54), состояние (х, у,р, q), в котором выполнен закон Водьраса в форме Si(ft^i + Y,lk=2Pk%i) = РУІ сумма Sift = Р1/ а (%,У) является решением задачи производителя (56) и всех задач потребителей (55) при ценах (p,q).
В равновесии Линдала имеет место консенсус: каждый желает потреблять именно существующий (производимый) объем общественного блага: у = х\ (\/г). Для него верно следующее утверждение — аналог теорем благосостояния для совершенных рынков.
Утверждение 4.2.1 Пусть в экономике (52) функции и(.) и д(.) дифференцируемы и вогнуты (или приводимы к вогнутым), и всюду выполнено условие ненасыщаемости в форме [й\(хі) > О ЗА; є Kpriv : й^(хг) > 0 Мі Є /, \/Хі > 0], u grad(g()) ^ 0. Тогда:
Любое внутреннее (в смысле х > Oj равновесие Линдала Парето оптимально.
Для любого внутреннего Паретооптимума (х, у) найдутся цены (р, q) и доходы (А;;АЛ такие что (x,y,p,q) — равновесие Линдала.
Доказательство.
27
26Lindahl, Е. (1919) "Positive Losung, Die Gerechtigkeit der Besteuerung".
27Утверждение верно и при более слабых условиях (в частности можно выводить условие ненасыщаемости из условия внутренности, не требовать дифференцируемости; см. в Главе 2 доказательство ТБ1 и ТБ2). Можно также проводить доказательство утверждения сводя его к ТБ1 и ТБ2); то есть рассматривать экономику с общественным благом как классическую экономику, считая, что производителем выпускается не одно общественное благо, а соответствующий вектор частных благ (ж|,...,ж^) — по одному на каждого потребителя, в целевую функцию которого он входит.
33
(I) Если выполнены предположения утверждения, то и к задаче оптимума (исполь зуем ненулевой градиент) и к задаче равновесия применима теорема КунаТаккера, и можно проверить совпадение условий первого порядка. Диф. характеристика рав новесия (x,y,p,q) будет иметь вид:
ul(x)/uk(x) = Ql/pk, pl/pk = l/gk(y)(57)
Эти равенства вытекают, как обычно, из анализа задач потребителя (55) и производителя (56). Просуммировав их по г, учитывая Y^kQk = р1, получим уравнение Самуэльсона.
Аналогично, для пары частных благ, как обычно, верно
^(y\x)/^(y\x)=p^/pk* = gkl(y)/gk*(y)(58)
Таким образом, дифференциальные характеристики оптимума и равновесия совпадают, что позволяет подобрать оценки Л, /л, а Лагранжиана (49) такие, что в точке (х, у) Лагранжиан достигает безусловного экстремума, то есть выполнено необходимое условие условного экстремума задачи (52). Благодаря выпуклости этой задачи необходимое условие совпадает с достаточным, таким образом равновесие (ж, у) является также решением задачи (52), что и требовалось для Паретооптимальности.
(II) Вторая часть утверждения доказывается аналогично, сопоставлением диф. ха рактеристик оптимума и равновесия. Конкретнее, нужно подобрать цены в соответ ствии с (57) и (58). Например, можно взять вектор р := а, где а — оптимальные оценки товаров из (52), (49), затем
ftpWtf )/(?*>,•) (59)
je/
— здесь нормировка обеспечивает выполнение условия ]Сф = р1, a k — номер из условий теоремы, поэтому деление корректно. Затем, как и во ПТБ, подбираются доходы (Зі := qiX\ + Y^k=2Pk^i соответствующие оптимуму, и множители Лагранжа ин дивидуальных задач, соответствующие безусловным экстремумам индивидуальных Лагранжианов (используем пропорциональность индивидуальных цен полезности из (59)). Как и ранее, выпуклость задач гарантирует, что необходимые условия экстре мумов являются достаточными, поэтому х, у являются экстремумами в задачах потре бителя (55) и производителя (56). Допустимость (сбалансированность) х,у вытекает из Паретооптимальности, а выполнение закона Вальраса проверяется как в теореме благосостояния, поэтому (ж,у,р, q) — равновесие. ц
Итак, казалось бы, проблему оптимального финансирования общественных благ можно разрешить, организовав равновесие Линдала. Однако попытки построить процедуру (типа аукциона, tatonnement, или др.) сходящуюся к этому равновесию наталкиваются на принципиальную трудность. В отличие от классических рынков, все известные процедуры "нащупывающие" равновесие Линдала оказываются манипулируемы при обычных предположениях; то есть участникам выгодно делать ложные сообщения о своих предпочтениях или о желаемом спросе, в результате исход процедуры может попасть в равновесие Л. только в исключительных случаях, либо при полной честности участников. Поэтому, изза труднореализуемости, это равновесие называют чаще псевдоравновесием. Поясняя эту трудность, рассмотрим, например, аналог процесса нащупывания Вальраса.
34
Процедура нащупывания 1. Аукционер сообщает в каждый момент t участникам текущие цены (p(t),q(t)). Потребители, исходя из этих цен, отвечают спросом на частные блага xk(t) (k = 2,1) и спросом x}(t] на общее благо. Аукционер подправляет с некоторой скоростью реакции а > 0 цены товаров, спрос или предложение на которые избыточны:
dpk(t)/dt = а(Ег xk(t] yk(t}} (k = 2,...,/), dqi(t)/dt = a(x}(t) yl(t}), pl(t) := ?ift(t).
Можно показать, что если участники не станут манипулировать заявками, то такая процедура при довольно реалистичных условиях на целевые функции сходится к стационарной точке, которая будет являться равновесием Линдала. Однако вероятна манипулируемость; она состоит в том, что участникам (понимающим, что их личная доля Qi/р1 в финансировании общественного блага возрастает пропорционально их заявкам хі на благо) выгодно занижать свою объявляемую потребность в общественном благе, чтобы меньше платить за него. Действительно, понижая x\(t) участник знает, что понижает тем самым цену, которую платит за общественное благо, почти не снижая (при большом количестве участников т) уровень общего блага. Таким образом, здесь возникнет эффект безбилетника (англ, freerider effect). В результате, повидимому, исходом процедуры окажется равновесие с финансированием по добровольной подписке, о котором идет речь в следующем подразделе