14.1.2 Свойства равновесия Курно в случае функций издержек общего вида

Вышеприведенные результаты получены при достаточно сильном предположении о функции издержек. Ниже будут приведены естественные обобщения полученных результаров при отказе от этого предположения.

Существование равновесия

Прежде обсудим условия на функции издержек и функции спроса, при которых равновесие Курно существует.

Теорема 135:

Предположим, что в модели Курно выполнены следующие условия:

функции издержек C* (y) дифференцируемы при всех возможных объемах выпуска (неотрицательных y),

мбратная функция спроса p(y) непрерывна и убывает при всех неотрицательных y,

функция p(y + y') ? y вогнута по y при любом y' ^ 0,

функции издержек cj(y) выпуклы (функции предельных издержек не убывают) ,

существуют Yj > 0 (j = 1,..., n) такие, что p(yj) < cj (У*) при yj ^ Yj . J

Тогда равновесие Курно (у*,...

Доказательство: Доказательство оставляется в качестве упражнения. Ниже приводится возможная схема такого доказательства.

Докажите, что при любых (разумных) ожиданиях относительно выпуска конкурентов ни одному из производителей не выгодно выбирать объем производства, превышающий объем yYj . Тем самым, выбор каждого участника может быть ограничен компактным множеством. Можно использовать тот же способ доказательства, что и для монополии. При этом аналогом совокупного излишка будут функции J0 p(t)dt - C* (y) - C* (0). При доказательстве удобно учитывать, что для каждой фирмы j суммарный выпуск других фирм Y-* есть константа, поэтому задача максимизации прибыли по yj сводится к максимизации прибыли по Y при ограничении Y ^ Y-* .

Докажите непрерывность и вогнутость функции прибыли каждого участника при любых ожиданиях относительно выбора других.

Воспользуйтесь теоремой Нэша. ?

Сам факт существования равновесия, хоть и повышает доверие к модели Курно, но мало полезен для анализа олигополистического рынка.

Сравнение равновесия Курно с равновесием при совершенной конкуренции

Нижеследующие результаты дают сравнительную характеристику объемов производства в отрасли при разных типах ее организации.

Теорема 136:

Предположим, что равновесие Курно, (У? ,...,УП) , и равновесие при совершенной конкуренции, (yi,...,yn), существуют, и обратная функция спроса p(y) убывает. Тогда суммарный выпуск в равновесии Курно, Y * = Еn=i У*, не превышает суммарный выпуск в условиях совершенной конкуренции, Y = En=i yi.

Если, кроме того, выполнены следующие условия:

Y > 0,

обратная функция спроса, p(y), и функции издержек, cj (y), j = 1,..., n дифференцируемы при всех неотрицательных y, причем p(Y*) < 0

функции издержек, cj (y), выпуклы,

то Y * меньше Y. J

Доказательство: (1) Поскольку выпуск yj максимизирует прибыль j -ого производителя в предположении, что суммарный объем производства остальных равен Y-j, то должно выполнятся неравенство

p(Y * )y* - cj (y*) ^ p(Y-j + К- )К - cj (К).

С другой стороны, yj дает j -му производителю максимум прибыли в предположении, что цена неизменна и равна p(Y), поэтому

P(Y)& - cj (yj) ^ p(Y)y* - cj (yj*).

Если сложить эти два неравенства, то получается

p(Y*)y* + p(K)yj ^ p(Y-j + К-)К + p(Y)y*. (?)

Предположим, что существует такая фирма j, которая в равновесии Курно производила бы больше, чем в конкурентном равновесии:

* ^ - yj > yj.

При убывающей функции спроса из этого неравенства следует, что

P(Y-j + К) >p(Y *). Поскольку yj ^ 0, то из этого следует, что

P(Y-j + К-)К ^ P(Y*)К. Сложив это неравенство с неравенством (?), получим

p(Y*)y* + p(Y)yj ^ p(Y*)К + p(Y)y*

или

[p(Y *) -p(Y)](y* - yj) ^ 0.

Поскольку мы предположили, что y* > У*, то

p(Y*) ^ p(Y).

В силу убывания функции спроса это означает, что

Y * ^ Y.

С другой стороны, пусть наше предположение неверно, и для всех фирм выполнено y* ^ yj.

(2) Докажем, использовав дополнительные условия, что неравенство здесь строгое. Предположим, что это не так, и суммарные выпуски совпадают, т. е. Y * = Y.

Может быть только два случая: либо yj* = yj для всех j = 1,...,n, либо yj < y* для некоторого j .Ив том и в другом случае существует производитель j, для которого у* > 0 и У* ^ У*. Для этого производителя дифференциальная характеристика равновесия Курно имеет вид

P(Y *)+ p'(Y* )y* = cj (y*). Из выпуклости функции издержек следует, что

cj (У* ) < cj (y*).

