Равновесие Штакельберга и равновесие Курно

Представляется интересным сравнить объемы производства в модели Курно и в модели Штакельберга. Результат сравнения для ведомого однозначен: в модели Штакельберга он производит меньше.

Пусть уС\ и г/г — объемы производства в модели Курно.

Лидер в модели Штакельберга в предположении однозначности отклика ведомого всегда может обеспечить себе такую же прибыль, как в модели Курно, назначив у1 = уС\, поэтому

P(yi + 2/2) 2П - сх(у\ ) < р(у&1 +2/2)2/1- ci(2/i )-89 С с

Поскольку г/i максимизирует прибыль лидера при у2 = у2, то

P(y'i + 2/2) 2/i - c^y'i) < р(ус1 + г/2) 2/1 - c^yi).

Если г/i >0, то из этих двух неравенств следует, что p(yi + yi) < p(yi + yi).

Из убывания спроса имеем, что

С S 2/2 > 2/2 •

Результат сравнения между объемами производства лидера в двух ситуациях зависит от наклона кривой отклика. В случае,

89 Данное неравенство получено как сравнение прибылей лидера при

S с

выборе им объемов выпуска у\ и у\ . Отметим, что при этом оптималь-

S S с с

ным откликом ведомого на у\ будет у2, а на у\ - у2.

если R2(-) убывает (на достаточно большом интервале, который

С S

должен заведомо включать, как у2 так и 3/2), имеем

С S 2/1 < 2/1 •

Если же R2(-) возрастает, то, наоборот,

С S 2/1 > 2/1 •

Функция Л2( ) убывает, например, в случае линейного спроса и постоянных предельных издержек. Пример возрастающей функции отклика построить достаточно трудно. На Рис. 61 показана кривая отклика, соответствующая обратной функции спроса р(у) = 1/у2 при постоянных предельных издержках. При малых объемах производства лидера она возрастает, а при больших — убывает. Для более общего случая рассмотрим теорему.

j Теорема 29.

j Предположим, что выполнены следующие условия: j 1) обратная функция спроса, р(у), и функция издержек, ! с2(у), дважды дифференцируемы,

j 2) обратная функция спроса имеет отрицательную про- ; изводную: р'(у) < 0, Уу > О, | 3) р\у1 + у2) - с"{у2) < 0 при любых ух и у2, \ 4) отклик R-,(yi) является дифференцируемой функци- | ей.

j Тогда в тех точках ух, где i?2(2/i) > 0> наклон функции j отклика R2(yx), удовлетворяет условию ! -1 < Щу,),

j то есть суммарный выпуск Н2(у\) +Уи возрастает, j Дополнительное условие

! Р'(У1 + У2)+Р"(У1 + У2)У2 < 0 vZ/i> У\

j является необходимым и достаточным для того, чтобы

! Щуг)<0-

Доказательство.

При принятых предположениях докажем, что суммарный выпуск дуополии, i/j +i?2(i/j), возрастает по ух. Функция К2{У\) при всех у1 таких, что R2(yi) > 0 удовлетворяет условию первого порядка — равенству

p(yl + R2(yl))+p(yl + R2(yl))-R2(yl) = c'2(R2(yl)). Дифференцируя это соотношение по ух, получим

Pbi + АЫ )•(! + ЩУ^+РЪ, + л2(г/1))л2(г/1)-(1 + R'2(Vl)) +

+ p'(y1 + R2(y1))-R'2(y1)=c'^R2(y1))-R'2(y1).

Отсюда

(1 + R'2(Vl))• [2p\Vl + R2{y1))+p"(y1 + R2(y1))R2(y1)- c2(R2(y1))] = = p'(yl + R2(yl))-c%XR2(yl)). По условию второго порядка

2р'Ы + Р2Ш)+ р"(у 1 + ЫУ1)У-ЫУ1) - Со"Шу!) И о.

С другой стороны, по предположению

Р(У1 + Р2Ы)-С2ШУ1)) <0-

Это гарантирует, что

2p'(Vl + R2(Vl)) + p"(Vl + R2(yi))-R2(yi)- c2"(R2(Vl)) Ф 0 Получаем, что

1 + Щуг) =

= p'(y,+R*(y,))-c"(R4(y,))

2p'(yl + R2(yl))+p"(yl + R2(yl))-R2(yl)-c2"(R2(yl)Y У } откуда 1 + i?2(i/j) >0 или i?'2(i/j) >-1 .

Докажем теперь неубывание функции отклика Д2(г/)). Условие (*) можно переписать в виде

2р'(уг + Ш))+ Р"Ы + Ш)УШ)~ ))'

В этой дроби знаменатель отрицателен, поэтому условие R'2(yi) <0 эквивалентно отрицательности числителя, что и требовалось. ¦

Пользуясь полученным ранее результатом, получим, что если Д9( ) убывает, то

С . С „ S . S 2/1+2/2^2/1+2/2,

С , С ^ S . S 2/1 + 2/2 > 2/1 + 2/2 •

В первом случае равновесная цена в равновесии Штакельберга не

а если возрастает, то

превышает равновесную цену в равновесии Курно, во втором — наоборот.

