Поведение равновесия в модели Курно при росте количества фирм

Тот, кто изучал начальный курс микроэкономики, мог встретить неформальное утверждение о том, что если в отрасли достаточно много примерно одинаковых предприятий, так что доля отдельного предприятия в общем выпуске отрасли мала, то каждое предприятие можно рассматривать как не обладающего рыночной властью (принимающего цены как данные ), и ситуация в отрасли может быть довольно точно описана моделью совершенной конкуренции.

ант этого утверждения в частном случае, когда в модели Курно издержки у всех производителей одинаковы, т.е. Cj(y) =с(у).

\ Теорема 27.

! Предположим, что равновесие Курно, (г/i, ..., у„), и рав- j новесие при совершенной конкуренции, (г/ъ ..., уп), суще- j ствуют при любом п > 2, и выполнены следующие усло- ! вия:

! 1) cj(y) = с(у); 3 = 1; »> причем с(у) — выпуклая функ- | ция;

j 2) обратная функция спроса р(у) строго убывает, а j функция р(у) у вогнута ;

! 3) обратная функция спроса, р(у), и функция издержек, j с (у), непрерывно дифференцируемы при всех неотрица- ; тельных у,

! 4) с'(0) > 0, р(0) > с'(0) и существует величина Y такая, j что p(Y°) =с'(0). I Тогда

j (i) суммарный выпуск в равновесии Курно с п участни- j ками, У„, растет с ростом п и меньше величины Y ; ! (ii) выпуск отдельного участника, Y„/n, падает с ростом j п, причем lim „^xY„/n = 0;

j „ Y'*„ Y*„

j (iii) прибыль отдельного участника, p(Y„)~ - na-

j дает с ростом n; j (iv) lim „ , , V"„ lim „ , , Y„ Y ,

j где Yn — суммарный выпуск тех же предприятий в ус- j ловиях совершенной конкуренции.

Доказательство.

Как доказано выше, при сделанных предположениях каждый из участников в равновесии Курно будет выпускать положительное и одинаковое количество продукции:

и дифференциальную характеристику равновесия Курно можно в данном случае переписать в виде

Решение этого уравнение будет единственным (по Теореме 26) равновесием Курно.

(i) Учитывая это соотношение, запишем дифференциальные характеристики равновесий Курно в ситуации с п+ 1 и п олиго- полистами:

p(Y*n+l) + p'(Y*„+i) = •

и

Используя эти соотношения, мы можем показать, что суммарное выпуск в олигополистической отрасли возрастает с ростом числа олигополистов.

Предположим, обратное: существует такое п, что Y„, < Y„.

np(Yln) > np(Yl) и 0 > p'(Yl) ^f.

Из вогнутости функции р(у)у следует, что ее производная не возрастает, т.е.

p(Yln) +р (Yin) Yin > p(Yl) + p'(Yl)Yl.

Сложив три последние неравенства, получим

np(Y n+i) + p(Y „+1

П+1 ) Y п+1 >

np(Yl) + p'(Yl) ^f + p(Yl) + p'(Yl) Yl.

или

(п+1)[р(Кн) +p(Yln) Ifrl > + +P'(Yl)

Выражения в квадратных скобках представляют собой левые части условий первого порядка для Y„n и Y„ соответственно, поэтому

/A ^ /А

Из выпуклости функции издержек следует, что предельные издержки растут, поэтому данное неравенство может быть выполнено только если

Y П+1 ^ Y п п+1 п '

но это противоречит исходному предположению о том, что Y„+1 < Y„. Таким образом, мы доказали, что последовательность объемов производства Y„ возрастает по п.

Чтобы доказать, что Y„ < Y достаточно доказать, что Y„ < Y , поскольку, согласно Теореме 25, Y„ < Y„.

Воспользовавшись дифференциальной характеристикой конкурентного равновесия, возрастанием предельных издержек и определением величины Y , запишем

р(У„)=с'&)2сЩ=р(у°).

Поскольку, по предположению, обратная функция спроса убывает, это означает, что Y„ < Y .

(ii) Мы хотим доказать, что Y„/n является убывающей последовательностью.

Поскольку р(у) у — вогнутая функция, то она лежит под своей касательной. Поэтому

< P(YI)yi+[р(К)+- Y*„)

или

[p(lCi) - p(Yl)]Yln < p'(Yl)Yl(Yln - Yl). Поскольку суммарный выпуск положителен, то это неравенство можно переписать в виде

-i л+1

Пусть доказываемое неверно и для какого-то п выполнено

Yп+1 > Y п П.+ 1 ^ П '

т.е.