Таким образом

P(Y*)+ p'(Y*)y* ^ cj (yj)= p(Y). С учетом того, что Y * = YK, имеем p(Y*) = p(Y), откуда

p'(Y*)y* ^ 0,

что противоречит тому, что функция спроса имеет отрицательный наклон. Таким образом

Y*Симметричность равновесия, положительность выпусков и единственность

В частном случае, когда издержки у всех производителей одинаковы, т. е. cj (y) = c(y), можно доказать, что в равновесии выпуски всех производителей одинаковы (равновесие будет симметричным), и положительны. Кроме того, в предположении одинаковости издержек несложно доказать единственность равновесия.

Теорема 137:

Предположим, что равновесие Курно (У? ,..., УП) существует и выполнены следующие условия:

издержки у всех производителей одинаковы, C*(y) = c(y), j = 1,..., n, причем c(y) - выпуклая функция;

обратная функция спроса, p(y), и функция издержек, c(y), дифференцируемы;

p(0) > c'(0);

p(y) убывает.

Тогда верно следующее:

Y *

yj = - Vj = 1 ,...,n. ' n

Равновесие симметрично:

yj

и каждая фирма выпускает в равновесии положительное количество продукции, т. е.

у* > 0, Vj = 1,..., n.

Если, кроме того, функция р(у)у вогнута, то равновесие единственно. J

Доказательство: (i) Покажем, что если функции издержек одинаковы, то каждый производитель в равновесии Курно выпускает одинаковое количество продукции. Действительно, предположим, что существуют производители j и k, такие что у* > у*. Тогда из условий первого порядка следует, что

p'(Y *)(у* - у**) < с'(у**) - с' (у**).

Но левая часть данного соотношения положительна, а правая - неположительна.

Y *

у* = - Vj.

jn

Суммарный выпуск отрасли, Y*, не может быть равным нулю. В противном случае из условия первого порядка любого из участников следует, что

p(0) - с'(0) < 0,

а это противоречит условию теоремы. Таким образом, у* > 0, Vj.

(ii) Дифференциальную характеристику равновесия Курно можно в данном случае переписать в виде

Y * (y *\ p(Y*)+ p'(Y*) - - с' - =0, nn

или

n - 1 1 (Y *\

p(Y*) +- [p(Y*) + p'(Y*)Y*] - с' - =0.

n n n

Из вогнутости функции р(у)у следует, что ее производная р(у) + р'(у)у не возрастает. Аналогичным образом, из выпуклости функции с(у) следует неубывание предельных издержек. Учитывая убывание обратной функции спроса р(у), получаем, что выражение в левой части дифференциальной характеристики убывает. Отсюда следует единственность объема Y*, удовлетворяющего данному уравнению. ?

Нижеприведенный пример показывает, что в случае, если функции издержек олигополи- стов не совпадают, то нельзя гарантировать симметричность равновесия и положительность выпусков; объемы выпуска в модели Курно у некоторых участников могут быть и нулевыми.

Пример 70:

Пусть в дуопольной отрасли р(у) = 4-4у, С1(у1) = 2у2, с2(у2) = 2у|+3у1. Легко проверить, что равновесием Курно в этом случае будет точка у1 = 1/3, у2 = 0. Д

Еще один пример показывает, что условие дифференцируемости функции спроса важно для симметричности и единственности равновесия Курно.

Пример 71:

Пусть в дуопольной отрасли

f 7-У, y < 1,

p(y) = ^ 6

[7 - 6y, y ^ 1

и C*(y) = y2/4, j = 1,2. В такой отрасли помимо симметричного равновесия, (1/2,1/2), существует бесконечно много асимметричных равновесий, в которых суммарное производство равно 1, например, (1/3, 2/3 ) . Д

Поведение равновесия в модели Курно при росте количества фирм

Тот, кто изучал начальный курс микроэкономики, мог встретить неформальное утверждение о том, что если в отрасли достаточно много примерно одинаковых предприятий, так что доля отдельного предприятия в общем выпуске отрасли мала, то каждое предприятие можно рассматривать как не обладающего рыночной властью (т. е. ценополучателя, принимающего цены как данные), и ситуация в отрасли может быть довольно точно описана моделью совершенной конкуренции. Смысл утверждения состоит в том, что с ростом количества участников олигополии отрасль в некотором смысле все более приближается к конкурентной. Докажем вариант этого утверждения в частном случае, когда в модели Курно издержки у всех производителей одинаковы, т. е. c*(y) = c(y).

