4.3 Равновесие с финансированием общественного благапо добровольной подписке (равновесие без координации)

Обозначим добровольный взнос на общие нужды гто участника через U > 0; взнос наряду с расходами на другие блага выплачивается из его фиксированного дохода Д. Собранная сумма полностью идет на приобретение общественного блага: plyl = lu^Пусть содержательно оправдано (например, тем, что все и] > 0) предположение, что цена общественного блага положительна. Мы предполагаем, кроме того, что каждый участник ведет себя нэшевским образом, считая взносы ti прочих участников заданными, при выборе своего взноса U.

Тогда задача индивидуальной рациональности потребителя примет вид:

щ(х1,х?,..., ж) — >• max, (60)

k=2 j^i

Определение 4.3.1 В данной модели равновесие без координации или, иначе, равновесие с финансированием по добровольной подписке есть набор (p,t,x,y), такой, что выполнены (і) условия индивидуальной рациональности (56), (60) производителей и

35

потребителей, (и) полубалансы, включая условие х\ = у1 (\/г), и (т) условия дополняющей нежесткости (закон Вальраса) в форме Y?k=2pk(yk — Y.iXk] = 0.

Предполагая обычные условия ВЫПУКЛ, ГРАД, и что точка равновесия (t,x,y) — внутренняя (в смысле t >т^ 0, х > 0) применим теорему КунаТаккера и получим дифференциальные соотношения первого порядка. При нахождении условия равновесия потребителя г для которого Ц > О, подставим выражение для х} = у1 прямо в целевую функцию:

dL/зц = йЩи + ^t3)/P\x)/p1 л = о, (6І)

&І

дЬ/дх\ = й%(у1, х) \pk = 0 (k = 2,1)(62)

где A — множителем Лагранжа для бюджетного ограничения.

Для участников же недостаточно заинтересованных в общем благе, для которых (xi ^> 0, и = 0) получим (взяв переменную Лагранжа vі > 0 для ограничения U > 0) аналогично:

l А + ^г = 0, (63)

jV* dL/dxk = uk(y\ х) \pk = 0 (k = 2;/)(64)

Получим диф.

u}(y\x)/uk(y\x)=pl/pk = l/gk(y] (Mi: ti > 0). (65)

Для любой пары частных благ выполняется обычное соотношение (58): Сопоставив полученное с диф. характеристикой (51) любой Паретооптимальной точки х увидим, что эти системы уравнений могут иметь общее решение (ж, у) = (х, у) в довольно редких случаях: 1) когда потребитель всего один m = 1, либо 2) когда только у одного потребителя положительные производные по общественному благу (например ul(yl,Xi) = 0 (г ^ 1)), либо 3) когда подобные производные одних участников положительны, а других отрицательны и происходит точное уравновешивание. Более точно, имеет место теорема неэффективности:

Утверждение 4.3.1 Пусть в экономике с общественным благом (52) выполнено ВЫПУКЛ, все функции дифференцируемы, и реализовалось равновесие без координации (р,t,х,у), внутреннее: (у1,ж) ^> 0, и такое, что u\(yl,Xi) > 0 (г Є /), причем ti > 0, u\(yl,Xi) > 0 хотя бы для двух участников і = i\,i = 12. Тогда (I) равновесие не Паретооптимально, причем (II) в равновесии имеет место (локальная) недостаточность уровня общественного блага, в том смысле, что можно достичь Парето улучшения повысив на сколькото этот уровень и перераспределив ресурсы.

Доказательство. Мы уже доказали (I) (несовместностью диф. характеристик) для случая, когда все U > 0 (проверку другого случая опускаем, она аналогична). Недостаточность же (II) доказывается построением дифференциально малого Парето улучшающего сдвига из точки равновесия: dyi > 0 и dx\l = dykl = —dyiu^/й^ < 0. Окажется, что в новой точке (х,у) никто из

36

участников не проигрывает по сравнению с равновесием, в частности, du^ = 0, а по крайней мере участник г2 строго выигрывает. ц

Комментируя результат, вопервых, отметим, что в рассматриваемой ситуации неоптимальности чаще всего появляется один или несколько "безбилетников делающих нулевые взносы ti = 0 и пользующихся общественным благом задаром.

Вовторых отметим, что дифференцируемость является необходимым условием для выявленной неоптимальности.

щ(у1,х2) :=min{atV;a^t(:rf,...,a;i)}, (66)

где а] > О, а2 > 0 — произвольные, возможно разные для участников, заданные коэффициенты взаимодополнительности, Vi = Vi(x?,...,xl) — некоторая функция выражающая полезность участника г от частных благ. Можно показать (Сотсков 1982), что если в экономике с общественным благом (52) целевые функции имеют взаимодополняющий вид (66), то равновесие без координации всегда Паретооптимально.

Аналогичный эффект возникает, если общее благо дискретно: если ктото не вложит денег — оно исчезнет. Недифференцируемость — это 4й случай эффективности "добровольного" равновесия, видимо довольно редкий, как и случаи 13 рассмотренные выше. 5й случай может реализоваться, если нарушить условие внутренности. Например, если п участников готовы платить за единицу общественного блага по 1$, а она стоит 4тг$, то в точке (ti,...,?„) = 0 возможен оптимум. Аналогичный, обратный, случай: когда все участники ценят частные блага настолько мало по сравнению с общим, что все деньги тратят на общее: х\ = О, k = 2,...,/, г Є /; здесь тоже возможна оптимальность.

Итак, Парето оптимальность равновесий с общим благом без координации в реальности довольно редка. Однако на самом деле в ситуациях внешне "добровольного" финансирования не всегда реализуется именно "равновесие без координации". В частности, большая чем в России чистота улиц во многих западноевропейских странах при примерно одинаковой с Россией интенсивности профессиональной уборки наводит на мысль, что там имеет место равновесие с неявной координацией: донесение мусора до урны считается обязательным, а не добровольным личным взносом в общее благо, и мораль исполняет роль полицейского поддерживающего эту координацию.

Пример 4.1 (Неэффективность без координации) Пусть в экономике 3 участника, частный товар один k = 2 (например, деньги), а целевые функции имеют вид Ui = ai\n(yl) + х2 (і = 1,2,3),28 где коэффициенты с^ возьмем равными і.

При нескоординированном приобретении общественного блага каждый приобретает его на сумму tir так что общее его количество составит у1 = ^ ^. Каждый из соседей будет максимизировать функцию Іц = iln(ti +12 +13) + w2 — U при ограничении ti > 0. В максимуме і/у1 < 1, причем выполняется условие дополняющей нежесткости (1 — i/yl)ti = 0. Поскольку в равновесии условия для всех трех соседей должны выполнятся одновременно, то ненулевой взнос сделает только один из них, и для

28В примере всюду верхние индексы, а не степени.

37

него і/у1 = 1. Это будет тот сосед, который ценит общественное благо больше, а именно третий. Остальные предпочтут пользоваться благом бесплатно. Отсюда у1 = із = 3, ti = t2 = 0. Как мы увидим ниже, в Парето оптимуме у1 = 6, то есть количество общественного блага меньше оптимального