4.Равновесие производителя в случае двух продуктов. Отдача от масштаба производства. Производственная функция Кобба-Дугласа.

Мы уже рассмотрели случай производства одного продукта и использования двух ресурсов. Однако обычно на практике предприятия производят несколько продуктов одновременно, используя при этом различные ресурсы.

Линейная модель производства

Предположим, что некоторое предприятие выпускает продукты X и У, расходуя при этом ресурсы М и N. Введем обозначения:

      х — выпуск продукта X;

     у — выпуск продукта У;

m — имеющийся в наличии объем ресурса М (его запас);

n — имеющийcя в наличии объем ресурса N (его запас);

a — расход ресурса М при производстве единицы продукта X;

                 a — расход ресурса M при производстве единицы продукта X;

а21 — расход ресурса N при производстве единицы продукта Y;

а22 — расход ресурса N при производстве единицы продукта Y;

рх — цена продукта X;

ру — цеyа продукта У.

В данном случае никакая обычная производственная функция не может описать процесс производства, поэтому роль производственной функции выполняет функция общего дохода (выручки):

              (1)

Первое слагаемое в правой части равенства (1) равно стоимости произведенного продукта X, а второе слагаемое — стоимости произведенного продукта У.

Отметим, что при заданных запасах ресурсов максимум прибыли достигается одновременно с максимумом выручки, поскольку здесь прибыль равна разности переменной выручки и постоянной величины затрат на ресурсы. Поэтому функция выручки (1) является в данном случае целевой функцией производителя.

Изокванта целевой функции производителя есть множество наборов продуктов одинаковой стоимости. В линейной модели производства изокванта изображается отрезком прямой, наклон которого к осям ординат определяется отношением цен продуктов.

В своем стремлении максимизировать выручку производитель двух продуктов, как и производитель одного продукта, сталкивается с определенными ограничениями. Если в случае одного продукта ограничителем служила величина бюджета производителя, то в случае двух продуктов каждый используемый ресурс дает свое ограничение, связанно с ограниченностью запаса ресурса.

Получим первое ограничение. Расход ресурса М при производстве всего количества продукта равен а11х, а его расход при производств всего количества продукта У равен а12у. Поскольку суммарный расход не может превосходить запаса ресурса, первое ограничение запишется следующим образом:

                                              (2)

Аналогично второе ограничение, отвечающее ресурсу N , запишется как:

                                              (3)

Планом производства называют пару выпусков продуктов (х; у), которая удовлетворяет обоим ограничениям (5.2 и 5.3).

Равновесный (оптимальный) план производства есть такой план, который максимизирует функцию выручки (1) при заданных двух ограничениях. С формальной точки зрения нахождение равновесного плана производства состоит в максимизации линейной функции выручки при линейных ограничениях. Эта задача линейного программирования для случая двух продуктов имеет достаточно простой и наглядный геометрический метод решения.

Равновесие в линейной модели производства

Рассмотрим геометрический метод определения равновесия производителя, выпускающего два продукта в рамках описанной выше линейной модели производства. Суть данного метода заключается в следующем.

Оптимальность или неоптимальность вершины многоугольника зависит от наклона изоквант функции выручки. Условие оптимальности плана производства состоит в том, что проходящая через него изокванта функции выручки не должна пересекать внутреннюю часть многоугольника. Иными словами, в точке равновесия изокванта функции выручки касается многоугольника планов.

Пример 1. Запасы ресурсов, технологические коэффициенты и

цены продуктов заданы в табл. 1. Найдем оптимальный план производства.

Таблица 1. Линейная модель производства

Функция выручки:

    TR=10x+15y.

Ограничение для первого ресурса:

         4х + 2у   100.             

            Ограничение для второго ресурса:

                           2х + 5у < 90.

Пересечение полуплоскостей, задаваемых ограничениями, образует в области положительных значений выпусков четырехугольник ОАВС с вершинами О (0; 0), А (0; 18) и С (25; 0). Чтобы найти координаты вершины В решаем систему двух уравнений, отвечающих ограничениям, отсюда х  = 20,у = 10.

На рис. 3 изображены два случая пересечения изокванты функции выручки и множества планов производства ОАВС.

Итак, оптимальный план производства В включает 20 единиц продута Х и 10 единиц продукта У. Максимальная выручка равна 350 (10•20

+ 15 • 10).

а) С- не оптимальный план                                 б) В- оптимальный план

Рис. 3. Производство двух продуктов