Теорема 138:

Предположим, что равновесие Курно, (у?,... ,УП) , и равновесие при совершенной конкуренции, (у?,... ,yn), существуют при любом n ^ 2, и выполнены следующие условия:

c*(y) = c(y),j = 1,... ,n, причем c(y) - выпуклая функция;

обратная функция спроса p(y) строго убывает, а функция p(y)y вогнута ;

обратная функция спроса, p(y), и функция издержек, c(y), непрерывно дифференцируемы при всех неотрицательных y,

c'(0) > 0, p(0) > c'(0) и существует величина Y° такая, что p(Y°) = c'(0). Тогда

суммарный выпуск в равновесии Курно c n участниками, YJ*, растет с ростом n и меньше величины Y° ;

выпуск отдельного участника, Y*/n, падает с ростом n, причем limn-TO Y*/n = 0;

прибыль отдельного участника,

Y Y

p т - c("IT )o

падает с ростом n;

(iv) limn^^ Y* = Yn = Y°, где Y^ - суммарный выпуск тех же предприятий в

условиях совершенной конкуренции. J

Доказательство: Как доказано выше, при сделанных предположениях каждый из участников в равновесии Курно будет выпускать положительное и одинаковое количество продукции:

*

у* = - Vj,

jn

и дифференциальную характеристику равновесия Курно можно в данном случае переписать в виде

* (Y *\ p(Y *)+ p'(Y *) - = с' - .

nn

Решение этого уравнение будет единственным (по Теореме 137) равновесием Курно.

(i) Учитывая это соотношение, запишем дифференциальные характеристики равновесий Курно в ситуации с n + 1 и n олигополистами:

P(!"*+1> + Р'(Y=*+1>-+Г= С' (n+l)?

и

* (Y *\ P(Y**)+ p'(Y**) Y* = с^ Y* J.

Используя эти соотношения, мы можем показать, что суммарное выпуск в олигополисти- ческой отрасли возрастает с ростом числа олигополистов.

Предположим, обратное: существует такое n, что Y*+1 ^ Yn. При этом из убывания?? обратной функции спроса следует, что

np(Yn*+1) ^ np(Yn*) и 0 > p'(Y*) Yn??.

Из вогнутости функции р(у)у следует, что ее производная не возрастает, т. е.

P(Y**+1) + p'(Yn*+1)Y**+1 ^ p(Y**) + p'(Y**)Yn*. Сложив три последние неравенства, получим

np(Y**+1) + P(Y**+1) + p'(Y**+1)Yn*+1 >

> np(Yn*) + p'(Y**)Yn + p(Y**) + p'(Y**)Yn*.

или p(Yn*)+ p'(Y**) Yn

(n + 1)

> (n + 1)

P(Yn*+1)+ p'(Y**+1) ;Yn*+1

n+1

Выражения в квадратных скобках представляют собой левые части условий первого порядка для Y*+1 и YJ* соответственно, поэтому

с' (n^) >с' (f) o

Из выпуклости функции издержек следует, что предельные издержки растут, поэтому данное неравенство может быть выполнено только если

Y

Yn+1 > Yn

n+ 1 n

но это противоречит исходному предположению о том, что Y*+1 ^ YJ*. Таким образом, мы доказали, что последовательность объемов производства YJ* возрастает по n .

Чтобы доказать, что YJ* < Y° достаточно доказать, что Y" ^ Y°, поскольку, согласно Теореме 136, YJ* < .

Воспользовавшись дифференциальной характеристикой конкурентного равновесия, возрастанием предельных издержек и определением величины Y°, запишем

p(Yn)= c'(Ylj ^ c'(0) = p(Y°). Поскольку, по предположению, обратная функция спроса убывает, это означает, что Y^ ^

Y° .

(ii) Мы хотим доказать, что YJ*/n является убывающей последовательностью. Поскольку p(y)y - вогнутая функция, то она лежит под своей касательной. Поэтому

P(Y**+i)Yn*+i < p(Yn*)Yn* + [p(Yj) + p'(Y*)Y* ](Yj*+i - Y**)

или

[p(Y**+i) - p(YJ* )]YJ*+i ^ p'(YJ* )YJ* (Y**+i - Yn).

Поскольку суммарный выпуск положителен, то это неравенство можно переписать в виде

n + 1 Y * - Y * Y *

^ [p(Y*+i) - p(Yn*)] < (n + 1) n+i* n p'(Y**)Yn

Пусть доказываемое неверно и для какого-то n выполнено

Y

Yn+1 - Yn

n + 1 n

т. е.

Y Y

(n + 1) n+i* n > 1.

Yn+1

Из (*) и последнего неравенства следует в силу того, что p'(YJ*) < 0, что

n+1 Y

+ -[p(Yn*+i) - p(Y**)] < p'(Yn*) YJ,

n n

поскольку p'(YJ*) < 0 .