Иллюстрация полученных соотношений для случая убывающей кривой отклика представлена на Рис. 62. Из рисунка видно, что поскольку точка равновесия в модели Штакельберга лежит ниже кривой равной прибыли, проходящей через точка равновесия в модели Курно, то объем г/2 должен быть выше у\.

S S

меньше у\ + г/г •

Можно сравнить также прибыли участников в двух ситуациях. Как уже упоминалось ранее, по очевидным причинам прибыль лидера в модели Штакельберга выше. Читателю предлагается доказать самостоятельно простой факт, что прибыль ведомого в модели Штакельберга выше в случае возрастающей функции отклика, и ниже в случае убывающей функции отклика.

Пример 16.

Пусть обратная функция спроса линейна: р(у) = а - by, а функции издержек дуополистов имеют вид с ¦(?/¦) = cy3(j = 1,2). Функция отклика второго равна

г, , * а-с-by.

Подставив ее в прибыль лидера, получим

а-с Ъ , , Hj =-о~2/i - 2 (2/i Г-

Максимум достигается при

s а-с 2/1 =—•

Кроме того, в равновесии

s а-с 2/2- —

Суммарный выпуск равен

s , s з а-с

2/1 +2/2 =4-5-

Это больше, чем выпуск в модели Курно, но меньше, чем выпуск при совершенной конкуренции, то есть имеется неоптимальность. Ф

Приложение

Рассмотрим параметрическую задачу условной максимизации:

f(x,y)->maxy

уе р(ж), (Р)

где же ScRm, (3(ж) с Ж".

Обозначим через т(х) значение целевой функции в максимуме:

т(х) = тах{/(ж, у) \ у е (3(ж)}, а через г(х) — множество оптимальных решений при параметрах

г(ж) = {уе (3(ж) I /(ж, у)=т{ж)}.

Относительно решений этой задачи верна следующая теорема:

j Теорема 30.

j Пусть отображение Р(ж) компактнозначно и непрерыв- j но, а /(ж, у) — непрерывная функция. Тогда j а) функция /?г(ж) непрерывна;

j б) для любого ж е S множество г(х) не пусто и компакт- j но, причем ?-(•) полунепрерывно сверху.

Условия существования и дифференцируемости функции отклика могут быть получены на основе следующей теоремы.

j Теорема 31.

| Рассмотрим задачу (Р) с постоянным отображением j Р(ж) = р. Предположим, что существует пара (ж, у), та- j кая что у е г(х) и уе mf(P).

Доказательство.

Поскольку у является внутренним решением задачи (Р) при ж = ж. Это означает, что пара (ж, у) удовлетворяет условиям первого порядка:

V„/(®,»)= 0.

Условия теоремы гарантируют выполнение всех предположений теоремы о неявной функции относительно соотношения

V„/(®,»)= о

и поэтому существует удовлетворяющая этому соотношению функция у = г (ж), определенная в некоторой окрестности точки ж и непрерывно дифференцируемая в этой окрестности. Из непрерывности г(ж) следует, что существует окрестность точки ж, в которой г(ж) е р.

Поскольку г(ж) удовлетворяет условиям первого порядка и функция /(ж, у) строго вогнута по у, то г(ж) является единственным решением задачи (Р) при данном ж. ¦

Две фирмы, конкурируя на рынке, выбирают объемы производства. Известно, что для этих фирм равновесный объем производства в модели Курно совпадает с равновесным объемом производства в модели Штакельберга. Каков наклон кривых отклика в этой общей точке равновесия? Пояснить графически с использованием кривых отклика и кривых равной прибыли.

Рассмотрим отрасль с двумя фирмами. Пусть обратная функция спроса имеет вид

p(Y)=y,

и обе фирмы имеют постоянные предельные издержки с ¦ (0 < с ¦ < 1). При каких условиях равновесие в модели Штакельберга совпадает с равновесием в модели Курно? Изобразите эту ситуацию на диаграмме (в том числе поведение функций отклика).

Двое олигополистов имеют постоянные одинаковые предельные издержки равные 2. Предполагается, что они конкурируют как в модели Штакельберга. Спрос в отрасли задан обратной функцией спроса P(Y) = 16- 0.5F. Сколько суммарной прибыли они бы выиграли, если бы сумели объединиться в картель?

Рассмотрим дуополию, в которой у 1-й фирмы предельные издержки нулевые, а функция издержек 2-й фирмы равна

с2(у) = ау\

где а > 0 — параметр. Обратная функция спроса в отрасли равна

P(Y) = 1-Y.

5. Докажите Теорему 28 (стр. 109), воспользовавшись указаниями, приведенными в тексте.

6. Докажите, что прибыль ведомого в модели Штакельберга при прочих равных условиях выше, чем в модели Курно, в слу-

Покажите, что при а —> °° равновесие Курно сходится к равновесию Штакельберга в том смысле, что

чае возрастающей функции отклика и ниже в случае убывающей функции отклика.

7. Два олигополиста продают свою продукцию на рынках близких благ, выбирая объемы производства. Их обратные функции спроса равны рх = 2 - у1 + у2 и р2 = 3 - у2 + ух, а предельные издержки равны 1 и 2 соответственно. Найти равновесие при одновременном и при последовательном выборе объемов производства.