Модель Курно и количество фирм в отрасли

Выше, рассматривая поведение выпуска как олигополистиче- ского рынка в целом, так и отдельных олигополистов, мы не касались вопроса положительности прибыли, и по этой причине наш анализ поведения этих характеристик нельзя считать вполне удовлетворительным.

вить издержки каждой фирмы как сумму постоянных издержек, /> 0, и переменных издержек, с (у), где с(0)=0:

c(y)=f+c(y).

Пусть у" максимизирует прибыль монополиста. Мы должны предположить, что постоянные издержки таковы, что монополист действуя на этом рынке, получит неотрицательную прибыль

П(Л>0.

Другими словами, постоянные издержки должны быть не слишком высоки: они не должны превышать прибыль монополиста без учета постоянных издержек:

где П(г/) = П(г/) - /. (Если это условие не выполнено, то рынок не может существовать, то есть не найдется производителей, желающих производить продукцию на этом рынке.)

Через П„ будем, как и ранее, обозначать прибыль, получаемую отдельной фирмой в отрасли, состоящей из п фирм, а через П„ — прибыль без учета постоянных издержек.

Как мы доказали ранее, П„ (а, следовательно, и П„) представляет собой убывающую последовательность. При сделанных нами ранее предположениях прибыль П„ положительна (в том числе, П j > 0) и при увеличении п стремится к 0 (П„ —> 0). Читателю предлагается установить этот факт самостоятельно.

Из убывания и стремления к нулю очевидно, что при 0 < f < flj существует единственное целое количество фирм в отрасли «.(/) такое, что

п„(Л>/>п„(Л+1

или

П„(/)>0>П„(/)+1.

Отметим, что это число единственно в силу строгого убывания прибыли при росте числа олигополистов. Таким образом, для каждого / из промежутка (0, flj] определена функция «(/). Эта функция сопоставляет каждому значению постоянных издержек максимально возможное число фирм, при котором каждая из них получает неотрицательную прибыль.

Докажем, что эта функция не возрастает по / и не ограничена сверху. Пусть /'>/". Тогда по определению функции «(/) мы имеем, что П„(Г) >/'>/"> П„(/»)+1, т.е. П„(Г) > П„(/ -)+1 из убывания прибыли по п мы имеем, что n(f ) +1 > n(f ) или n(f ) > n(f ). Не-

ограниченность сверху следует из того факта, что «(Пд,) = N. Сопоставляя эти два свойства функции «(•), получим, что

Шп^оЧЛ =°°-

Таким образом, чем меньше постоянные издержки, тем больше фирм может войти в отрасль, и в пределе функционирование отрасли все более приближается к ситуации совершенной конкуренции (в силу Теоремы 27).

Мы представили количество олигополистов на рынке как функцию от постоянных издержек. Естественно также рассмотреть вопрос об оптимальном с точки зрения общества числе олигополистов. Это число должно максимизировать совокупный излишек

r" Y*„

W(n) = | p(x)clx - nc(-^-).

0

Пусть n — оптимальное с точки зрения благосостояния количество фирм в олигополистической отрасли.

Следующие рассуждения показывают, что «(/) > ii - 1. По определению п мы имеем, что W(n) ' И'(п 1), или

гл Y* vn-i Y*

| p(x)clx - пс(-тг) > j p(x)dx - (ii - 1 )c(-^Y")

о

или

Y- р Y- Y-

* Y ¦

Прибавив к обеим частям p{Yn_x) ^" ^ , получим

П„_! } p(x)dx - f>,[c(-^-) - с(-f)).

rLi

Так как обратная функция спроса убывает, то

У- У-

п п

J p(x)dx < J p(Yl_l)dx=p(Yl_l)(Yl-Yl_l)

(1) 106

Таким образом, имеем

Пп-i >P(YU) У* + YU) - n - c(^f)} =

В силу выпуклости функции издержек с( ) имеем, что

V- V- V- V- V-

/ 1 71-1 \ / 77 \ ^ / / 1 77-1 \ / 1 77-1 1 77 \

-с(— < с (^-г (^-г-— .

vn-i п.

Воспользовавшись этим неравенством, получим

> - т) - - IT) (ЙГ-Т> =

Из условий первого порядка

Пй-х > - np'(Fli) ^f (Й1-^) > О-

^ v ' n-1 vn-l п ' Таким образом мы получили, что

П„_1>0.

Пусть, как и выше, п(/) — количество фирм в отрасли при постоянных издержках /. По определению 0 >П„(/)+1.

