Сравнение равновесия Курно с равновесием при совершенной конкуренции

Нижеследующие результаты дают сравнительную характеристику объемов производства в отрасли при разных типах ее организации.

! Теорема 25.

j (1) Предположим, что равновесие Курно, (г/i, ..., у„), и

! равновесие при совершенной конкуренции, (уи ..., уп),

j существуют, и обратная функция спроса р(у) убывает.

! i=i

j не превышает суммарный выпуск в условиях совершен-

i п \ ной конкуренции, Y = Yjji-

! <=1

j (2) Если, кроме того, выполнены следующие условия:

! - F>o,

j - обратная функция спроса, р(у), и функции издержек, j с¦(?/), j= 1, ..., п дифференцируемы при всех неотрица- j тельных у, причем p'(Y*) < О j - функции издержек, с ¦(?/), выпуклы, ¦ то Y* меньше Y.

Доказательство.

Поскольку выпуск yj максимизирует прибыль j-ovo производителя в предположении, что суммарный объем производства остальных равен Y-j, то должно выполнятся неравенство

P(Y*) у* - с3(у]) • p(Y~j + у ) у - г (// ).

С другой стороны, у3 дает j-му производителю максимум прибыли в предположении, что цена неизменна и равна p(Y), поэтому

P(Y) у3 - с3(у3) > p(Y) у* - с3(у3).

Если сложить эти два неравенства, то получается

р(У) у] + p{Y) у3 > p{Y:3 + у3) у3 + p(Y) у]. (*)

Предположим, что существует такая фирма j, которая в равновесии Курно производила бы больше, чем в конкурентном равновесии:

Vi > У г

При убывающей функции спроса из этого неравенства следует, что

p(Y:3 + y3)>p(Y*).

Поскольку у3^ 0, то из этого следует, что p(Y*j + у3) yj > p(Y*) у3.

Сложив это неравенство с неравенством (*), получим

P(Y*) у* + p(Y) у3 > p(Y*) у3 + P(Y) у*

или

[p(Y')-p(Y)](y*-y3)^ 0.^

Поскольку мы предположили, что yj > у3, то

p(Y*)^p(Y).

В силу убывания функции спроса это означает, что

Y* < Y.

С другой стороны, пусть наше предположение неверно, и для всех фирм выполнено yj < у -. Суммируя по j, получаем, что Y* < Y

Докажем, использовав дополнительные условия, что неравенство здесь строгое. Предположим, что это не так, и суммарные выпуски совпадают, т.е. Y* = Y.

Может быть только два случая: либо yj = у3 для всех j= 1, ..., п, либо у3 < yj для некоторого j. И в том и в другом случае существует производитель j, для которого yj >0 и у3< yj.

Для этого производителя дифференциальная характеристика равновесия Курно имеет вид

Из выпуклости функции издержек следует, что ' '(.'/ > < ' '(.'/ )-

Таким образом

p(Y*J+p'(Y*)y*^c'3%)=p(Y). С учетом того, что Y* = Y, имеем /А У ") p(Y), откуда р'(Г)у*>0,

что противоречит убыванию функции спроса. Таким образом

Y* < Y. ¦