Потребительский излишек: определение, связь с прямой и обратной функциями спроса
Пользуясь выведенными выше характеристиками потребительского выбора, проанализируем связь индикатора благосостояния W(x, у) с площадью под кривой спроса.
Величина CS{ = г\(хл,..., ха) - pxi - г>Д0,..., 0) называется потребительским излишком.
В дальнейшем без потери общности будем предполагать, что г>;(0,..., 0) = 0.Мы рассмотрим случай квазилинейных сепарабельных
i
функций полезности, т.е. г>;(жа,..., хй) = Потребительский
к= 1
излишек при этом получается суммированием потребительских
излишков, получаемых потребителем на рынках отдельных благ:
i i
C'^i ~ ~}Z(vik(xik) ~ Pkxik) ~ к=1 к=1
где CSik = vik(xik) - pkxik.
В этом случае геометрически излишек потребителя на рынке к-го блага равен площади фигуры, лежащей под графиком функции обратного спроса выше цены этого блага (см. Рис. 37).
Поясним это. Рассмотрим потребительский излишек как функцию цен: i
С Sip) =ЕЫж;*(А-)) -Ркхгк(Рк)] =
к= 1 I
= J2csik(Pk)-
к= 1
Функции CSlk(pk) = v,k(x,k(Pk))- Ркх,к(Рк) определены при всех ценах рк > р и, кроме того, не могут быть отрицательными.
, , .. Рисунок 37. Излишек
vtk(xAPk)), то при потребителя
Как было доказано, xik(pk) —> 0 при рк °о, откуда Vtk(xtk(pk)) 0 при рк °о. Поскольку ркх1к(рк
росте цены блага расходы на его при-
обретение стремятся к нулю, т.е. pkxik(pk) —>0 при рк—>
Функция C'S^p) является дифференцируемой, если функция полезности дважды дифференцируема. Дифференцируя ее, получаем (с учетом условий первого порядка для задачи потребителя), что при хк(рк) >0
dCS,(p)_ dCSJPt) " Эр, " дрк ¦ (Читателю предоставляется проверить этот факт самостоятельно).
Если xk(t) > 0 при всех t > рк, то проинтегрировав обе части этого дифференциального уравнения, получим
Рк ai Рк
Откуда
cstk(p) - limt^CSlk(t) = Jxlk(t)dt,
p
что позволяет выразить излишек потребителя г от потребления блага к в виде
CStk(p) = I,•,(/!'// + limt^CSlk(t).™
р
Поскольку второе слагаемое в этом соотношении равно нулю:
limt^CSlk(t) = 0,
CSlk(p)=]xlk(t)dt.
р
В силу того, что функция pik(-) является обратной к функции
xik(-), имеет место соотношение
х.Лр)
CS,iXP)= I РгМУк-рХгк{р), 0
В итоге, общий потребительский излишек получаем суммированием этих интегралов по всем рынкам:
cst(p)=i:cslk(p)=i:]xlk(t)dt=
I: I, \ ji
I x.Ap) I
= E I Pik(t)dt.-pJ2xik(p).
k= 1 о ,=1