Таким образом, П„_! > П„(/)+1. В силу строгого убывания прибыли по числу фирм, имеем

п - 1 < п(Я + 1

или

п (/) > п - 1.

Это означает, что число фирм в отрасли, п(/), не может быть меньше оптимального числа фирм, п, более чем на 1 фирму. Приведенный ниже пример иллюстрирует случай, когда оптимальное с точки зрения общественного благосостояния количество фирм в отрасли больше, чем при свободном входе для модели Курно.

Пример 15 (продолжение Примера 14).

Для рассмотренного случая, как не трудно получить, прибыль каждого олигополиста равна

тт , , (а-с)2 1

Индикатор благосостояния в зависимости от п равен

w\n)~ 2b 2{n + \)* ь nt- Легко проверить, что для данного примера n(F) = - 1,

где [•] - оператор взятия целой части. В случае если а = 28, Ъ = 10, с = 10, F= 10 легко проверить что n(F) = 0. Для этих значений параметров значение индикатора благосостояния при п принимающих значения от 0 до 2 равны соответственно W(0) = 0, W( 1) =

172 56

-g^-, W(2) = - уд . Откуда следует, что п = 1 - точка локального

максимума. Непосредственным рассмотрением графика функции W(n) убеждаемся, что п = 1 - будет глобальным максимумом этой функции (после п = 2 эта функция начинает убывать).

Задачи

Покажите, что в случае внутреннего равновесия

а) индекс Лернера для отдельного олигополиста,

p-c'i Р '

прямо пропорционален его доле (5() в суммарном выпуске и обратно пропорционален эластичности спроса;

б) средневзвешенный (с весами §_,) индекс Лернера прямо пропорционален индексу Герфиндаля и обратно пропорционален эластичности спроса.

Индекс концентрации Герфиндаля определяется как

Я = Е 5/.

в) Докажите, что при данном количестве фирм в отрасли индекс Герфиндаля минимален в симметричном равновесии.

г) Рассмотрите симметричные равновесия в «симметричной» отрасли с постоянной эластичностью спроса.

Докажите, что в равновесии Курно прибыль любой фирмы ниже, чем в случае, когда эта фирма является монополистом на том же рынке. (Имеется в виду нетривиальное равновесие Курно, когда хотя бы одна другая фирма имеет ненулевой объем производства.)

Докажите существование равновесия в модели Курно, используя приведенные в тексте указания.

Докажите, что если функция спроса убывает и вогнута, а функция издержек выпукла, обе они дважды непрерывно дифференцируемы, то выполняется следующее условие (условие Ха-

p'(Y) + p"(Y) yj<0 и p'(Y) -,"(// ! < О V j, Y, yr

Докажите, что если обратная функция спроса убывает и вогнута, то отображение отклика каждого производителя не возрастает, т.е. если Y-j < Y-j, то для любых у) eRjY-j) и у) eRjY-j) выполнено yj > yj.

Указание. Воспользуйтесь тем, что

ПДУ-;, у)) > ПДУ-;, и ПДГ-J, y2j) > Tljfi'-j, у)). Предположите противное (yj < у]) и используйте определение вогнутости функции.

Предположим, что обратная функция спроса р(у) и функция издержек с-(г/) дважды непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют условию:

p'(Y) + p"(Y) yj<0 и p'(Y) - г" (у ) < О V j, Y, уг (*)

Докажите что при этих предположениях существует единственное равновесие Курно, а если, кроме того, функции издержек всех производителей одинаковы, это равновесие симметрично, т.е. у* =у* У j, г

Указание: Рассмотрите функции двух переменных TJ(Y,yJ)=p(Y)+p'(Y)yJ

Заметим, что если (г/i,..., уп) — равновесие Курно, то T3(Y\ у]) < О,

причем

Tj(Y', у*) = 0, если у] > О,

где Y*= Y. Vi-

j

Покажите, что в условиях (*) функции Tj(Y , yj) монотонно убывают по обеим переменным. Обозначим это предположение (**). Пусть существуют два равновесия Курно, такие что для суммарных объемов производства выполнено Y1 > Y2. Докажите от противного, используя (**), что yj < yj У j. Таким образом, сум-

марный объем производства в двух равновесиях Курно должен совпадать. Рассмотрите случай Y = Y" и докажите, что у3 = у] Vj.

(3) Докажите симметричность равновесия.

Пусть так же, как и в предыдущей задаче, выполнено предположение (**). Рассмотрите внутренние равновесия Курно при п и п+1 участниках. Покажите, что Y„i Y„ и //,.„i < у,„.

