Симметричность равновесия, положительность выпусков и единственность

В частном случае, когда издержки у всех производителей одинаковы, т.е. с3(у) = с(у), можно доказать, что в равновесии выпуски всех производителей одинаковы (равновесие будет симметричным), и положительны.

I Теорема 26.

j Предположим, что равновесие Курно (г/i, ..., у„) сущест- j вует и выполнены следующие условия: ! 1) издержки у всех производителей одинаковы, с3(у) = \ с (у), j = 1, ..., п, причем с(у) — выпуклая функция; I 2) обратная функция спроса, р(у), и функция издержек, j с(у), дифференцируемы; | 3)р(0)>с'(0); j 4) р(у) убывает, j Тогда верно следующее: j (i) Равновесие симметрично:

I .'/ —V/ I п.

j и каждая фирма выпускает в равновесии положитель- I ное количество продукции, т.е.

! .'/ "-V./ I п.

\ (ii) Если, кроме того, функция р(у)у вогнута, то равно- ! весие единственно.

100

Доказательство.

Покажем, что если функции издержек одинаковы, то каждый производитель в равновесии Курно выпускает одинаковое количество продукции. Действительно, предположим, что существуют производители j и к, такие что > гд. Тогда из условий первого порядка следует, что

р'(У) (Ук - у]) < с'(у к) - С [у]).

Но левая часть данного соотношения положительна, а правая — неположительна. Таким образом, выпуски всех производителей совпадают:

у3= — Vj.

Суммарный выпуск отрасли, Y*, не может быть равным нулю. В противном случае из условия первого порядка любого из участников следует, что

р(0)-с'(0)<0,

а это противоречит условию теоремы. Таким образом, у3 >0,V j.

Дифференциальную характеристику равновесия Курно можно в данном случае переписать в виде

р(Г)+р'(Г)^Г-с'^Г)= О,

или

^р(Г) +р(Г)Г] -с'й=0.

Из вогнутости функции р(у)у следует, что ее производная Р(У) + Р'(У)У не возрастает. Аналогичным образом, из выпуклости функции с(у) следует неубывание предельных издержек. Учитывая убывание обратной функции спроса р(у), получаем, что выражение в левой части дифференциальной характеристики убывает. Отсюда следует единственность объема Y*, удовлетворяющего данному уравнению. ¦

Нижеприведенный пример показывает, что в случае, если функции издержек олигополистов не совпадают, то нельзя гарантировать симметричность равновесия и положительность выпусков; объемы выпуска в модели Курно у некоторых участников могут быть и нулевыми.

Пример 12.

Пусть в дуопольной отрасли р(у) = 4 - 4у, с^у^ = 2у2, с2(у2) = 2у2+3у1. Легко проверить, что равновесием Курно в этом случае будет точка ух = 1/3, у2 = 0. ^

Еще один пример показывает, что условие дифференцируемости функции спроса важно для симметричности и единственности равновесия Курно.

Пример 13.

Пусть в дуопольной отрасли

и с3(у) = у2/4, j = 1, 2. В такой отрасли помимо симметричного равновесия, (1/2, 1/2), существует бесконечно много асимметричных равновесий, в которых суммарное производство равно 1, например, (1/3, 2/3). Ф