1.

1 п+1

Из (*) и последнего неравенства следует в силу того, что

p'(Y*„)< 0, что

поскольку p'(Y„) < 0. Так

как Y n+l >Y л, то из убывания обратной функции спроса при п ' 2 следует, что

Из вогнутости функции р(у)у следует, что ее производная не возрастает, т.е. при Y'„n > Y„ выполнено

p(Yln) + р (Yin) Yin < p(Yl) + p'(Yl)Yl. Складывая три последние неравенства, получим, что

np(Y „+i) + p(Y „+i

)+p'(Y n+i) Y „+1 < np(Yl) + p'(Yl) ^f + p(Yl) + p'(Yl) Yl.

p(Yln) + p'(Yln)}^Учитывая дифференциальные характеристики равновесия Курно, это означает, что

с'(^т)< c'(lf)

Из выпуклости функции издержек получаем требуемое

Y n+i Y л п+1 п '

Далее, убывание выпуска отдельного участника до нуля, т.е.

следует из того, что суммарный выпуск Y„ ограничен сверху величиной Y'.

(iii) Так как спрос убывает, то при Y'„n > Y„

p(Y'ln)Y'ln < p(Y'l)Y'ln- Это неравенство можно переписать в виде

p(Yln) Т^ТТ < p(Yl) if + p(Yl) ^JY" - if)

С другой стороны, функция издержек, как выпуклая функция, должна лежать выше своей касательной, поэтому

Комбинируя два неравенства, получим, что

п„+1 < п„ - (с'(if) - p(Yl) J^Y - if)

где мы обозначили через П„ прибыль отдельного участника в отрасли с п фирмами в точке равновесия Курно:

П„= p(Yl)^-c(^).

Из условий первого порядка

C'(^)-p(y:)=P'(Y:)^< о.

Y*n+1

Поскольку то П„+1 < n„.

(iv) Запишем еще раз дифференциальную характеристику равновесия Курно:

Здесь Y„ лежит в интервале [0, У]. Так как производная обратной функции спроса непрерывна, то первый сомножитель во втором слагаемом — величина ограниченная, на этом интервале она достигает своего максимального значения. Делая оценки, мы можем первый сомножитель заменить его максимальным значением. Второй сомножитель представляет собой величину, которая убывает до нуля при п —> Поэтому

Так как Y„/ п стремится к нулю, то в силу непрерывной дифференцируемости функции издержек

Таким образом,

p(Yl) ->с'(0)

Вспоминая, что с'(0) = p(Y ), получим из непрерывности и убывания обратной функции спроса, что

Yl Y°.

Поскольку конкурентный объем производства, Y„, лежит между Yn и Y , то он стремится к тому же пределу:

Yn Y°.

¦

Уменьшение монопольной власти при росте числа конкурентов — это довольно реалистическая, согласующаяся с нашим представлением о монопольной власти картина. Когда производителей много, то каждый из них оказывает малое влияние на рынок, на цену, по которой может продаваться продукция, и по-

этому сама модель Курно как модель, описывающая феномен несовершенной конкуренции, оказывается привлекательной.

Следующий пример иллюстрирует приведенные выше утверждения в случае линейной функции спроса и постоянных предельных издержек.

Пример 14.

Пусть обратная функция спроса линейна: р(у) = а - by, а функции издержек имеют вид с ¦(?/¦) =cy3(j= 1,..,«), так что каждая фирма максимизирует

П, = (а - bY) у3 - су j.

Условия первого порядка максимума прибыли имеет вид а - bY* -Ъу3 = с.

Просуммировав по j, получим па - nbY* - bY* = пс.

Таким образом, равновесный объем выпуска равен у- п(а-с) 1 "(¦п + 1) 6•

В частности, при дуополии 2(a_cl

} _ 36 ¦

Равновесная цена равна

* п(а-с) а + пс 6 а-с

Р -a-b(n + l)b-4T1-c + n+l 6

Выпуск в случае совершенной конкуренции был бы равен

} _ 6 •

То есть, как и следует из теории, Y* < Y.

п (а-с) а-с 11111" - (« + 1)6 ~ 6 '

а цена стремится к предельным издержкам:

а + п с .

1пп„ п+1 =с. <Р