Предположим, что предельные издержки у всех производителей постоянны и выполнено предположение (**).

Покажите, что если предельные издержки одного из производителей сокращаются при неизменных предельных издержках других производителей, то их выпуск в равновесии Курно сокращается, а совокупный выпуск возрастает.

Предположим, что выполнено условие (*), функции издержек олигополистов одинаковы и средние издержки не убывают. Тогда благосостояние (измеряемое величиной совокупного излишка) возрастает при росте числа фирм в отрасли.

Покажите, что если в дуополии Курно предельные издержки производителей удовлетворяют соотношению

c'i(y)>c'2(y),

то в равновесии первый производит меньше, чем второй.

Пусть издержки олигополистов в модели Курно постоянны с ¦(?/ ¦) = С ¦, а обратная функция спроса равна

р(у) = ехр(-у).

Показать, что у игроков есть доминирующие стратегии, и найти их. Как будет изменяться суммарный выпуск отрасли с увеличением числа продавцов?

(П 1 = у1р(у1 + у2)-с1(у1)Л \П2 = У2Р(У\ + Уз) - с2Ш)

Рисунок 58. Дуополия Штакельберга

В модели дуополии, предложенной Генрихом фон Штакельбергом, первый участник выбирает производимое количество, у1, и является лидером. Под этим мы подразумеваем то, что второй участник (ведомый) рассматривает объем производства, выбранный первым участником, как данный. Другими словами, второй участник сталкивается с остаточным спросом, который получается вычитанием из исходного спроса величины ух. Ориентируясь на этот остаточный спрос, второй участник выбирает свой объем производства, у2 (или цену, что в данном случае одно и то же). Лидер «просчитывает» действия ведомого, определяет, какая цена устанавливается на рынке при каждом г/j, и исходя из этого максимизирует свою прибыль. В остальном модель повторяет модель Курно.

Эта модель приложима, например, к ситуации, когда в новой отрасли лидирующая фирма выбирает размер строящегося завода (мощность) и решает «работать на полную мощность». Считается, что она хорошо описывает рыночную ситуацию в случае, когда фирма-лидер, занимает значительную долю рынка. Так или иначе, ситуации, представленные в модели не столь и редки на реальных рынках. С точки зрения теории игр модель Штакельберга представляет собой динамическую игру с совершенной информацией, в которой лидер делает ход первым. Дерево игры изображено на Рис. 58.

Выпуски (г/i, yi), соответствующие совершенному в подыграх равновесию этой модели принято называть равновесием Штакельберга. Рисунок 59

Вектор выпусков не есть собственно совершенное в подыграх равновесие. По определению совершенное в подыграх равновесие — это набор стратегий, (yi, ?!(•)), гДе — равновесная стратегия ведомого игрока. (Стратегия ведомого игрока должна быть функцией r2(yj), которая сопоставляет каждому ходу лидера некоторый отклик.)

Определение 15.

Вектор выпусков (у\, yi), называется равновесием Штакельберга, если существует функция (представляющая равновесную стратегию ведомого)

гз(-): М+1-> М+, такая, что выполнены два условия:

Выпуск у2 = Л(ух) максимизирует прибыль ведомого на [О,

при любом выпуске лидера, у1 > 0.

Выпуск yi является решением следующей задачи максимизации прибыли лидера:

П! = угр(уг +ri(yl))yl-cl(yl) maxSi>0-

Равновесие Штакельберга находят с помощью обратной индукции. Лидер, назначая выпуск, рассчитывает отклик ведомого, R2(y1). Отклик будет таким же, как в модели Курно. Вообще говоря, отклик может быть неоднозначным. Тогда различные функции г2(у\), удовлетворяющие условию:

1\(.Ух) е RoXVi) могут задавать различные равновесия.

Мы будем далее предполагать, если не оговорено противное, что оптимальный отклик однозначен, т.е. R2(yj) — функция . Задача лидера в этом случае имеет вид:

Hj = ухр(ух + Д2Ы) Ух - сх(ух) тах^о-

Если решением этой задачи является у\, и г/2 = R2(y\), то (г/i, yi) — равновесие Штакельберга.

Дуополию Штакельберга можно представить графически (см. Рис. 59). Разницу между равновесиями в моделях Курно и Штакельберга иллюстрирует Рисунок 60. Лидер выбирает точку на кривой отклика, которая бы максимизировала его прибыль. В

равновесии кривая равной прибыли лидера касается кривой отклика.