Так как YJ*+i > YJ*, то из убывания обратной функции спроса при n ^ 2 следует, что

[p(Y**+i) - p(Y**)] (n - < 0.

Из вогнутости функции p(y)y следует, что ее производная не возрастает, т. е. при YJ*+i > YJ* выполнено

p(Y*+i) + p'(Yra*+i)Y**+i < p(Y**) + p'(Y*)Yra*. Складывая три последние неравенства, получим, что

np(Y*+i) + p(Y*+i) + p'(Y*+i)Y*+i <

np(YJ*) + p'(Y*) YJ + p(Y*) + p'(Yra*)Yra*. Приводя подобные и разделив на n + 1 , получим

p(Y*+i)+ p'(Y*+i)^ < p(YJ*) + p'(Y*)YJ.

Учитывая дифференциальные характеристики равновесия Курно, это означает, что

с' (Йг) <с' (§) .

Из выпуклости функции издержек получаем требуемое

Y

Yn+1 < Yn

n+ 1 n

Далее, убывание выпуска отдельного участника до нуля, т. е.

Y

lim yJ = 0,

n-n

следует из того, что суммарный выпуск Yn ограничен сверху величиной Y° . (iii) Так как спрос убывает, то при Y*+1 > YJ*

p(Yi+1)Y**+1 < p(Y*)YJ**+1.

Это неравенство можно переписать в виде

P f+P(Y*) (n+1- ?).

С другой стороны, функция издержек, как выпуклая функция, должна лежать выше своей касательной, поэтому

cfY*±1^ > ]+ с' f^ Z^1

n+ 1 n n n+1 n Комбинируя два неравенства, получим, что

Y * \ \ I Y * Y *

1 I I Jn+1 Y n

Пп+1 < Пп - I с' - p(Yn*)

n J I \ n + 1 n /

где мы обозначили через Пп прибыль отдельного участника в отрасли с n фирмами в точке равновесия Курно:

Y Y

Пп = p(Yn*) - с ^ . n n n

Из условий первого порядка

Y Y

с' yJ - p(Yn*)= p'(Y**) yJ < 0.

Поскольку -П+1 < ^п*, то Пп+1 < Пп.

(iv) Запишем еще раз дифференциальную характеристику равновесия Курно:

Y Y

P(Y**)+ p'(Y**)yJ = с^y^J .

Здесь YJ лежит в интервале [0, Y°]. Так как производная обратной функции спроса непрерывна, то первый сомножитель во втором слагаемом - величина ограниченная, на этом интервале она достигает своего максимального значения. Делая оценки, мы можем первый сомножитель

заменить его максимальным значением. Второй сомножитель представляет собой величину, которая убывает до нуля при n - то. Поэтому

lim p'(Yn*)^ = 0.

Так как Yn /n стремится к нулю, то в силу непрерывной дифференцируемости функции издержек ( )

Таким образом,

P(Y**) - с'(0)

Вспоминая, что с'(0) = p(Y°), получим из непрерывности и убывания обратной функции спроса, что

Y * Y °.

п

Поскольку конкурентный объем

производства, YJ, лежит между Y* и Y , то он стремится к

тому же пределу:

Yn - Y°. ?

Уменьшение монопольной власти при росте числа конкурентов - это довольно реалистическая, согласующаяся с нашим представлением о монопольной власти картина. Когда производителей много, то каждый из них оказывает малое влияние на рынок, на цену, по которой может продаваться продукция, и поэтому сама модель Курно как модель, описывающая феномен несовершенной конкуренции, оказывается привлекательной.

Следующий пример иллюстрирует приведенные выше утверждения в случае линейной функции спроса и постоянных предельных издержек.

Пример 72:

Пусть обратная функция спроса линейна: р(у) = a - Ьу, а функции издержек имеют вид с,- (у,) = су, (j = 1,..., n), так что каждая фирма максимизирует

П, = (a - bY)у, - су,.

Условия первого порядка максимума прибыли имеет вид

a - bY * - Ьу, = с.

Просуммировав по j, получим

na - nbY * - bY * = -С.

Таким образом, равновесный объем выпуска равен

Y* = n(a - с)

(n + 1)b.

В частности, при дуополии

Y* = 2(a - с)

зь .

Равновесная цена равна

* . n(a - с) a + -С ba - с

Р = a - b- = - = с + -:-

(n + 1)b n + 1 n + 1 b

Выпуск в случае совершенной конкуренции был бы равен

г = -c.

То есть, как и следует из теории, Y * ^ Y. При увеличении количества фирм в олигополии суммарный объем производства все больше сближается с объемом при совершенной конкуренции:

n(a - c) a - c

lim -у = ---,

n-(^ (n + 1)b b

а цена стремится к предельным издержкам:

a + nc

lim - = c. д

n-n +1 Д