14.1.1 Свойства равновесия Курно в случае постоянных и одинаковых предельных издержек

Проведем анализ модели Курно в упрощенном варианте, предположив, что предельные издержки постоянны и совпадают у всех производителей, т. е. cj (yj) = с. Кроме того будем предполагать выполнение условий:

(Cз) функция p(-) дифференцируема и 'p'(y) < 0 Уу > 0.

Симметричность равновесия и положительность выпусков

Докажем, что объемы производства у всех олигополистов совпадают.

p(Y*)+ p'(Y*) ? y** - c = 0

и

p(Y*)+ p'(Y*) ? y* - c < 0.

Вычитая из второго неравенства первое, получим

p'(Y*)(У* - У*) < 0.

Поскольку p'(Y*) < 0, то y* ^ yj*. Получили противоречие. Таким образом, объем производства у каждой фирмы в равновесии Курно одинаков: yj* = Y*/n yj = 1,... ,n, а условия первого порядка совпадают и приобретают вид

Y*

p(Y*) + p'(Y*) - - c < 0,

причем неравенство заменяется на равенство, если суммарный выпуск Y* положителен.

Если p(0) > c, то в равновесии Курно суммарный выпуск не может быть нулевым, поскольку, подставляя Y* = 0 в условия первого порядка, получаем

p(0) - c ^ 0.

Существование и единственность равновесия

Таким образом, при p(0) > c, выпуск общий положителен и условия первого порядка имеют вид

Y*

p(Y*)+ p'(Y*) - - c = 0,

Заметим, что существование корня этого уравнения можно гарантировать, если выполнены условия C i-C з и, кроме того, функция p(-) непрерывно дифференцируема, поскольку в этих условиях непрерывная функция p(Y) + p'(Y)* - c принимает значения разных знаков на концах интервала [0, Y].

Если дополнительно потребовать, чтобы функция p(y + y') ? y была вогнута по y при любом y' ^ 0, то можно утверждать, что (Y-,..., Y-) - равновесие Курно (выполнено условие второго порядка).

Заметим при этом, что поскольку при сделанном предположении функция p(y)y вогнута, то равновесие Курно единственно, поскольку условие первого порядка выполнено в одной точке.

n[P(Y) + p'(Y)Y] + p(Y)^^ - c.

Первое слагаемое здесь не возрастает, а второе убывает при n > 1, поэтому функция p(Y) + p'(Y) n - c убывает и может быть равной нулю не более чем в одной точке.

В точке Y = 0 (в которой условие первого порядка может не выполняться как равенство) равновесия быть не может, поскольку, как мы предположили, p(0) > c.

Сравнение равновесия Курно с равновесиями при монополии и совершенной конкуренции

Следует отметить три характеристики равновесия Курно:

Объем выпуска Y* в равновесии Курно выше, чем объем выпуска yM при монополии (или картеле, когда производители выбирают выпуск, максимизирующий суммарную прибыль).

Объем выпуска Y* в равновесии по Курно ниже, чем объем выпуска Y в условиях совершенной конкуренции (ситуации, когда производители рассматривают цены как данные).

При росте числа участников объем выпуска в равновесии Курно приближается к равновесию при совершенной конкуренции.

Теорема 133:

Пусть (у*,... ,У**) - равновесие Курно, и (yi,... ,yn) - равновесие при совершенной конкуренции, yM - равновесие при монополии . Предположим, что выполнены условия

C1-C з. Тогда

n n

? = Е yi >Y * = Е у* >yM.

i=1 i=1 -I

Доказательство: Как было показано выше, равновесие Курно удовлетворяет условию

Y *

P(Y *) + p'(Y *) c = 0.

n

Как было доказано в главе о монополии, выполнение C i-C з гарантирует, что yM > 0, поэтому yM удовлетворяет условию первого порядка

p(yM)+ p'(yM)yM - c = 0.

С другой стороны, при совершенной конкуренции, как известно, цена равна предельным издержкам:

p(F) - c = 0.

Вычитая из третьего соотношения первое, получим

Y

p(F) - p(Y*)= p'(Y *) -. Поскольку правая часть соотношения отрицательна, а функция p(-) убывает, то

Y * > Y.

Предположим, что yM > Y *. Тогда увеличение выпуска одного из производителей (например, первого) на величину Y * - yM приводит к росту суммарной прибыли (до монопольно высокой). Поскольку при этом прибыль остальных производителей может только уменьшиться, прибыль первого возрастает, что противоречит предположению о том, что Y * - совокупный выпуск в равновесии Курно. ?

Рост выпуска с ростом числа участников Теорема 134:

Предположим, что выполнены условия C i-C3 и, кроме того, функция p(-) непрерывно дифференцируема. Пусть Yn - суммарный выпуск в равновесие Курно с n участниками. Тогда

lim Yn* = Y. I

n^oo n -I

Доказательство: Для любого Y* выполняются соотношения (условия первого порядка)

p(Yn*)+ p'(Yn*) Yn - c = 0.

Предыдущая теорема гарантирует ограниченность последовательности Y* (Y* ^ (0, ). Так как функция p(-) непрерывно дифференцируема, то из этого следует ограниченность P'(Yn*)Yn*. Отсюда

P'(Yn*) =0.

lim

n-

lim p(Y**) = c.

Следовательно,

n