Существование равновесия Штакельберга

Докажем теперь теорему существования равновесия в модели Штакельберга.

I Теорема 28.

j Предположим, что в модели Штакельберга выполнены

j следующие условия:

j 1) функции издержек Cj(y) дифференцируемы,

j 2) обратная функция спроса р(у) непрерывна и убывает,

j 3) существуют у3 > 0 j =1,2 такие, что р(у3) < с'3(у3) при у3

| » У г

\ Тогда равновесие Штакельберга (у\, у2) существует,

j ?

j причем 0 < у3 < уг

Доказательство.

Доказательство этой теоремы во многом повторяет доказательство существования равновесия при монополии.

1) Докажем, что при любых ожиданиях относительно выпуска лидера ведомому не выгодно выбирать объем производства, превышающий объем у2, в том смысле, что П2{уъ у2) < П2(уъ у2) Vy1 при у2 > у2. Рассмотрим разность прибылей:

П2(г/1, у2)-П2(уъ У2)=р(У1 + У2)У2-р(У1 + У2)У2-(с2(у2)-с2(у2)).

Эту разность можно преобразовать следующим образом:

П2(г/1, 2/г) -ЩУи 2/г) =

У2 У2

= р(У\ + 2/г) 2/2 - р(У1 + 2/г) 2/г - \р(У\ + t)dt. + \[p(yl + t) -c'2(t)]dt.

У2 У2

Поскольку р(у) убывает, то р(у1 + у2) < р(у1 + t) при t< у2 и р(у1 + t)< p(t) при у1 > 0, поэтому

Щ2/1,2/г) -П2(г/Ь у2) <

У2

< РЫ + 2/г) 2/г - + 2/г) У2 - Р{У\ + 2/г)(2/г - «/2) + IЬ(^) - c'2(t)\dt =

У2

У2

= (р(уг + 2/2) - р(г/1 + ш)) У2 + J[p(*) - < о.

У2

Таким образом, прибыль ведомого при у2 = у2 выше, чем при выпуске любого большего количества. Тем самым, исходная задача выбора ведомого (при любом наперед заданном у1 > 0) эквивалентна задаче выбора на отрезке [0, у2]. Другими словами, отображение отклика исходной задачи совпадает с отображением отклика в задаче максимизации прибыли ведомого на отрезке [0, у2]. Обозначим множество решений модифицированной задачи при данном у1 через Д2(г/)). Тем самым определено отображение отклика R2: Ж+ I—> [0, у2]. Мы доказали, что -R2(2/I) = ^2(2/1)

По Теореме 30 из Приложения (стр. 112) для любого у множество решений R2(y) непусто и компактно, и, кроме того, отображение Ё2(-) полунепрерывно сверху. (Читателю предоставляется проверить самостоятельно, что эта теорема применима в данном случае.) В силу совпадения Л2( ) и А(') теми же свойствами будет обладать и Д2( ).

2) Рассмотрим теперь следующую задачу:

ГЫ2/1, 2/г) = У\Р(У\ + 2/г) 2/i - Ci{Vi) max vuyil0. (•) У2 E ^2(2/1)-

Докажем, что решение этой задачи существует.

Пользуясь теми же рассуждениями, что и для функции прибыли ведомого, можно показать, что при любом наперед заданном у2 > 0 прибыль лидера в точке у1 = у1 больше, чем во всех точках у1 > у 1. Таким образом, множество решений задачи (•) не изменится, если в нее дополнительно включить ограничение у1 < у1.

Таким образом, нам требуется, чтобы существовало решение задачи максимизации прибыли лидера по ух и у2 на множестве К={{уъ у2) 12/1 е [0,2/i], 2/2 е ЩУг) <= [0, у2] \.

Из доказанных свойств отображения Л2( ) следует, что множество 1Z непусто, замкнуто и ограничено. Существование решения такой задачи следует из теоремы Вейерштрасса.

3) Пусть (г/i, yi) — некоторое решение задачи (•). Теперь выбрав любую функцию r'i(г/j), график которой проходит через точку (г/i, yi), и такую что

r'i(yi)? H2(yi) УУ1,

s

увидим, что выпуск г/i является решением задачи лидера Hj = г/i р(уг + ri (г/!)) г/! - сх (y1) max тг0.

Действительно, этот выпуск максимизирует цели лидера на всем допустимом множестве задачи (•), а значит — и на множестве, суженном дополнительным ограничением у2 е rliy^). Тем самым пара у\, ri(-) удовлетворяет определению равновесия Штакельберга. ¦